江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．设函数，则（ ）
A．6066B．C．2022D．
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．2D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知函数在上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．
10．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图象相切
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则 .
14．函数的值域是 .
15．若不等式恒成立，则a的取值范围是 .
16．已知函数，方程有2个不同的根，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设函数
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值．
18．已知函数．
(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
19．已知函数在处有极值．
(1)求的极值；
(2)若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．
20．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
21．某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为,设圆柱的高度为，底面半径为，且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为4元，易拉罐上下底面的制造费用均为1元为常数)．
（1）写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式，并求其定义域；
（2）求易拉罐制造费用最低时的值．
22．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】求函数在处的导数即可.
【详解】因为，
所以
曲线在点处的切线的斜率为．
故选：B
2．B
【分析】求出代入可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
4．B
【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求.
【详解】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，
故选：B.
5．D
【详解】试题分析：令，则，所以函数在定义域上为单调递减函数，因为，所以，即，根据函数在定义域上单调递减，可知，故选D.
考点：函数的单调性与导数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.
6．A
【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
7．C
【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故选：C.
8．C
【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
9．CD
【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
10．ABC
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
11．AB
【分析】利用导数结合已知求出判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出切线方程判断D.
【详解】由，求导得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，A正确；
于是，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，D错误.
故选：AB
12．ABD
【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.
【详解】对于A：当时，，令，得，
令，得，即在上单调递增，
又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；
对于B：，
令，得，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；
对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C 错误；
对于D：当时，，，
令，得，
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以，
即恒成立，
所以单调递减，又，
所以，
所以在上单调递减，
且当时，，当时，，
可得的大致图象如下：
由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；
故选：ABD.
13．6
【分析】求导得切线斜率，利用直线平行求解即可.
【详解】由题意知，所以，解得.
故答案为：6.
14.
15．/
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值.
【详解】函数，定义域为，
当时，，，
在为减函数，此时；
当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
此时，
综上可知，.
故答案为：.
16．
【分析】分和两种情况，分别求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图象，由，得到或，由图可知有两个实数根，则有且只有一个实数根，即与只有一个交点，结合函数图象即可得解；
【详解】解：因为，当时，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，，又；
当时，则，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以在取得极大值，；
所以的函数图象如下所示：
方程，即，即或，
因为方程有个不同的实数根，
由图可知有两个实数根和，
所以有且只有一个实数根，即与只有一个交点，
所以或，即；
故答案为：
（1）单调递减区间为，单调递增区间为；4分，求导1分，
（2）1.（6分，求导2分，列表2分，结果2分）
【分析】（1）直接求导，由得单调递增区间即可；
（2）判断的单调性即可求出最值.
【详解】解：（1）定义域为， ，
由得，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）
，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.
【点晴】此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题.
18．(1)或（2，0）（6分，各3分）
(2)或．（6分，各3分）
【分析】（1）根据平行关系确定切线斜率，设出切点坐标，利用导数的几何意义确定切点Q横坐标，代入函数得纵坐标，从而得到切点坐标；
（2）设出切点，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，从而设出切线方程，再根据过原点，代入原点坐标得出切点横坐标，再回代得到切线方程．
【详解】（1），
设，因为直线的斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2，0）．
（2）设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
19．(1)极大值为，极小值为（6分）
(2)（6分）
【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；
（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.
【详解】（1）
由条件知，得
所以随x变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）因为，
所以函数在区间上有三个零点，只需,
所以.
（1）的递增区间，递减区间，极小值，无极大值；（4分）
（2）.（8分，每种情况2分）
【分析】（1）求得，以及函数的单调性，即可求得单调区间和极值；
（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性和最值，结合已知条件，即可求得参数值.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减
时，，单调递增
，
解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，
解得，满足
综上：
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题.
（1）；(6分）
（2）易拉罐的制造费用最低.（6分）
【分析】（1）根据体积的值，得出与的关系，然后将表面积公式中的转化为，再根据等条件得出定义域；
（2）利用导数求出函数的单调性，进而求出最值.
【详解】解：（1）因为体积为
故，即，
易拉罐的侧面积为，
易拉罐的上下两底面的面积为，
所以,
因为，
所以有，解得，
故，
易拉罐的制造费用为；
（2），
令，解得，
若，即，此时
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；
若，即，此时，
当时，函数单调递减，
故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；
综上：当时， ，易拉罐的制造费用最低，
当时，，易拉罐的制造费用最低.
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，解决问题的关键是建立函数模型，建立出函数模型的同时不能忘记定义域的求解，再利用导数或基本不等式等方法求出最值.
22．(1)极大值为，没有极小值.(3分）
(2)0（4分）
(3)（5分)
【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域：，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
则的极大值为：，没有极小值；
（2）当时，，定义域：，
，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3），定义域：，
，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
0
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
0
单调递增
极大值
单调递减
0
单调递增
极大值
单调递减