第1讲 平面向量的概念及其运算（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）

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类型一：向量的有关概念
类型二：相等向量与共线向量
类型三：向量的加法与减法综合
类型四：向量的数乘运算
类型五：利用向量共线定理判断三点共线
类型六：利用向量共线定理求参数
类型七：平面向量的数量积（定值）
类型八：求向量模（定值）
类型九：求向量的夹角
类型十：向量的投影
类型十一：求向量模（最值，范围）
类型十二：求平面向量数量积（最值，范围）
类型十三：新定义题
类型一：向量的有关概念
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ）
A．与的长度必相等B．
C．与一定不相等D．是的相反向量
例题2．（多选）（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
例题3．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·高一课时练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．共线的单位向量必相等
C．若与不共线，则与都是非零向量
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
3．（多选）（2022·高一单元测试）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
类型二：相等向量与共线向量
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．且
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量，则：
（1）与相等的向量有______；
（2）与共线，且模相等的向量有______．
同类题型演练
1．（2022春·山西大同·高一大同市第三中学校校考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
2．（2023·高一课时练习），，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
3．（2023·高一课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有______个元素．
类型三：向量的加法与减法综合
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形
例题2．（2023·全国·模拟预测）在正方形中，是的中点．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，为的中点，点在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）在平行四边形中，为上任一点，则等于
A．B．C．D．
2．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）化简后等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·北京房山·高一统考期末）在中，D为BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高一课时练习）在矩形ABCD中，，则向量的长度等于______．
类型四：向量的数乘运算
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一个定点，､､是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是所在平面内的一点，若，其中，则点一定在（ ）
A．边所在的直线上B．边所在的直线上
C．边所在的直线上D．的内部
例题3．（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题4．（2023·高一单元测试）在中，为重心，，，分别是、、边的中点，则______．
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）已知G是的重心，则 等于（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．
3．（2023·高一课时练习）已知，若记，则的值为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）化简：___________.
类型五：利用向量共线定理判断三点共线
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
例题2．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：，，三点共线．
例题3．（2023·高一课时练习）如图所示，在中，，分别是，的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：，，三点共线．
同类题型演练
1．（2022·高一单元测试）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高一课时练习）设不共线的两个向量，，若，，.求证：、、三点共线.
3．（2022春·高一课前预习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为平面上任一点，，，三点满足． 求的值；
类型六：利用向量共线定理求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形中，点为的中点，， （），若，则（ ）
A．1B．2C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，是平面内两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
例题3．（2023·高一课时练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和共线．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－B．C．－6D．6
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.
类型七：平面向量的数量积（定值）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．15
例题2．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积___________．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若＝，则的值是________．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，点是的中点，则（ ）
A．B．4C．6D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，向量与的夹角为，则________.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知四边形为菱形，，，且，则__________．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且____.
类型八：求向量模（定值）
典型例题
例题1．（2023·湖南邵阳·统考一模）设向量，满足，，则（ ）
A．2B．C．3D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知两个非零向量、满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知平面向量、、是两两夹角均为的单位向量，则_____________．
例题4．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值．
同类题型演练
1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形的边长为1，则（ ）
A．1B．3C．D．
2．（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．3B．C．D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则_________.
4．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知单位向量，，且，则___________.
5．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，，，则______．
类型九：求向量的夹角
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）已知，，若，则与的夹角为______．
例题4．（2023·高一课时练习）已知非零向量，满足，，试求，的夹角．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高一课时练习）已知，，，则______．
类型十：向量的投影
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
例题2．（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题3．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知，，函数，当时，有最小值，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．－D．－
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，、的夹角为，则在方向上的数量投影为________．
2．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知，则向量在向量上的投影向量为__________．
类型十一：求向量模（最值，范围）
典型例题
例题1．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设单位向量与非零向量的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．1
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，若，，，，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．7
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知两个不共线的向量，的夹角为，且，.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，若且（，），则的最小值为
A．1B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足：|+|=3，且，则|－|的取值范围是______．
类型十二：求平面向量数量积（最值，范围）
典型例题
例题1．（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则(＋)·的最小值是（ ）
A．B．C．－D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是_________．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，…，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为______.
3．（2023·高一课时练习）已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
类型十三：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全国·高三专题练习）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28mB．20mC．31mD．22m
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．的取值范围是
C．当时，为定值D．的最大值为12
4．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.