专题6.9 平面向量及其应用全章十一大基础题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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专题6.9 平面向量及其应用全章十一大基础题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1向量的几何表示与向量的模1．（2023·全国·高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么（　　 ）A．s>|a| B．s<|a|C．s=|a| D．s与|a|不能比大小2．（2023·全国·高一专题练习）若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a//b；③|a|>0；④|b|=1；⑤a|a|=b，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④3．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．4．（2023·全国·高一随堂练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）|OA|=4,点A在点O正南方向；（2）|OB|=22,点B在点O北偏西45°方向；（3）|OC|=2,点C在点O南偏西30°方向.题型2向量相等或共线的判断1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（    ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个2．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P，且EF//AB，则下列等式中成立的是（　　）  A．AD=BC B．AC=BDC．PE=PF D．EP=PF3．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图所标出的向量中：    (1)试找出与FE共线的向量；(2)确定与FE相等的向量；(3)OA与BC相等吗？4．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，  (1)与AB模长相等的向量有多少个？(2)写出与AB相等的向量有哪些？(3)与AB共线的向量有哪些？(4)请列出与EC相等的向量．题型3平面向量的线性运算1．（2023·云南·高二学业考试）化简AC− BD+ CD− AB得（    ）A．AB B．DA C．BC D．02．（2023下·天津宝坻·高一校考阶段练习）3a+b−2a−b−a=（ ）A．5a B．5b C．−5a D．−5b3．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：(1)AB+BC−AD；(2)(AB−CD)−(AC−BD)；(3)(AC+BO+OA)−(DC−DO−OB)；4．（2023·全国·高一专题练习）化简：(1)53a−2b+42b−3a；(2)13a−2b−143a−2b−12a−b；(3)x+ya−x−ya.题型4由平面向量的线性运算求参数1．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在梯形ABCD中，AB=4DC，AC+AB=xAD+yCD，则x−y=（    ）A．5 B．6 C．－5 D．－62．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）在梯形ABCD中，E是CD中点，BC=2AD，设BE=λBA+μBC，则λ+μ=（    ）A．53 B．52 C．2 D．543．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，点P是AB上一点，且CP=23CA+13CB，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM=tCP，则t=（    ）  A．12 B．23 C．34 D．−124．（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ=（      ）A．−56 B．−16 C．12 D．56题型5向量数量积的计算1．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知|a|=8,|b|=6,a,b=150°，则a⋅b=（    ）A．−243 B．-24 C．243 D．162．（2023·云南红河·统考一模）在△ABC中，BC=2,∠BAC=π3，点P满足2PA+PB+PC=0，则PB⋅PC的最大值为（    ）A．−34 B．−14 C．−13 D．−233．（2023·全国·高一假期作业）已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4,|b|=2，求：(1)a→·b→；(2)(a+b)⋅(a−2b)．4．（2023下·高一课时练习）已知a=10，b=12，a与b的夹角为120°，求：(1)a⋅b；(2)3a⋅15b；(3)3b−2a⋅4a+b．题型6平面向量基本定理及其应用1．（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）在△ABC中，点D为BC边中点，点E在线段AC上，且2AE=EC，若AD=a，BE=b，则AB为（    ）A．12a−34b B．12a+23b C．12a+34b D．12a−23b2．（2023下·河北衡水·高一校考期中）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AE=EO，若DE=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ等于（    ）  A．1 B．−12 C．−23 D．183．（2023下·浙江金华·高一校考阶段练习）如图，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数λ和μ的值．4．（2023下·河南南阳·高一校联考期末）如图，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC．  (1)用AB，AD表示AC，BE；(2)若点M满足AM=−12AB+34AC，证明：B，M，E三点共线．题型7平面向量线性运算、数量积的坐标表示1．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知向量a=1,−1，b=−1,2，则2a+b=（    ）A．1,2 B．1,0 C．−1,−2 D．−1,22．（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=−2,−1，则a+b⋅2a−b=（    ）A．10 B．18 C．−7,8 D．−4,143．（2023下·黑龙江牡丹江·高一校考期末）已知平面向量a=1,−2,b=−1,−1.(1)求2a−b的值；(2)求a→⋅b→的值.4．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）已知a=2,3，b=−2,4，c=−1,−2，分别求下列各式的值：(1)2a+b+3a−b；(2)a⋅b+c；(3)a+b2．题型8用向量解决平面几何中的垂直问题1．（2023上·广东佛山·高二校考期中）已知△ABC的三个顶点分别是A−1,0，B1,0，C12,32，则△ABC的形状是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·高一课时练习）在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC⋅BD=0，则四边形为（    ）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形3．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，AB=AC=1，对任意x∈R，有AB+xAC≥AB−12AC.（1）求角A；（2）若AD=13AB，AE=23AC，且BE、CD相交于点P.求证：AP⊥BE.4．（2023下·山东济南·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,b，B−a,0，Ca,0(且ab≠0)，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：EF⊥CD．题型9用向量解决物理中的相关问题1．（2023下·河南开封·高二校考期中）平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，F1=1N，F2=2N，F1与F2的夹角为45∘，则F3大小为（    ）A．3N B．4N C．5N D．6N2．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以103km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（    ）A．北偏西30∘，20km/h B．北偏西60∘，102km/hC．北偏东30∘，102km/h D．北偏东60∘，20km/h3．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知两个力F1=5i+3j,F2=−2i+j,F1,F2作用于同一质点，使该质点从点A8,0移动到点B20,15（其中i,j分别是x轴正方向､y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）．试求：(1)F1,F2分别对质点所做的功；(2)F1,F2的合力F对质点所做的功．4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以23km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．  (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．题型10余弦定理解三角形1．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在△ABC中，若a2+b2−c2=ab，则角C的值是（    ）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2023下·宁夏石嘴山·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且cosA=13，bc=94，求b+c的值（    ）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023上·山西晋城·高二校考阶段练习）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件解三角形：(1)已知b=3，c=1，A=60∘，求a；(2)已知a=31，b=5，c=6，求A．4．（2023上·上海静安·高三校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0.(1)求角A的大小;(2)若 a=3,b+c=3，求b和c的值.题型11正弦定理解三角形1．（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A=π6，则此三角形（    ）A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）△ABC中，A=60∘，BC=43，AC=42，则角C的大小为（    ）A．75∘ B．45∘C．135∘ D．45∘或135∘3．（2023下·江西宜春·高二校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2c−3acosB=3bcosA.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.4．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足2a+bsinA+2b+asinB=2csinC．(1)求角C；(2)若sinAsinB=2ab，求c的值．