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- 第1讲 随机事件与概率（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
第2讲 事件的相互独立性（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）
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这是一份第2讲 事件的相互独立性（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册），文件包含第2讲事件的相互独立性练透重点题型原卷版docx、第2讲事件的相互独立性练透重点题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
类型二：相互独立事件与互斥（对立）事件
类型三：独立事件的乘法公式
类型四：独立事件的实际应用
类型一：独立事件的判定
典型例题
例题1．（2023春·山东济南·高一统考期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件与的关系为（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B独立D．事件A包含于B
【答案】C
【详解】由题意可知：，因为，
所以事件事件A与B不可能是互斥和对立，
因为，，
所以有，因此事件A与B独立，
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件=“第一次摸到白球”，事件=“第二次摸到白球”，事件=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与不是相互独立事件
C．与是对立事件D．与是相互独立事件
【答案】B
【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.
故选：B.
例题3．（多选）（2023春·甘肃白银·高一统考期末）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字到．任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．事件表示“数字为质数”，事件表示“数字为偶数”，事件表示“数字大于”，事件表示“数字为、、、中的个”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】BCD
【详解】因为，
事件数字为，，A错；
事件数字为或，，B对；
事件数字为或，，C对；
事件数字为或，，D对.
故选：BCD.
例题4．（2023·高一课时练习）连续投掷一枚均匀硬币两次，定义三事件如下：事件：第一次出现正面，事件：第二次出现正面，事件：至少出现一次正面．判断与及与是否相互独立．
【答案】A，B相互独立；A，C不相互独立．
【详解】连续投掷一枚均匀硬币两次，基本事件有：正正、正反、反正、反反，共种，
所以，.
所以，是相互独立事件；
，不是相互独立事件.
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【答案】A
【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
2．（2023春·广东东莞·高一统考期末）一个袋子中有标号分别为，，，的个小球，除标号外没有其它差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个小球，记事件“第一次摸出小球的标号小于”，事件“第二次摸出小球的标号小于”，事件“摸出的两个小球的标号之和为”，事件“摸出的两个小球的标号之积小于”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】B
【详解】从4个小球中采用不放回方式任意摸球两次，所有基本情况有：
，共12种；
由题意可知，，，，，
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）盒中装有大小相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，假设每次随机在5个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是（ ）
A．“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥
B．“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立
C．“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立
D．若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球的概率会大于
【答案】B
【详解】对于A，“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是两次不同的试验，所以两个事件不是互斥事件，所以A错误，
对于B，由于每次取球后放回摇匀，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影响，所以这两个事件是独立的，所以B正确，
对于C，“前三次都取到黑球”与“前三次最多有两次取到黑球”是对立事件，所以C错误，
对于D，因为每次取球后放回摇匀，所以每一次取到白球的概率都为，所以D错误，
故选：B
4．（2023·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
【答案】的成功与的成功不相互独立，理由见解析
【详解】的成功与的成功不相互独立．理由：
，，，，
从而可得的成功与的成功不相互独立.
类型二：相互独立事件与互斥（对立）事件
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件与是独立事件；②事件与是互斥事件；③事件与是对立事件；④.其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】A
【详解】掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，
事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，
对于①， ， ，，
，事件与是独立事件，故①正确；
对于②，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件，故②正确；
对于③，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④，，故④错误．
故选：A.
例题2．（多选）（2022·湖北荆州·高二统考期末）已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果与互斥，那么
B．如果与相互独立，那么
C．如果，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】AB
【详解】A选项：如果与互斥，那么，，故A选项正确；
B选项：如果与相互独立，那么，
，故B正确；
C选项：如果，则，，故C错误；
D选项：如果与相互独立，. ，，故D错误
故选：AB
例题3．（多选）（2023·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】ABC
【详解】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A正确；
对于B, 事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，
故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；
对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，
故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，
故选：
例题4．（多选）（2022秋·浙江金华·高二校考开学考试）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，拋掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间，设事件，事件，事件，则（ ）
A．与不是互斥事件B．与是对立事件
C．与是独立事件D．与是独立事件
【答案】AB
【详解】A：因为，所以与不是互斥事件，正确；
B：由，即与是互斥，又，即与是对立事件，正确；
C、D：拋掷这个正四面体一次，若与地面接触面的数字为2，即发生，则一定不会发生，故与不是独立事件，同理与不是独立事件，错误.
