河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期3月阶段检测考试数学试题（含答案）

这是一份河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期3月阶段检测考试数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，本试卷可能用到的公式及数据，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章．
5．本试卷可能用到的公式及数据：
在两个变量与的列联表中，，，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）
A．甲、乙两组数据都呈线性相关B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
2．若数列满足，，则（ ）
A．B．5C．D．
3．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查，统计结果如下：
下列结论不正确的是（ ）
A．样本中男生所占比例为60%
B．估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%．
C．样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D．没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联
4．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ）
A．729B．C．D．2187
5．某老师很喜欢某APP中的“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
根据最小二乘法得到关于的回归直线方程为，则（ ）
A．22B．23C．24D．25
6．已知各项均为正整数的数列满足若，则所有可能的取值之和为（ ）
A．15B．29C．D．41
7．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ）
A．18B．20C．22D．24
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数越大，则与之间的线性相关性越强
B．若两个变量x，y的线性相关系数，则与之问不具有线性相关性
C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D．在一组样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性：回归方程为
10．如图，已知点与坐标原点重合，过作斜率为的直线与抛物线的上半部分交于点，以为边构造等边，其中在轴上；过作直线平行于直线，交的上半部分于，以为边构造等边，其中在轴上；依此类推构造等边三角形，…，，…．记为的边长，为的面积，为数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
11．如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（ ）
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则的值不变
B．越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到，则有的把握认为与有关
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．具有线性相关关系的变量x，y的一组观测数据为，其线性回归方程为，且，，则当时，__________．
13．以“智联世界，生成未来”为主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查人们对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：
__________（填“有”或“没有”）的把握认为所持态度与年龄有关．
14．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为___________，若这些数构成一个数列，记数列的前项和为，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
能源和环境问题是目前全球性急需解决的，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求，新能源汽车不仅对环境保护具有重大意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表：
（1）根据表格中的数据，利用最小二乘法求变量y与x的线性回归方程，并根据线性回归方程预测该地区2025年新能源汽车的购买量．
（2）为了调查购买新能源汽车后使用的满意度，从往年购买新能源汽车的所有用户中随机抽取100位进行问卷调查，调查结果如下：
用频率近似概率，若从往年购买新能源汽车的所有用户中随机抽取3位用户深入调查客户需求及建议，设为抽取的3人中对新能源汽车满意的人数，求的分布列与数学期望．
参考公式：，．
16．（15分）
已知数列的前项和．
（1）证明：为等比数列．
（2）令，求数列的前项和．
17．（15分）
第18届亚洲杯于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛吸引了亿万球迷观看．为了了解某校大学生喜欢观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，记“从这100名学生中随机抽取的1名学生为男生”为事件，“从这100名学生中随机抽取的1名学生喜欢观看足球比赛”为事件，“从这100名学生里男生和女生中各随机抽取1人，抽取的2人都喜欢观看足球比赛”为事件，且，，喜欢观看足球比赛的学生中女生的人数比男生少．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为喜欢观看足球比赛与性别有关联．
（2）在喜欢观看足球比赛的学生中，按性别用分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望．
18．（17分）
已知正项数列的前项和为，且．
（1）证明：是单调递减数列．
（2）求数列的前项和．
19．（17分）
某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了①，②两个模型，其中均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令，经计算得到如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好；
（2）由（1）的结论，求拟合程度更好的线性回归方程；
