专题01 向量的概念与运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

这是一份专题01 向量的概念与运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册），文件包含专题01向量的概念与运算知识串讲+热考题型+专题训练原卷版docx、专题01向量的概念与运算知识串讲+热考题型+专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。


（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
7．向量的夹角：对于非零向量a和b，在平面内任意取一点O，做=a，=b，叫做向量a与b的夹角.
当时，a与b同向
当是，a与b反向
当时，则称a与b垂直，记作a⊥b
（二）向量的线性运算
1．向量的加法
（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”
（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”
（3）向量加法的运算律
= 1 \* GB3 ①交换律
= 2 \* GB3 ②结合律
【点拨】 = 1 \* GB3 ①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．
= 2 \* GB3 ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．
2. 向量减法
【点拨】 = 1 \* GB3 ①向量减法的三角形法则中，eq \(BA,\s\up6(→))表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．
= 2 \* GB3 ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b.
3. 向量的数乘
（1）
（2）几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
（3）运算律
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝ (λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
【点拨】对于非零向量a，当λ＝eq \f(1,|a|)时，λa表示a方向上的单位向量．
4. 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
（三）向量共线定理
1. 向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【点拨】 = 1 \* GB3 ①定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
= 2 \* GB3 ②定理的另种形式：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）向量的数量积
1．平面向量的数量积
2．两个向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，
(1)a⊥b⇔a·b＝0．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(3)|a·b|≤|a||b|．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ．
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
题型一 向量的有关概念
【典例1】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案；
对于②，由零向量的定义和性质，可得答案；
对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案；
对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.
【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.
故选：B.
【典例2】【多选题】（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；
对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，可得与向量同向，
又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.
故选：CD.
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(5)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二 向量的线性运算
【典例3】（2021春·江苏镇江·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
【典例4】（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．
【答案】
【分析】由向量的线性运算，求解的值.
【详解】，
∴，
则有，
∴.
故答案为：
【规律方法】
1.关于向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
2.向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
3．利用向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
题型三 向量共线定理及其应用
【典例5】（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据向量的减法运算即得；
（2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得；
（3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2）因为，，，
所以，即，又向量，不共线，
所以，解得，
即的值为；
（3）当时， ，，，
所以，
所以，又有公共点，
所以A，B，C三点共线．
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）设是不共线的两个向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）证明:因为，
而
所以，
所以与共线，且有公共点，
所以三点共线
（2）因为与共线
所以存在实数，使得，
因为与不共线，
所以，
解得，.
【规律方法】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
题型四 单位向量的应用
【典例7】（2022春·浙江丽水·高一统考期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【详解】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
【典例8】（2023·高一课时练习）已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的______线所在直线上．
【答案】角A的平分
【分析】根据分别表示平行于的单位向量，平分求解.
【详解】解：因为，
所以，
而分别表示平行于的单位向量，
所以平分，即平分，
所以点D一定在的角A的平分线所在直线上，
故答案为：角A的平分
【规律方法】
非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
题型五 向量的数量积
【典例9】（2023·高一单元测试）在中，分别为的中点，则__________.
【答案】－4
【分析】由向量的线性运算得，，然后计算数量积可得．
【详解】由已知，，
．
故答案为：．
【典例10】（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）
(1)求（结果用表示）；
(2)若
①求的取值范围；
②设，记，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由，再结合平面向量的数量积，得解；
（2）①设，，化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，得解；
②设，由，结合，推出，再利用分离常数法和基本不等式，得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：①设，，
则，
，，
又，则.
②设，则，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即，
化简得，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【总结提升】
求向量的数量积的两个关键点
（1）求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．
（2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
题型六 向量的投影
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．
【答案】
【分析】利用投影向量公式与向量的数量积运算法则即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以在上的投影向量为.
【规律方法】
求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．
题型七 向量的数量积与模的问题
【典例12】（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则______．
【答案】
【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可
【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．
因为，所以，
所以为等边三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案为:
【典例13】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出，参变分离根据二次函数值域得到，通过题意得出，即可得出答案.
【详解】为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，
，
，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：.
【总结提升】
利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2) ．
题型八 向量的数量积与夹角问题
【典例14】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．45°C．135°D．150°
【答案】A
【分析】根据，求得，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以．
设与的夹角为θ，则
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．
故选：A.