故选：AB
例题5．（2022·全国·高一假期作业）一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①与是互斥事件；②与是独立事件；③与是对立事件；④与是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
【答案】②③
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
同类题型演练
1．（2022浙江绍兴·高二校考学业考试）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）
A．与互为对立事件B．与互斥
C．与相等D．与互为独立事件
【答案】D
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含：
第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上；
第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，共4种情况.
其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，且发生互不影响，故D正确.
所以ABC错误，D正确，
故选：D
2．（多选）（2022·湖南常德·高一统考期末）下列四个命题中错误的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则满足
B．若事件A，B，C两两独立，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】BCD
【详解】若事件A，B相互独立，则满足，A说法正确；
举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，
事件B：第二个骰子点数为奇数，
事件C：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有，，
，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以，B说法错误；
举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，
事件B：第二次骰子点数为2，
事件C：第三次骰子点数为3，
则
事件A，B，C被此互斥，则，C说法错误；
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则，满足，但A，B不是对立事件，
D说法错误.
故选：BCD
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件B．事件A与事件B是相互独立事件
C．事件B与事件C是相互独立事件D．
【答案】BCD
【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；
对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C是相互独立事件，故C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．
故选：BCD.
4．（多选）（2022·浙江台州·高二校联考期末）已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件不是对立事件
C．事件发生的概率为D．事件与事件是相互独立事件
【答案】ABC
【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，
事件含有的基本事件有：，共12个，事件含有的基本事件有：，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A正确；
基本事件发生时，事件均不发生，不对立，B正确；
事件中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此，C正确；
，，，不相互独立，D错．
故选：ABC．
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件A与B是独立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件D．
【答案】AB
【详解】由题意知：，，，
∴事件与是独立事件，A正确；
∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确；
点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误；
∵事件是“点数为5点”，∴，D错误.
故选：AB.
类型三：独立事件的乘法公式
典型例题
例题1．（2023秋·山东济宁·高二统考期末）假设，且与相互独立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由与相互独立，则.
故选︰B．
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为B．个球中恰有个红球的概率为
C．至少有个红球的概率为D．个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【详解】记事件为从甲袋中摸出一个红球，事件为从乙袋中摸出一个红球，则
，且事件相互独立，
对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确，
对于B，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确，
对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确，
对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误，
故选：ABC
例题3．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为.
(1)求的值；
(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件“甲第一轮猜对” ，事件“乙第一轮猜对” ，事件C＝“甲第二轮猜对” ，事件“乙第二轮猜对 ，
甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
解得或（舍去）
；
（2）三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，
可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.
甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【详解】（1）设事件：甲投篮命中;
事件：乙投篮命中;
事件：丙投篮命中.
甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.
（2）设事件:恰有两人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.
（3）设事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.
同类题型演练
1．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为
B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为
D．小明恰好得3分的概率为
【答案】B
【详解】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件，从乙盒中摸出一个红球为事件，
由题意得：，，则，.
对于A选项，小明得6分的概率，所以A选项错误；
对于B选项，小明得分低于6分的概率，所以B选项正确；
对于C选项，小明得分不少于3分的概率，所以C选项错误；
对于D选项，小明恰好得3分的概率，所以D选项错误；
故选：B.
2．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“甲晋级”为事件，“乙晋级”为事件，
设“甲、乙两人同时晋级”为事件，
则 ；
（2）设“甲、乙两人中至少有一人晋级”为事件，
由题事件，相互独立，则，也相互独立，
所以 ，
则 .
3．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.
假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到.
(1)设事件为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件的概率；
(2)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，
取得满分的频率为，
所以用频率估计事件的概率为.
（2）设事件为“李明第二次英语听说考试取得满分”，
事件为“李明高考英语听说考试取得满分”.
依题意，，
所以，
所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，
那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到.
4．（2023秋·北京东城·高二统考期末）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.
(1)求a，b的值；
(2)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
(3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由表可知,甲选择A收银台的概率为,
乙选择B收银台的概率为
（2）设事件为“甲选择C收银台”,事件为“乙选择收银台”,事件为“甲,乙两人在结账时都选择C收银台”.
根据题意,,事件相互独立.
所以.
（3）设事件为“甲，乙两人在结账时至少一人选择收银台”,
.
类型四：独立事件的实际应用
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，
所以，，
设参加活动的选手没有获得奖金为事件，
所以.
