河南省新乡市原阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省新乡市原阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案），共8页。
说明：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时间120分钟.
2.将Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案都写在答题卷上，在试卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（ ）
A．若∥且∥，则∥B．
C．若，且≠，则＝D．
2．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．－1 B． C．0 D．1
5．已知与共线，且向量与向量垂直，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知非零向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
7.在中，分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则（ ）
A. B.3 C.6 D.9
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分。有选错的得0分.
9．已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则或
B．向量与是共线向量，则四点必在同一条直线上
C．向量与是平行向量
D．任何两个单位向量都是相等向量
11．下列说法中，正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则三点共线
12．已知向量，，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量是D．在上的投影向量是
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分.
13．已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ．
14．如果平面向量，那么向量在上的投影向量为 .
15．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
16．在中，，点在线段上，且，，则 ；面积的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知向量 .
（1）求 的最小值及相应的 值；
（2）若 与 共线，求实数 .
18．已知向量，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
19．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里.
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求的值；
(3)为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）.
20．如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．

（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
21.已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值
22．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
数学参考答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D
AB 10.ABD 11．BD 12．BC
13． 14．
6 16.
17．【答案】（1）解：∵
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
即 的最小值为 ，此时
（2）解：∵
又 与 共线，
∴ ．
解之可得 .
18．【答案】（1）解：，
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意恒成立，故，
故的取值范围为.
19．【答案】(1)（海里）
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）在△中利用余弦定理即可求解；
（2）在△中利用余弦定理即可求解；
（3）结合保护自然环境提出建议即可.
【详解】（1）∵，，，
∴在△中由余弦定理得，

∴（海里）.
（2）∵，由正弦定理得，
∴.
（3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动.
20．【答案】（1），；（2）
【详解】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；
(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
【解析】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，

∴，
（2）∵，，与的夹角为，∴，
∴．
21.【答案】 (1) (2)
【详解】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；
【详解】（1）因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
（2）因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以
22．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°