湖北省武汉市第四中学2022-2023学年八年级下学期3月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市第四中学2022-2023学年八年级下学期3月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≥﹣3D．x≥3
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝1，b＝，c＝2
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6
5．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）
A．9B．C．D．18
6．在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB＝CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠B
7．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，则 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2
D．三角形的中位线平行于三角形的第三边
8．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，6，则这个平行四边形的一条边上的高为（ ）
A．B．C．8D．
9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（ ）
A．B．C．22020D．22021
10．如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，FG，则∠HFG＝（ ）
A．65°B．60°C．70°D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：＝ ．
12．已知，，则代数式（x+y）2的值为 ．
13．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 ．
14．在△ABC中，若AB＝13，AC＝20，高AD＝12，则△ABC的面积是 ．
15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB＝，则AM＝ ．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
19．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：如图，有一个水池，其横截面是矩形，边长EF为10尺，在水池正中央有一根垂直于水面（BD）的芦苇（OA），它的顶端A高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端A恰好到达池边的水面B处，求水池里水的深度（OC）是多少尺？
20．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．
（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为；
（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；
（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．
21．（1）如图1，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BE、ED、DF、FB，求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，求证：∠A＝∠B．
22．如图，在△ABC，△ADE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．
（1）求证：AD＝2MN；
（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，点P从点A出发以1cm/s的速度在边AD上向点D运动；点Q从点C同时出发以2cm/s的速度在边CB上向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由；
（2）当t为何值时，∠DPQ＝2∠C，请说明理由．
（3）在线段PD上有一点M，且PM＝6cm，当点P从点A向右运动 秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为 ．
24．已知：如图，四边形ABCD是正方形，等腰直角△CEF中，∠E＝90°，EC＝EF．
（1）如图1，EF经过点A，请直接写出∠FAD与∠DCF的数量关系式．
（2）如图2，EF经过点D，请写出AF与BE的数量关系式，并说明理由．
（3）如图3，DF⊥EF，B，E，F在同一条直线上，且AB＝15，DF＝3，则AE的长为 ．
参考答案
1．D．
2．D．
3．B．
4．D．
5．B．
6．B．
7．C．
8．A．
9．C
解：∵四边形OAA1B1 是边长为1的正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝OA2+AA12，
∴OA1＝OA＝，
∴OA2＝OA1＝2，
∴A2B1＝OA2﹣OB1＝2﹣1＝1，
∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：
S3＝×2×2＝2＝23﹣2，
S4＝24﹣2，
…，
Sn＝2n﹣2，
∴S2022＝22020，
故选：C．
10．A
解：连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，
∵∠ABC＝∠EBD＝50°，
∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣50°＝130°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，
∵∠AMC＝∠EAB+∠CDB，∠EBD＝∠EAB+∠AEB，
∴∠AMC＝∠EAB+∠AEB＝∠EBD，
∵∠EBD＝50°，
∴∠AMC＝50°，
∵点F，H，G分别是AD，AC，CE的中点，
∴GH∥AE，GH＝AE，FH∥CD，FH＝CD，
∴∠GHF＝∠AQH＝∠AMC＝50°，GH＝FH，
∴∠HFG＝∠HGF＝（180°﹣∠GHF）＝×130°＝65°，
故选：A．
11．3．12．8．13或4．14．54或126．
15．2
解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝AB，∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝BN，
∵∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠MBN＝30°，
在Rt△ABM中，