（2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，
所以，，，
设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，
所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，
所以
例题2．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（2）该应聘者用方案二考试通过的概率．
【答案】（1）;（2）;
【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，
考试通过的概率：
.
例题3．（2022秋·河北唐山·高二校考阶段练习）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【答案】(1),；
(2)
【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，
则有
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.
例题4．（2022春·山东·高一山东师范大学附中校考期中）某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分；将学生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1是先在处投一球，以后都在处投；方案2是都在处投篮．已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为．
(1)若甲同学选择方案2，求他测试结束后所得总分为0分的概率；
(2)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的所有可能取值以及相应的概率；
(3)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．
【答案】(1)
(2)X的取值为0，2，3，4，5，
(3)甲同学选择方案2通过测试的可能性更大，理由见解析
(1)
设甲同学在B处第i次投中为事件，，
在方案2中，
(2)
设甲同学在A处投中为事件A，则，
在方案1中，X的取值为0，2，3，4，5
则，
，
，
，
(3)
设甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，则
因为，
所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．
同类题型演练
1．（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）已知甲乙两人的投篮命中率分别为，如果这两人每人投篮一次，求：
（1）两人都命中的概率；
（2）两人中恰有一人命中的概率.
【答案】（1） 0.56；（2）0.38.
【详解】记事件A，B分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则.
（1）“两人都命中”为事件AB，由于A，B相互独立，所以，即两人都命中的概率为0.56.
（2）由于互斥且A，B相互独立，
所以恰有1人命中的概率为.
即恰有一人命中的概率为0.38.
2．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)甲
(2)
【详解】（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”,
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”,则表示“甲赢得比赛”,
，
表示“乙赢得比赛“,
,
派甲参赛赢得比赛的概率更大.
（2）设表示“甲赢得比赛”,表示“乙赢得比赛”,
由(1)知
,
表示“两人中至少有一个赢得比赛”,
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
3．（2022秋·浙江·高二於潜中学校联考期中）某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件，，的概率；
(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．
由得
解得，，，
（2）由（1）知，，，
记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则
4．（2022秋·河北石家庄·高二校考开学考试）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
【答案】(1)
(2)
（1）
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）
设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
46
50
47
48
49
50
50
47
48
47
48
49
50
49
50
50
48
50
49
50
收银台
顾客
A收银台
B收银台
C收银台
甲
a
0.2
0.4
乙
0.3
b
0.3
类型二：相互独立事件与互斥（对立）事件
类型三：独立事件的乘法公式
类型四：独立事件的实际应用
类型一：独立事件的判定
典型例题
例题1．（2023春·山东济南·高一统考期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件与的关系为（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B独立D．事件A包含于B
【答案】C
【详解】由题意可知：，因为，
所以事件事件A与B不可能是互斥和对立，
因为，，
所以有，因此事件A与B独立，
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件=“第一次摸到白球”，事件=“第二次摸到白球”，事件=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与不是相互独立事件
C．与是对立事件D．与是相互独立事件
【答案】B
【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.
故选：B.
例题3．（多选）（2023春·甘肃白银·高一统考期末）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字到．任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．事件表示“数字为质数”，事件表示“数字为偶数”，事件表示“数字大于”，事件表示“数字为、、、中的个”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】BCD
【详解】因为，
事件数字为，，A错；
事件数字为或，，B对；
事件数字为或，，C对；
事件数字为或，，D对.
故选：BCD.
例题4．（2023·高一课时练习）连续投掷一枚均匀硬币两次，定义三事件如下：事件：第一次出现正面，事件：第二次出现正面，事件：至少出现一次正面．判断与及与是否相互独立．
【答案】A，B相互独立；A，C不相互独立．
【详解】连续投掷一枚均匀硬币两次，基本事件有：正正、正反、反正、反反，共种，
所以，.
所以，是相互独立事件；
，不是相互独立事件.
