江西省宜春市丰城第九中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份江西省宜春市丰城第九中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120min 试卷总分150分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．集合，，则的子集的个数为（ ）
A．2B．5C．6D．8
2．若是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．“函数在区间上单调递增”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．若幂函数的图像经过点，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．6D．
6．某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式（其中a，b为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A．48小时B．52小时C．64小时D．120小时
7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若，则的零点个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．为调研某地空气质量，测得该地连续10天PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：）的日均值，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则（ ）
A．中位数为31或33B．第60百分位数与众数相同
C．前4天的极差大于后4天的极差D．前4天的方差小于后4天的方差
10．下列说法正确的是（ ）
A．与的终边相同
B．若为第二象限角，则为第一象限角
C．终边经过点的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
11．已知命题p：函数在上单调递减，则下列是命题p的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
11．已知实数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．计算结果是_________．
14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则在R上的解析式为_________．
15．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
16．已知函数，，则函数的值域为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
17．（10分）已知函数的定义域为A．
（1）求A；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知a，b为正实数，函数
（1）若，求的最小值；
（2）若，求不等式的解集（用a表示）．
19．（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
20．（12分）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，且，求实数n的取值范围．
21．（12分）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
22．（12分）已知函数（且）．
（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．
丰城九中2023-2024年高一年级上学期期末考试数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）
1-8 DCAD CBDD 9-12 BC ACD CD ABC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；共20分）
13．414．15．16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17、（1）由，得，函数的定义域为，即.
（2）集合，
又，，，即，实数a的取值范围.
18、（1）因为，所以，由于a，，
所以，
当且仅当取“=”.
（2）由题，所以，所以
所以
①当时，原不等式的解集为，
②当时，原不等式的解集为，
③当时，原不等式的解集为.
19、解：（1）第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
（2）由直方图得，由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
（3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
20、（1）
当，令，所以，
则在上单调递减，所以，，故的取值范围为；
（2）设，，因为，所以，即，
则的两根为，，整理得，所以，，所以，则，所以，则，即实数的取值范围为.
21、（1）由题意可得：当时，，当时，，
故．
（2）当时，，
得时万元；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时万元.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
22、（1）由，得或.的定义域为；
令，任取，，，
则，
因为，，，所以，
即函数在上单调递增；又，在上为单调递减，且当，，，，
函数在有且只有一个零点，即在有且只有一个解，函数在的值域为，b的取值范围是.
（2）假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得.
又由（1）在上为增函数，在上为减函数.
则在上为减函数，得.
即在上有两个互异实根，由得，，
即，有两个大于1的相异零点.
由，函数开口向上，且对称轴为，
则，解得.故存在实数符合题意.