【典例15】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接展开，代入即可求解；
（2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）依题意，
因为，
所以，
因为|，所以，
所以.
（2）因为，
，
所以.
令与的夹角为θ，
则，
所以向量与夹角的余弦值是.
【总结提升】
1.应用向量夹角公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，要注意涉及到了向量运算和数量运算．
2. 注意应用a⊥b⇔a·b＝0．
一、单选题
1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据，可得，进一步得出答案.
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
2.（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）下列五个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量，则与的方向必不相同；
③，则；
④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线；
⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．
其中正确的有（ ）
A．①⑤B．④C．⑤D．②④
【答案】C
【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.
【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；
，但与的方向可以相同，故②错；
向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；
单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；
如图，作出这两个向量，
则方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量方向相反，
所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．
故选：C.
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，是的中点，若，，则等于（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.
【详解】因为是的中点，，，
所以，
所以.
故选：D.
4．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】D
【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可.
【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；
题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；
因为分别是的单位向量，所以，
故选：D
5．（2023·全国·高一专题练习）若,|,的夹角为,则等于( ).
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义计算即可.
【详解】因为，的夹角为，
所以.
故选:B.
6．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设向量、的夹角为，由已知可得出，根据平面向量数量积的运算性质求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】设向量、的夹角为，由题意，，
又因为，因此，.
故选：B.
7．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]
C．[1，＋1]D．[1，＋2]
【答案】A
【分析】将两边同时平方，转化为关于的一元二次不等式即可求解.
【详解】∵是单位向量，∴.
∵
且.
∴，又∵，
∴ (θ是与的夹角)．
又－1≤csθ≤1，
∴，
∴.
根据一元二次不等式的解法，
解得.
故选：A.
8．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可知，向量，的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】由题知，，，向量，的夹角为150°，
所以.
故选：A．
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角θ的范围是
C．若是等边三角形，则，的夹角为
D．若，则
【答案】AB
【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C，根据数量积的计算公式即可判断D.
【详解】对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；
对于选项B，因为，所以，
又，所以，故B正确；
对于选项C，若是等边三角形，则，的夹角为，故C错误；
对于选项D，因为，所以或或，故D错误．
故选：AB.
10．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（ ）
A．若点C在线段AB上，则
B．若，则
C．当时，与共线的单位向量是
D．当时，在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.
【详解】由题意可得：，
对A：若点C在线段AB上，则，则，
可得，解得或（舍去），故A正确；
对B：由，可得，
解得，故B正确；
对C：当时，则，
与共线的单位向量是，故C错误；
对D：当时，可得，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
【答案】
【分析】依据向量共线的定义及零向量定义即可求得向量.
【详解】向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；
向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线
则＝.
故答案为：
12．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．
【答案】
【分析】根据则在方向上的投影向量的定义可得
【详解】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
四、解答题
13．（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】用、为一组基底表示出、，即可得到，从而得证.
【详解】证明：设，，
由已知点是的中点，点在上，且，
，
，
、、三点共线.
14．（2022春·河南三门峡·高一校考阶段练习）已知，求分别在下列条件下的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；
（2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；
（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解
【详解】（1）
（2）因为，所以.
（3）因为，所以与的夹角为或，
所以.
15．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知，，且与夹角为，求：
(1)；
(2)与的夹角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；
（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.
【详解】（1）由已知可得，.
所以有，
所以.
（2）因为，
所以.
又，
所以，
所以与的夹角为．
16．（2021春·四川成都·高一统考期中）已知向量，满足：，，且．
(1)求向量与的夹角．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）向量与的夹角为，，直接利用数量积的运算律及数量积的定义可得夹角；
（2）利用，利用数量积的运算律展开，然后代入向量的模和数量积计算即可.
【详解】（1）设向量与的夹角为，，
，
解得，
，即向量与的夹角为；
（2）由（1）得，
.
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向相同
λ＝0
λa＝0（零向量！）
λ<0
λa的方向与a的方向相反
定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|csθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|csθ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
投影向量
（|a|csθ ） （(|b|csθ) ）叫做向量a在b上(b在a上)的投影向量
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影向量的乘积