高中8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀当堂达标检测题

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\l "_Tc21444" 【题型1 平面的基本性质及推论】 PAGEREF _Tc21444 \h 3
\l "_Tc6676" 【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】 PAGEREF _Tc6676 \h 4
\l "_Tc11557" 【题型3 空间中的线共点问题】 PAGEREF _Tc11557 \h 6
\l "_Tc14883" 【题型4 平面分空间的区域数量】 PAGEREF _Tc14883 \h 7
\l "_Tc6154" 【题型5 直线与直线的位置关系】 PAGEREF _Tc6154 \h 9
\l "_Tc10590" 【题型6 直线与平面的位置关系】 PAGEREF _Tc10590 \h 10
\l "_Tc1851" 【题型7 平面与平面的位置关系】 PAGEREF _Tc1851 \h 10
【知识点1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平
面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所
示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶
点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的
集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.
3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
(1)三个基本事实及其表示
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（2023下·高一课时练习）下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【变式1-1】（2023下·黑龙江·高一校考期中）在空间中，下列命题不正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．梯形可确定一个平面
D．任意三点能确定一个平面
【变式1-2】（2023上·上海静安·高二校考期末）下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点A，B，C∈平面α，且A，B，C∈平面β，则平面α与平面β为同一平面
【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习）下列说法中错误的是（ ）
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】
【例2】（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O，则（ ）

A．三点D1,O,B共线，且OB=2OD1
B．三点D1,O,B共线，且OB=3OD1
C．三点D1,O,B不共线，且OB=2OD1
D．三点D1,O,B不共线，且OB=3OD1
【变式2-1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G,H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）

①E，F，G，H四点共面；②EG//FH;③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0B．1C．2D．3
【变式2-2】（2023上·全国·高三专题练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
①C1､M､O三点共线；
②C1､M､O､C四点共面；
③C1､O､B1､B四点共面；
④D1､D､O､M四点共面.
A．①②B．①②③④C．①②③D．①③④
【变式2-3】（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则下列说法正确的是（ ）
①E，F，G，H四点共面；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【题型3 空间中的线共点问题】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且CFFB=AEEB=13．求证：直线EH，BD，FG相交于一点．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知棱长为1正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱AB,AA1的中点．

求证：三条直线DA,CE,D1F交于一点；
【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，点O1是正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面的中心，过D1，B1，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．

【变式3-3】（2023下·安徽合肥·高一校联考期中）在四面体ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且CFFB=AEEB=13．求证：

(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
【题型4 平面分空间的区域数量】
【例4】（2023·高一课时练习）空间三个平面能把空间分成（ ）
A．4部分或6部分B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分D．4部分或6部分或7部分或8部分
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）两个平面能把空间分成几个部分（ ）
A．2或3B．3或4C．3D．2或4
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A．14部分B．18部分C．21部分D．24部分
【知识点2 空间点、线、面之间的位置关系】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
【题型5 直线与直线的位置关系】
【例5】（2023上·上海·高二期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线D．是异面直线
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α=30°，则β=（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°
【变式5-2】（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．63B．62
C．32D．33
【变式5-3】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为70°，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为60°，则这样的直线l有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【题型6 直线与平面的位置关系】
【例6】（2023下·北京西城·高一统考期末）已知直线m，直线n和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m//α，n⊂α，则m//nB．若m//α，n//α，则m//n
C．若m⊥α，n//α，则m⊥nD．若m⊥n，n//α，则m⊥α
【变式6-1】（2023上·上海青浦·高二校考期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）．
A．直线在平面内B．直线与平面相交或平行
C．直线与平面相交D．直线平行平面
【变式6-2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）设m，n，l分别是三条不同的直线，α是平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥l，n⊂α，l⊂α，则m⊥α
B．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m∥α，n⊂α，则m∥n
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）如图， 在正方体ABCD−A1B1C1D1中， 点E，F分别为A1B1，BC的中点， 设过点E，F，D1的平面为α， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体ABCD−A1B1C1D1中， 存在某条棱与平面α平行
B．在正方体ABCD−A1B1C1D1 中， 存在某条面对角线与平面α平行
C．在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， 存在某条体对角线与平面α平行
D．平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面为五边形
【题型7 平面与平面的位置关系】
【例7】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n
C．若α//β，β//γ，则α//γD．若m//α，n//β，m//n，则α//β
【变式7-1】（2023·四川宜宾·宜宾市校考模拟预测）若三个不同的平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α,β之间的位置关系是（ ）
A．α//βB．α⊥β
C．α//β或α⊥βD．α//β或α与β相交
【变式7-2】（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知空间中三个互不相同的平面α、β、γ，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
C．若a∥α，α∥β，a⊥b，则b⊥βD．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
【变式7-3】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
基本事实
自然语言
图形语言
符号语言
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
推论
自然语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
有无数个公共点
直线与平面相交
有且只有一个公共点
直线与平面平行
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线