第一次月考解答题压轴题十六大题型专练-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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题型1
用向量关系研究几何图形的性质
1．（2023·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG．
2．（2023下·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.
3．（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
4．（2023·高一课时练习）如图，半圆的直径AB=6，C是半圆上的一点，D、E分别是AB、BC上的点，且AD=1，BE=4，DE=3.
（1）求证：AC∥DE；
（2）求AC.
题型2
向量线性运算的几何应用
5．（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．

6．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.

(1)试用a，b表示AD；
(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
7．（2023·高三课时练习）已知点G为△ABC的重心．
(1)求GA+GB+GC；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设AM=xAB，AN=yAC，求1x+1y的值．
8．（2023下·高一课时练习）点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4,|BC|=6，|AB|=2，设与BC同向的单位向量为a0，与BA同向的单位向量为b0．
（1）用a0和b0表示AC,CD和OA；
（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且|CP|=2，求|BP|的最大值和最小值．
题型3
向量的数量积问题
9．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为120°.
(1)求a⋅b的值；
(2)求|a+b|的值；
(3)若(2a−b)⊥ (a+kb)，求实数k的值.
10．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且csα=13，向量a=3e1−2e2与b=3e1−e2的夹角为β.
（1）求a，b；
（2）求csβ的值.
11．（2023下·宁夏银川·高一校考期末）如图，在ΔABC中，已知CA=2,CB=3,∠ACB=60∘,CH为AB边上的高.
（1）求AB⋅BC；
（2）设CH=mCB+nCA，其中m,n∈R，求m,n的值
12．（2022下·浙江温州·高一校联考期中）如图所示△ABC的两边BC=1，AC=2，设G是△ABC的重心，BC边上的高为AH，过G的直线与AB，AC分别交于E，F，已知AE=λAB，AF=μAC；
(1)求1λ+1μ的值；
(2)若csC=14，S△AEF=920S△ABC，λ>μ，求EH+AF⋅HF+EA的值；
(3)若BF⋅CE的最大值为−518，求边AB的长.
题型4
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（2023下·湖南邵阳·高一校考期末）已知a=1，b=2.
（1）若a⋅b=22，求a与b的夹角；
（2）若a与b的夹角为45°，求a+b.
14．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量a，b满足a+2b⋅a−b=−23.
(1)求a与b夹角的余弦值：
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
15．（2023下·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，∠DAB=π3.
求：（1）DB；
（2）∠CAB的大小.
16．（2023下·福建福州·高一校联考期中）如图，设Ox,Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做OP在斜坐标系Oxy中的坐标．

(1)若θ=π3，a=1,1,b=3,1，求b在a上的投影向量斜坐标．
(2)若a=(1,1)，b=(3,1)，c=(2,−1),|c|≤2，求cs2a,b的最小值.
题型5
平面向量基本定理的应用
17．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，AO=2OD，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

(1)用AB，AC表示AO；
(2)若AM=mAB，AN=nAC，求1m+1n的值；
(3)求OM2+ON2的取值范围．
18．（2023下·浙江宁波·高一校联考期中）如图，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线BC上的一点．
(1)求AB⋅AD的值；
(2)求FH的值；
(3)直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求AMAN的值．
19．（2022下·浙江·高一校联考期中）如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O是线段AP的中点．
(1)延长CO交AB于点Q（图1），求AQQB的值；
(2)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（图2），设EB=λAE，FC=μAF．
（i）求证2λ+μ为定值；
（ii）设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，求S1S2的最小值．
20．（2023下·福建·高一校联考期中）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），∠AOB=θ（0