河南省新乡市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算即可求解.
【详解】，
故，
故选：B
2. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A. 为锐角三角形B. 为直角三角形
C. 为钝角三角形D. 的形状无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【详解】由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
3. 已知直线与抛物线：图象相切，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，利用相切有求得，从而得解.
【详解】依题意，联立，消去，得，
则，由，所以，
故抛物线方程为，则其焦点坐标为.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解.
【详解】因为，可得，
则，
.
故选：A.
5. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可.
【详解】根据题意进行分类：
第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，（种）.
所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．
故选：D.
6. 函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解.
【详解】，当且仅当时取等号，
由可得，
所以，故，
故选：C
7. 已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 奇函数B. 是奇函数
C. 是奇函数D. 是奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法推得，从而得到的对称性，再利用函数图象平移的性质可判断B，举反例排除ACD，由此得解.
【详解】因为，
令，可得，则；
令，则，
故的图象关于点对称，
则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；
对于C，令，可得，则，
当时，，此时不可能是奇函数，
由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，最小时，有最小值，求的最小值即可.
【详解】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，
则有，，
点在圆锥的侧面上运动，
则，
最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离，
中，，，则，点到的距离，
则的最小值为，的最小值为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）

A.
B.
C. 与时的相对于平衡位置的高度之比为
D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，再代入数据即可判断CD.
【详解】对于AB，由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，又，所以，故A错误，B正确；
对于CD，则，
所以与时的相对于平衡位置的高度之比为
，故C正确D错误.
故选：BC.
10. 已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据集合代表的含义，结合直线过定点以及直线与圆的关系，圆与圆的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，
表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，
对于B，由于，故在圆内，
故经过点的直线与圆相交，，故B正确，
对于C，由于，故在圆外，
故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，
对于D，由于，故两圆相交，，D错误，
故选：AB
11. 如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）

A. 的渐近线方程为B.
C. 的面积为D. 内接圆的半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据斜率以及双曲线的对称性可得为等边三角形，即可根据同角关系与和差公式求解三角函数值，进而利用正弦定理求解，由双曲线定义可得，进而根据选项即可逐一求解，
【详解】对于A，依题意，直线的斜率为，所以，又，
所以为等边三角形，故，
在中，为锐角，
，
所以，
根据正弦定理可得，
即，解得，
所以，即，
所以双曲线的方程为，
对于AB，的渐近线方程为，故AB正确；
对于C，的面积为，故C错误；
对于D，的面积为，
所以内接圆的半径为，故D正确.
故选：ABD，
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用三角函数的知识与正弦定理求得，从而得到双曲线的方程，从而得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.
【详解】由球的截面圆性质可知球的半径，
则该球的体积为.
故答案为：.
13. 若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平均数公式与方差公式求解即可.
【详解】依题意，知这6个数的平均数为，
又，得，
所以这6个数的方差为.
故答案为：；.
14. 已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，根据的图象可知，等于常数的解最多只有3个，根据图象性质可知，等于常数的解最多只有2个，若有6个解，需要有3个解，有2个解，根据图象先求出，再得出和中最小解之间的等式关系，而后结合的值域即可建立关于的不等式，最后构造关于的函数，求导求单调性即可解不等式，进而得出结果.
【详解】令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解，
在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极大值，即极大值为，如下图：
故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为.
又，在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，即当时，有2个零点，
所以使关于的方程有6个解，则，
，即，令，
易知在上单调递增，又，所以的解集为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：
（1）先根据解析式画出两个函数图象；
（2）令复合函数内函数为；
（3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围；
（4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围；
（5）解出参数范围即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
【小问2详解】
由（1）平面，平面,故,
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则0,，，,1,，，
故，,所以,
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面的法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．
16. 已知数列满足，．
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和，并证明．
【答案】（1）证明见解析；.
（2）；证明见解析.
【解析】
【分析】（1）结合递推公式利用等比数列的概念即可证明并求得通项公式；
（2）利用递推公式将用得前项和来表示，即，进而利用等比数列的前项和公式即可求解；令，并用可得单调性，从而即可证明.
【小问1详解】
证明：由题意可知，，
所以数列是首项，公比为6的等比数列.
于是.
【小问2详解】
由题意可知，，所以
又，
令，
，
所以数列单调递增，故，即.
17. 根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．
（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；
（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；
（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为，求的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的频率与频数公式即可得解；
（2）利用频率分布直方图中百分位数的计算方法即可得解；
（3）先求得，再利用独立事件的概率公式分别求得的取值对应的概率，从而得解.
【小问1详解】
由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，
所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.
【小问2详解】
因为，
所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，
则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.
【小问3详解】
由图可知，，同理，
而的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
故.
18. 已知，分别是椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，是上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且．
（1）求的方程；
（2）直线与交于点，与轴交于点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）分别联立直线与椭圆方程、直线与直线方程，求得的坐标，从而将所求转化为的纵坐标的表达式，从而得解.
【小问1详解】
依题意，设，显然，，
则，又，即，
所以，即①，
由，得②，
联立①②，解得，
所以椭圆的方程为，
【小问2详解】
由（1）得，，
设直线的方程为，
因为点位于第一象限，所以，
联立，整理得，
则，所以，则，
所以，
又直线的方程为，即，
所以联立，解得，
故
，
因为，所以，，则，
所以，
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将转化为的纵坐标的比值，从而得解.
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可.
（2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程.
（3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得.
【小问1详解】
的定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
【小问2详解】
函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线的“双重切线”的方程为.
【小问3详解】
设对应的切点为，对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点.
0
1
2
0.08
0.44
0.48