专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一复数的四则运算1．（2023下·河北邢台·高一统考期末）已知复数z满足z+2i=5，z=a+3−aia>0.(1)求a；(2)若复数z1满足z1z1+2=a+2i，求z1.【解题思路】（1）根据复数的模长公式即可求解.（2）根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解.【解答过程】（1）由题意得z=a+a−3i，z+2i=a+a−1i所以a2+a−12=25⇒a=4或a=−3（舍去），故a=4（2）设z1=x+yix,y∈R，则z1z1=x2+y2，x2+y2+2x+yi=4+2i所以x2+y2+2x=4,2y=2,解得x=1,y=1或x=−3,y=1,所以z1=1+i或−3+i.2．（2023·高一课时练习）计算：(1)1+2i+7−11i−5+6i；(2)5i−6+8i−−1+3i；(3)a+bi−2a−3bi−3ia，b∈R.【解题思路】根据复数的加减运算法则即可求解【解答过程】（1）1+2i+7−11i−5+6i=1+7−5+2−11−6i=3−15i；（2）5i−6+8i−−1+3i=5i−7+5i=−7；（3）a+bi−2a−3bi−3i=a−2a+b−−3b−3i=−a+4b−3ia，b∈R.3．（2023·高一课时练习）设f(z)=z−2i，z1=3+4i，z2=−2−i，求：（1）f(z1−z2)的值；（2）f(z1+z2)的值．【解题思路】直接利用复数的加法，结合函数的解析式，求解即可．【解答过程】z1=3+4i，z2=−2−i，则z1−z2=5+5i，z1+z2=1+3i．∵f(z)=z−2i，∴（1）f(z1−z2)=z1−z2−2i=5+5i−2i=5+3i，（2）f(z1+z2)=z1+z2−2i=1+3i−2i=1+i.4．（2023·高一课时练习）已知复数a1+b1i，a2+b2i，a3+b3ia1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，分别记作z1，z2，z3，即z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，求证：(1)z1z2=z2z1；(2)z1z2z3=z1z2z3；(3)z1z2+z3=z1z2+z1z3．【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）【解答过程】（1）z1z2=a1+b1ia2+b2i=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i，z2z1=a2+b2ia1+b1i=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i，则z1z2=z2z1.（2）z1z2z3=a1+b1ia2+b2ia3+b3i=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)ia3+b3i=a1a2−b1b2a3−(a1b2+a2b1)b3+b3a1a2−b1b2+a3(a1b2+a2b1)i，z1z2z3=a1+b1ia2+b2ia3+b3i=a1+b1ia2a3−b2b3+(a3b2+a2b3)i=a1a2a3−b2b3−b1(a3b2+a2b3)+a1(a3b2+a2b3)+b1a2a3−b2b3i=a1a2−b1b2a3−(a1b2+a2b1)b3+b3a1a2−b1b2+a3(a1b2+a2b1)i，则z1z2z3=z1z2z3.（3）z1z2+z3=a1+b1ia2+a3+b2+b3i=a1a2+a3−b1b2+b3+a1b2+b3+b1a2+a3i，z1z2+z1z3=a1+b1ia2+b2i+a1+b1ia3+b3i=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i+a1a3−b1b3+(a1b3+a3b1)i=a1a2−b1b2+a1a3−b1b3+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a3b1)i=a1a2+a3−b1b2+b3+a1b2+b3+b1a2+a3i，则z1z2+z3=z1z2+z1z3.5．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ−isinβ,α,β均为锐角，且z1−z2=255.(1)求cosα+β的值；(2)若cosα=45，求cosβ的值.【解题思路】（1）先求出z1−z2=cosα−cosβ+isinα+sinβ，利用z1−z2=255即可求出cosα+β的值；（2）利用平方关系求出sinα+β=45，sinα=35，再利用和差角公式即可求得.【解答过程】（1）因为复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ−isinβ，所以z1−z2=cosα−cosβ+isinα+sinβ.所以z1−z2=cosα−cosβ2+sinα+sinβ2=2−2cosαcosβ−sinαsinβ=2−2cosα+β因为z1−z2=255，所以2−2cosα+β=255，解得：cosα+β=35.（2）因为α,β均为锐角，所以0