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【答案】A
【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
2．（2023春·广东东莞·高一统考期末）一个袋子中有标号分别为，，，的个小球，除标号外没有其它差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个小球，记事件“第一次摸出小球的标号小于”，事件“第二次摸出小球的标号小于”，事件“摸出的两个小球的标号之和为”，事件“摸出的两个小球的标号之积小于”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】B
【详解】从4个小球中采用不放回方式任意摸球两次，所有基本情况有：
，共12种；
由题意可知，，，，，
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）盒中装有大小相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，假设每次随机在5个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是（ ）
A．“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥
B．“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立
C．“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立
D．若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球的概率会大于
【答案】B
【详解】对于A，“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是两次不同的试验，所以两个事件不是互斥事件，所以A错误，
对于B，由于每次取球后放回摇匀，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影响，所以这两个事件是独立的，所以B正确，
对于C，“前三次都取到黑球”与“前三次最多有两次取到黑球”是对立事件，所以C错误，
对于D，因为每次取球后放回摇匀，所以每一次取到白球的概率都为，所以D错误，
故选：B
4．（2023·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
【答案】的成功与的成功不相互独立，理由见解析
【详解】的成功与的成功不相互独立．理由：
，，，，
从而可得的成功与的成功不相互独立.
类型二：相互独立事件与互斥（对立）事件
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件与是独立事件；②事件与是互斥事件；③事件与是对立事件；④.其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】A
【详解】掷一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，
事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，
对于①， ， ，，
，事件与是独立事件，故①正确；
对于②，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件，故②正确；
对于③，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④，，故④错误．
故选：A.
例题2．（多选）（2022·湖北荆州·高二统考期末）已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果与互斥，那么
B．如果与相互独立，那么
C．如果，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】AB
【详解】A选项：如果与互斥，那么，，故A选项正确；
B选项：如果与相互独立，那么，
，故B正确；
C选项：如果，则，，故C错误；
D选项：如果与相互独立，. ，，故D错误
故选：AB
例题3．（多选）（2023·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】ABC
【详解】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A正确；
对于B, 事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，
故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；
对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，
故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，
故选：
例题4．（多选）（2022秋·浙江金华·高二校考开学考试）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，拋掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间，设事件，事件，事件，则（ ）
A．与不是互斥事件B．与是对立事件
C．与是独立事件D．与是独立事件
【答案】AB
【详解】A：因为，所以与不是互斥事件，正确；
B：由，即与是互斥，又，即与是对立事件，正确；
C、D：拋掷这个正四面体一次，若与地面接触面的数字为2，即发生，则一定不会发生，故与不是独立事件，同理与不是独立事件，错误.
故选：AB
例题5．（2022·全国·高一假期作业）一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①与是互斥事件；②与是独立事件；③与是对立事件；④与是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
【答案】②③
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
同类题型演练
1．（2022浙江绍兴·高二校考学业考试）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）
A．与互为对立事件B．与互斥
C．与相等D．与互为独立事件
【答案】D
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含：
第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上；
第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，共4种情况.
其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，且发生互不影响，故D正确.
所以ABC错误，D正确，
故选：D
2．（多选）（2022·湖南常德·高一统考期末）下列四个命题中错误的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则满足
B．若事件A，B，C两两独立，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】BCD
【详解】若事件A，B相互独立，则满足，A说法正确；
举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，
事件B：第二个骰子点数为奇数，
事件C：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有，，
，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以，B说法错误；
举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，
事件B：第二次骰子点数为2，
事件C：第三次骰子点数为3，
则
事件A，B，C被此互斥，则，C说法错误；
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则，满足，但A，B不是对立事件，
D说法错误.
故选：BCD
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件B．事件A与事件B是相互独立事件
C．事件B与事件C是相互独立事件D．
【答案】BCD
【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；
对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C是相互独立事件，故C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．
故选：BCD.
4．（多选）（2022·浙江台州·高二校联考期末）已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件不是对立事件
C．事件发生的概率为D．事件与事件是相互独立事件
【答案】ABC
【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，
事件含有的基本事件有：，共12个，事件含有的基本事件有：，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A正确；
基本事件发生时，事件均不发生，不对立，B正确；
事件中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此，C正确；
，，，不相互独立，D错．
故选：ABC．
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件A与B是独立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件D．
【答案】AB
【详解】由题意知：，，，
∴事件与是独立事件，A正确；
∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确；
点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误；
∵事件是“点数为5点”，∴，D错误.
故选：AB.
类型三：独立事件的乘法公式
典型例题
例题1．（2023秋·山东济宁·高二统考期末）假设，且与相互独立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由与相互独立，则.
故选︰B．
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为B．个球中恰有个红球的概率为
C．至少有个红球的概率为D．个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【详解】记事件为从甲袋中摸出一个红球，事件为从乙袋中摸出一个红球，则
，且事件相互独立，
对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确，
对于B，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确，
对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确，
对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误，
故选：ABC
例题3．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为.