（3）若该公司计划年销售额突破10亿元，根据以上所求的线性回归方程，预测该公司年研发资金投入量至少为多少亿元．
附：相关系数．
线性回归方程中，，．
取．
大联考
南阳地区2024春高二年级3月阶段检测考试卷
数学参考答案
1．C由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确；乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，所以B，D正确；甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，所以C错误．
2．A因为，，所以，，，所以是周期为3的数列，故．
3．D完善列联表如下：
样本中男生所占比例为，所以A正确；估计不喜欢体育锻炼的学生所占比例为，所以B正确；喜欢体育锻炼的男生有80人，中体育锻炼的女生有30人，所以C正确；根据表中数据，计算得到，所以有的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联，所以D错误．
4．B设的公比为，则，，．因为，所以，又，所以，所以．因为的各项均为正数，所以．因为，所以．
5．B因为，，所以，解得．
6．B因为，所以，所以，．
若为奇数，则，；若为偶数，则，．
当时，同理得或（舍去）；当时，同理得或．
故所有可能的取值之和为．
7．B根据题意，写出列联表如下：
则．因为有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，所以，解得，所以的最小值为20．
8．A因为，所以，所以，所以．因为，所以．
9．BD对于A，越大，与之间的线性相关性越强，所以A错误；对于B，若，则样本数据不具有线性相关性，所以B正确；对于C，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据完全相关，所以这组样本数据的样本相关系数为1，所以C错误；对于D，因为，所以去除两个异常数据和后，所以到新的，因为且，所以，．因为得到的新线性回归直线的斜率为3，，所以新的线性回归方程为，所以D正确．
10．ACD依题意可得，则，解得，A正确．因为为数列的前项和，所以，则，于是有，整理得①，则②，②-①得．
因为，所以，则是以4为首项，4为公差的等差数列，所以，，则，B错误．，，C正确．因为，所以数列的前项和为，D正确．
11．BCD对于A，若列联表中的每个数字均变成原来的2倍，则，此时的值变为原来的2倍，所以A错误；对于B，同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱，越大，说明两个变量有关的关系越强，所以B正确；对于C，独立性检验中，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，所以C正确；对于D，根据独立性检验的意义可知，所以有的把握认为与有关，所以正确．
12．42
因为，，所以，．因为线性回归直线过样本点的中心，所以，所以，所以线性回归方程为．当时，．
13．有将表整理成如下列联表：
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以有的把握认为所持态度与年龄有关．
14．；
由图知，，，，…，，累加得，所以．
因为，
所以．
15．解：（1）因为，，
所以，，
所以，，
所以关于的线性回归方程是．
当时，，
所以预测该地区2025年新能源汽车购买量约为2.36万辆．
（2）由样本知往年购买新能源汽车用户的满意率为，易知．
所以；；
；．
的分布列为
所以．
16．（1）证明：当时，，
当时，，
即，等式两边同乘以可得，
所以．
又，所以是以12为首项，6为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，则，
．
令，①
，②
②-①可得，
所以．
因为，
所以的前项和．
17．解：（1）因为，所以这100名学生中男生有60人，女生有40人．
因为，所以这100名学生中喜欢观看足球比赛的有60人，不喜欢观看足球比赛的有40人．
设男生中喜欢观看足球比赛的人数为，则女生中喜欢观看足球比赛的人数为，
因为，解得．
列联表如下：
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以有的把握认为喜欢观看足球比赛与性别有关联．
（2）按照分层随机抽样的方式抽取6人，根据抽样比可知应抽取男生4人，女生2人，
则的可能取值为1，2，3，
，，
所以的分布列为
故．
18．（1）证明：当时，，得．因为，所以．
当时，，则，
所以，即．
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以．
当时，，也适合该式，所以．
因为，且，所以是递减数列．
（2）解：因为，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
19．解：（1）设模型①和②的相关系数分别为，．
因为
，
所以
，
，
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好．
（2）因为，所以，即．
因为，，
所以关于的线性回归方程为，即关于的线性回归方程为．
（3）令，即，解得，
所以预测该公司年研发资金投入量至少为7.15亿元．
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
50
80
合计
110
天数
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答对题数
14
16
18
21
21
a
27
总计
a
b
c
d
总计
年龄在50岁以上（含50岁）
年龄在50岁以下
性别
男
女
男
女
持支持态度
15
10
30
15
不持支持态度
10
10
5
5
年份
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
购买汽车y/万辆
0.40
0.60
1.00
1.20
1.80
满意
不满意
2019年购买
5
3
2020年购买
8
3
2021年购买
14
6
2022年购买
18
7
2023年购买
30
6
男
女
合计
喜欢看足球比赛
不喜欢观看足球比赛
合计
22
66
5885
52276
460
5
31250
364540
3.08
1334
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
80
40
120
女
30
50
80
合计
110
90
200
喜欢
不喜欢
合计
男
3m
3m
6m
女
4m
2m
6m
合计
7m
5m
12m
年龄在50岁以上（含50岁）
年龄在50岁以下
总计
持支持态度
25
45
70
不持支持态度
20
10
30
总计
45
55
100
0
1
2
3
男
女
合计
喜欢观看足球比赛
40
20
60
不喜欢观看足球比赛
20
20
40
合计
60
40
100
X
1
2
3
P