高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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1．（5分）（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．若AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
C．若AD∥BC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
D．若|AB|=|CD|，且AD∥BC，则四边形ABCD为梯形
【解题思路】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可.
【解答过程】A选项，若AB=DC，则AB=DC且AB∥DC，则四边形ABCD为平行四边形，正确；
B选项，如图

|AC|=|BD|=2，但是四边形ABCD不是矩形，错误；
C选项，若AD∥BC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
D选项，若|AB|=|CD|，且AD∥BC，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A.
2．（5分）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知z1=2−2i，|z2−i|=1，则z2−z1的最大值为（ ）
A．23B．22C．5+1D．13+1
【解题思路】设z2=x+yi x,y∈R，利用|z2−i|=1得出x2+y−12=1，表示以0,1为圆心，半径为1的圆，z2−z1=x−2+y+2i=x−22+y+22，表示x,y与2,−2之间的距离，求z2−z1的最大值，即求2,−2与x2+y−12=1圆上任意一点的距离最大值.
【解答过程】设z2=x+yi x,y∈R，
则|z2−i|=x+y−1i=x2+y−12=1，
所以x2+y−12=1，
表示以0,1为圆心，半径为1的圆，
则z2−z1=x−2+y+2i=x−22+y+22，
表示x,y与2,−2之间的距离，
即2,−2与x2+y−12=1圆上任意一点的距离，
因22+−2−12>1，
所以2,−2在x2+y−12=1圆外，
所以z2−z1max=2−02+−2−12+1=13+1.
故选：D.
3．（5分）（2023·上海宝山·统考一模）已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．z2=z2B．若z=1，则z−1−i的最大值为2+1
C．若z=1−2i2，则复平面内z对应的点位于第一象限D．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8
【解题思路】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数z判断C；利用复数相等求出q判断D.
【解答过程】对于A，设z=a+bi(a,b∈R)，则|z|2=a2+b2,z2=a+bi2=a2−b2+2abi，z2≠z2，A错误；
对于B，由z=1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，
z−1−i可看作该单位圆上的点到点1,1的距离，因为圆心到1,1的距离为2，
则该单位圆上的点到点1,1的距离最大值为2+1，B正确；
对于C，z=1−2i2=−3−4i,z=−3+4i，则复平面内z对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意，(1−3i)2+p(1−3i)+q=0，整理得(p+q−8)+(−3p−6)i=0，
而p,q∈R，因此p+q−8=0−3p−6=0，解得p=−2,q=10，D错误．
故选：B.
4．（5分）（2023下·北京·高一北京一七一中校考期中）若向量a,b,c满足：a≠b,c=1，且a−c⋅b−c=0，则|a+b|+|a−b|的最小值为（ ）
A．52B．2C．1D．12
【解题思路】由平面向量数量积的运算，结合图形以及平面向量的线性运算求解即可.
【解答过程】设a=OA，b=OB，c=OC，M为A，B的中点，
则a−b=BA，a−c=CA，b−c=CB，a+b=2OM，
因为c=1，a−c⋅b−c=0，所以OC=1，CA⊥CB，
则|a+b|+|a−b|=2OM+BA，
因为△ABC是直角三角形，所以BA=2CM，（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
所以|a+b|+|a−b|=2OM+2CM=2(OM+CM)，
因为OM+CM≥OC=1，当且仅当M在以C为圆心，1为半径的圆上或圆内，且M在线段CO上时取等号，如下图示，
所以|a+b|+|a−b|=2(OM+CM)≥2，
所以|a+b|+|a−b|的最小值为2.
故选：B.
5．（5分）（2023下·高一单元测试）欧拉公式exi=csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A．eπi=0B．eπi2为实数
C．exi3+i=12D．复数e2i对应的点位于第三象限
【解题思路】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
【解答过程】解：对于A：eπi=csπ+isinπ=−1，故A错误；
对于B：eπi2=csπ2+isinπ2=i，所以eπi2为纯虚数，故B错误；
对于C：exi3+i=exi3+i=csx+isinx3+i=cs2x+sin2x32+12=12，故C正确；
对于D：e2i=cs2+isin2，则复数e2i在复平面内对应的点为cs2,sin2，
因为π2