(1)求的值；
(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件“甲第一轮猜对” ，事件“乙第一轮猜对” ，事件C＝“甲第二轮猜对” ，事件“乙第二轮猜对 ，
甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
解得或（舍去）
；
（2）三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，
可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.
甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【详解】（1）设事件：甲投篮命中;
事件：乙投篮命中;
事件：丙投篮命中.
甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.
（2）设事件:恰有两人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.
（3）设事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.
同类题型演练
1．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为
B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为
D．小明恰好得3分的概率为
【答案】B
【详解】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件，从乙盒中摸出一个红球为事件，
由题意得：，，则，.
对于A选项，小明得6分的概率，所以A选项错误；
对于B选项，小明得分低于6分的概率，所以B选项正确；
对于C选项，小明得分不少于3分的概率，所以C选项错误；
对于D选项，小明恰好得3分的概率，所以D选项错误；
故选：B.
2．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“甲晋级”为事件，“乙晋级”为事件，
设“甲、乙两人同时晋级”为事件，
则 ；
（2）设“甲、乙两人中至少有一人晋级”为事件，
由题事件，相互独立，则，也相互独立，
所以 ，
则 .
3．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.
假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到.
(1)设事件为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件的概率；
(2)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，
取得满分的频率为，
所以用频率估计事件的概率为.
（2）设事件为“李明第二次英语听说考试取得满分”，
事件为“李明高考英语听说考试取得满分”.
依题意，，
所以，
所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，
那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到.
4．（2023秋·北京东城·高二统考期末）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.
(1)求a，b的值；
(2)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
(3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由表可知,甲选择A收银台的概率为,
乙选择B收银台的概率为
（2）设事件为“甲选择C收银台”,事件为“乙选择收银台”,事件为“甲,乙两人在结账时都选择C收银台”.
根据题意,,事件相互独立.
所以.
（3）设事件为“甲，乙两人在结账时至少一人选择收银台”,
.
类型四：独立事件的实际应用
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，
所以，，
设参加活动的选手没有获得奖金为事件，
所以.
（2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，
所以，，，
设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，
所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，
所以
例题2．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（2）该应聘者用方案二考试通过的概率．
【答案】（1）;（2）;
【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，
考试通过的概率：
.
例题3．（2022秋·河北唐山·高二校考阶段练习）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【答案】(1),；
(2)
【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，
则有
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.
例题4．（2022春·山东·高一山东师范大学附中校考期中）某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分；将学生得分逐次累加并用表示，如果的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1是先在处投一球，以后都在处投；方案2是都在处投篮．已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为．
(1)若甲同学选择方案2，求他测试结束后所得总分为0分的概率；
(2)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的所有可能取值以及相应的概率；
(3)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．
【答案】(1)
(2)X的取值为0，2，3，4，5，
(3)甲同学选择方案2通过测试的可能性更大，理由见解析
(1)
设甲同学在B处第i次投中为事件，，
在方案2中，
(2)
设甲同学在A处投中为事件A，则，
在方案1中，X的取值为0，2，3，4，5
则，
，
，
，
(3)
设甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，则
因为，
所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．
同类题型演练
1．（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）已知甲乙两人的投篮命中率分别为，如果这两人每人投篮一次，求：
（1）两人都命中的概率；
（2）两人中恰有一人命中的概率.
【答案】（1） 0.56；（2）0.38.
【详解】记事件A，B分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则.
（1）“两人都命中”为事件AB，由于A，B相互独立，所以，即两人都命中的概率为0.56.
（2）由于互斥且A，B相互独立，
所以恰有1人命中的概率为.
即恰有一人命中的概率为0.38.
2．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)甲
(2)
【详解】（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”,
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”,则表示“甲赢得比赛”,
，
表示“乙赢得比赛“,
,
派甲参赛赢得比赛的概率更大.
（2）设表示“甲赢得比赛”,表示“乙赢得比赛”,
由(1)知
,
表示“两人中至少有一个赢得比赛”,
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
3．（2022秋·浙江·高二於潜中学校联考期中）某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件，，的概率；
(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．
由得
解得，，，
（2）由（1）知，，，
记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则
4．（2022秋·河北石家庄·高二校考开学考试）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
【答案】(1)
(2)
（1）
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）
设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
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49
50
收银台
顾客
A收银台
B收银台
C收银台
甲
a
0.2
0.4
乙
0.3
b
0.3
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