专题02 向量基本定理与坐标运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）平面向量基本定理
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（二）向量线性运算的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.
(1)加法、减法：若，则；
(2)向量的数乘：若，则．
(3)设，则，.
（三）向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
2. 设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)；设，则，.
3.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
4．平面向量的夹角
（四）向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b．
【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法
(1)当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆.
（五）平面几何中的向量方法
1.证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
2.证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
3证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．
4.求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
5.向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
（六）物理中的向量方法
1.力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．
2.速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．
题型一 平面向量基本定理及其应用
【典例1】（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三点共线求出，然后把当基底表示出和，从而求的值.
【详解】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.
故选：C.
【典例2】（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在中，，，若（，均大于0），则的值为______.
【答案】15
【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示，进而求出，的值，即可求出结果.
【详解】如图所示，在中，，
因为，所以，所以，①
在中，，
因为，所以，所以，代入①，
得，
因为，所以，，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
1.平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
2.在应用平面向量基本定理时，要注意基向量不共线这个条件．若已知条件a＝λ1e1＋λ2e2没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．
题型二 向量的坐标运算
【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】直接求出与的坐标，根据模相等即可解得的值.
【详解】由已知可得，，，
因为，所以，
解得，.
故选：C.
【典例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
【答案】##
【分析】由题可得，然后利用向量的坐标关系可得，然后利用函数单调性即得.
【详解】由题可知，又，，，
∴，
∴，即
∴，
当时，函数与为增函数，
所以在为增函数
∴的最大值为.
故答案为：.
【规律方法】
1.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
2.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
题型三 向量共线的坐标表示及应用
【典例5】（2023·高一课时练习）已知，，则与同向的单位向量的坐标为________．
【答案】
【分析】先由向量的线性运算求得，再由模的坐标表示求得，从而求得所求.
【详解】因为，
所以，故，
则同向的单位向量的坐标为
故答案为：
【典例6】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；
（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
【详解】（1）解：，，
，，
又与共线，
，即；
（2）解：，，
、、三点共线，
，即．
【规律方法】
1.主要命题角度：（1）利用向量共线求向量或点的坐标；（2）三点共线问题；（3）利用向量共线求参数.
2.常见解题策略：
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．
题型四 数量积的坐标运算
【典例7】（2023·高一课时练习）已知向量，，，则________．（填写=或）
【答案】
【分析】利用向量数量积运算法则和线性运算法则计算出与，得到两者不相等.
【详解】，故，
，故，
故.
故答案为：
【典例8】（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【规律方法】
1.先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；
2.先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
题型五 利用向量垂直求参数
【典例9】（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则______________．
【答案】##
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
【典例10】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据平面向量的线性运算的坐标表示即可求得结果；（2）由即可得到.
【详解】（1）；
（2）由可得，，
又，则，解得.
题型六 向量数量积与模的问题
【典例11】（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在上的投影向量的模为
【答案】D
【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】对于A，，则，A错误；
对于B，，则不平行，B错误；
对于C，，又，则，C错误；
对于D，在上的投影向量的模为，D正确.
故选：D.
【典例12】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.
【详解】由题意知，，
又可得，
整理得，
令，则，
且，
∴，
∴，即的最小值是3.
故选：C
【总结提升】
利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2) ．
(3)设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)；设，则，.
题型七 向量数量积与夹角问题
【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
【答案】且.
【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.
【详解】由得，，.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，.
又不共线，则.
所以，的取值范围为且.
故答案为：且.
【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量,.
(1)当时,求；
(2)当，，求向量与的夹角.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）向量,，则，.
由,可得即，即，
解得或,当,则,则,所以，
当，， ，综上 .
（2）由,,则
由,可得,解得,
所以,,

又,所以.
【总结提升】
用坐标求两个向量夹角的四个步骤：
(1)求a·b的值；
(2)求|a||b|的值；
(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；
(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
题型八 向量的应用
【典例15】（2023·江苏·高一专题练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
【答案】
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】解：设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
【典例16】（2023·高一课时练习）已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．
【答案】是直角三角形，为直角，证明见解析
【分析】根据A，B，C三点的坐标可写出向量，可利用向量数量积来证明是否存在垂直，即可判断三角形是否为直角三角形.
【详解】是直角三角形，为直角．
证明如下：
∵，
，
∴，∴，即.
所以是直角三角形，为直角．
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】将点共线转化为向量共线，由坐标运算即可求解.
【详解】由题得,
由 三点共线，可得 ，故 ，
故选：C
2．（2023·江苏·高一专题练习）设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】D
【分析】由题知，进而解方程即可得答案.
【详解】解：因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故选：D
3.（2023·江苏·高一专题练习）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.
【详解】由题可知：，
即.
故选：D.
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（-1，1）
C．（-1，+∞）D．（-∞，1）
【答案】C
【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.
【详解】因为与同向，所以可设
则有，又因为，，
所以
所以的取值范围是(-1，+∞)，
故选：C.
5．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】B
【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
6．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，
故选：C.
7．（2023·江苏·高一专题练习）在四边形中，，若，且，则（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性表示以及运算结合图形求解.
【详解】
如图，过作，又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以
又因为，
所以,
又因为，所以，
所以,所以.
故选:D.
8.（2022·江苏·高一开学考试）边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标运算结合二次函数的性质求解即可
【详解】如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，
的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
，
因为M为边CD上的动点，
所以，即，
解得
所以，
令，
则结合二次函数的性质可知，
故选：A
二、多选题
9．（2023·江苏·高一专题练习）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2B．3C．1D．0
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的分解定理中基底选择的标准可得.
【详解】根据平面向量的分解定理，两个向量可作为一组基底必须它们不平行，
与不平行，有解之.
故选：ABD.
10．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据向量的坐标运算，即可求解模长和数量积以及平行关系.
【详解】由于，所以，故A 对，
故B 错，
，所以，故C对，
，故不平行，故D错，
故选：AC
三、填空题
11．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______.
【答案】
【分析】根据题意可知,,根据平面向量基本定理,将用线性表示,根据两个向量相等即可得的值,进而得出结果.
【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,
所以
,
因为不共线,所以,故.
故答案为:
12．（2022·江苏·高一开学考试）已知向量，，，且，，则_________.
【答案】-10
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，向量垂直的坐标表示列方程，求解作答.
【详解】向量，，，因，，
于是得，解得，所以.
故答案为：-10
四、解答题
13．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)若向量与夹角为，求实数λ的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；
(1)
解：因为，，
所以，
所以；
(2)
解：，
所以，，
又向量与夹角为，
所以，
即，
即，解得或.
14．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量．
(1)求；
(2)求满足的实数m和n的值；
(3)若，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算求解；
（2）利用平面向量相等求解；
（3）利用平面向量共线定理求解.
【详解】（1）解：；
（2）因为．
所以，
则，解得．
（3），
因为，
所以，
解得．
15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.
【详解】（1）由题知，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
16．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求·的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；
（2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可
【详解】（1）由题意，
即，故，
因为Q为线段AP上一点，
设，又不共线，
所以，解得
所以；
（2），
由（1）知，，
，
所以
，
当时，，
所以的最小值为