AM＝AB＝×2＝2，
故答案为：2．
16．﹣．
解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，
∴CM＝2，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝2，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，
∴BC＝＝＝﹣．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．
解：（1）
＝
＝2；
（2）
＝
＝4×2
＝8．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，………………………………4分
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB∥DF，EB＝DF，………………………………8分
∴四边形EBFD是平行四边形．………………………………9分
19．
解：设水池里水的深度是x尺
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度（OC）是12尺．
20．
解：（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为，作图如下：
（2）过点C作AB的平行线段CD，使其长度为3，如图：
（3）作平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D，如图：
21．证明：（1）连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）过C作CE∥AD，交AB于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵AD＝BC，
∴CE＝CB，
∴∠B＝∠CEB，
∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB，
∴∠B＝∠A．
22．
【解答】（1）证明：延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，
∵AM＝MB，AN＝NG，
∴MN＝BG，MN∥BG，
∵N为CE的中点，
∴CN＝NE，
∴AE＝GC，
在△DAE和△BGC中，
，
∴△DAE≌△BGC（SAS），
∴AD＝BG，
∴AD＝2MN；
（2）解：设BC＝DE＝x，
在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
∵BC＝DE，BC∥DE，
∴四边形BCED为矩形，
∴CE＝BD＝2，
∴AE＝x+2，
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝2x，
由勾股定理得：AE＝＝x，
则x＝x+2，
解得：x＝＝1，
∴AD＝2x＝2+2，
∴MN＝AD＝+1．
23．
解：（1）当t＝4时，四边形PBQD是平行四边形，理由如下：
由题意得，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（10﹣t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（14﹣2t）cm，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴10﹣t＝14﹣2t，
∴t＝4；
（2）当时，∠DPQ＝2∠C，理由如下：
如图所示，作PG平分∠DPQ，交BC于点G，则，
∵∠DPQ＝2∠C，
∴，
∴∠DPG＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠DPG＝∠QGP，
∴∠QGP＝∠C＝∠QPG，
∴PG∥CD，PQ＝GQ，
∴四边形PDCG是平行四边形，
∴CG＝PD＝（10﹣t）cm，
∴PQ＝GQ＝CQ﹣CG＝2t﹣（10﹣t）＝（3t﹣10）cm，
过点P作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形PDFE、ABEP是矩形，
∴AB＝PE＝DF＝6cm，AP＝BE，PD＝EF＝（10﹣t）cm，
∴BF＝AD＝10cm，
∴CF＝4cm，
∴EQ＝CQ﹣CF﹣EF＝2t﹣4﹣（10﹣t）＝（3t﹣14）cm，
在Rt△PQE中，由勾股定理得PQ2＝EQ2+PE2，
∴（3t﹣10）2＝（3t﹣14）2+62，
解得t＝；
（3）如图所示，作点B关于AD得对称点G，过点G作GH且使得GH＝PM＝6cm，连接PG，HM．
∴BG＝2AB＝12cm，四边形GHMP为平行四边形，PG＝PB，
∴PG＝PB＝HM，
∴四边形BCMP的周长＝BC+CM+PM+BP＝HM+CM+20，
∴当HM+CM最小时，四边形BCMP的周长最小，
∴当C、M、H三点共线时，四边形BCMP的周长最小，最小值为CH+20；
过点H作HT⊥BC于T，交AD于K，则四边形BGHT、AGHK是矩形，
∴BT＝GH＝PM＝AK＝6cm，HT＝BG＝12cm，HK＝AG＝6cm，
∴CT＝8cm，
∴CH＝＝＝4（cm），
∴四边形BCMP的周长最小值为（4+20）cm；
∵KM∥CT，
∴△HKM∽△HTC，
∴，
∴，
∴AP＝AK+MK﹣PM＝4（cm），
∴t＝4，
故答案为：4；（4+20）cm．
24．
解：（1）如图1，设AD与FC的交点为H，
∵∠E＝90°，EC＝EF，
∴∠F＝∠ECF＝45°，
∵∠AHC＝∠F+∠FAH＝∠D+∠DCF，
∴∠FAH﹣∠DCF＝90°﹣45°＝45°；
（2）如图2，过点E作EH⊥BE，且EH＝BE，连接AH，BH，连接CH，BF交于点O，
∵EH⊥BE，EH＝BE，
∴∠HEB＝∠FEC＝90°，BH＝BE，
∴∠HEC＝∠FEB，
又∵BE＝EH，EC＝EF，
∴△HEC≌△BEF（SAS），
∴CH＝BF，∠EFB＝∠ECH，
由三角形内角和定理可得∠FEC＝∠FOC＝90°，
∴∠FBC+∠BCO＝90°＝∠FBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCO，
又∵BC＝AB，CH＝BF，
∴△ABF≌△BCH（SAS），
∴BH＝AF，
∴AF＝BE；
（3）如图3，连接BD，过点A作AN⊥BF于N，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝15，
∴BD＝15，
∵DF⊥EF，B，E，F在同一条直线上，
∴BF2＝BD2﹣DF2＝441，
∴BF＝21，
∵∠BEC＝∠FEC＝90°，
∴BE2+EC2＝BC2，
∴BE2+（21﹣BE）2＝225，
∴BE＝12或9（不合题意），
∴EC＝9，
∵AN⊥BE，
∴∠ANB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABN+∠BAN＝90°＝∠ABN+∠CBE，
∴∠BAN＝∠CBE，
又∵AB＝BC，
∴△ABN≌△BCE（AAS），
∴BE＝AN＝12，BN＝9＝CE，
∴NE＝3，
∴AE＝＝＝3，