陕西省榆林市2024届高三第二次模拟考试（榆林二模）数学

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考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若向量，则（ ）
A.-4 B.-3 C. D.-2
3.若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（ ）
A.0040 B.0041 C.0042 D.0043
5.若满足约束条件则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林沙漠国家森林公园､红碱淖､白云山､易马城遗址这7个景点中选4个游玩（按照游玩的顺序，最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（ ）
A.180种 B.200种 C.240种 D.300种
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A.1 B.2 C. D.-2
9.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（ ）
A. B.2 C.或 D.2或3
11.已知曲线与曲线的公共点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.在中，，则__________.
14.已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：__________.
15.过球外一点作球的切线，若切线长为5，且，则球的体积为__________.
16.已知函数恰有3个零点，则的取值范围是__________.
三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.
（1）求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；
（2）求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.
18.（12分）
已知数列满足.
（1）证明：为等差数列.
（2）记为数列的前项和，求.
19.（12分）
如图，在底面是正方形的四棱柱中，平面，.
（1）证明：四棱柱为正四棱柱.
（2）设二面角为，求.
20.（12分）
已知为函数的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，.
21.（12分）
已知椭圆的左､右焦点分别为过点，且.
（1）求的方程.
（2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数.
（1）求曲线与曲线的交点坐标；
（2）求曲线的普通方程.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
榆林市2023—2024年度高三第二次模拟检测
数学试题参考答案（理科）
1.C 依题意可得.
2.A 若，则，即，解得.
3.D 因为，所以解得所以.
4.C 因为组距为，所以由，得被抽检的编号可以是0042.
5.A 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线经过点时，取得最大值12，所以的取值范围是.
6.B 依题意可得他们这四站景点的选择共有种.
7.A 因为，所以，
.
8.B 因为，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以.
9.D 由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，故该几何体的表面积为.
10.C 因为，所以可设，依题意可得或，故的离心率或.
11.B 由得，设，则为增函数，
因为，所以方程的解为，所以点的横坐标为.
设，则，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得；令，得.所以所求三角形的面积为.
12.B 由题意可得则，即.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或1或.当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意；当时，，此时在，上不单调，故不符合题意；当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意.综上，或.
13. 由余弦定理，得，所以.
14.（或） 依题意可得的标准方程可设为或，将点的坐标代入得，则的标准方程为或.
15. 设切点为，则，所以，则球的半径为，所以球的体积为.
16. 令，
得或.作出的大致图象，
如图所示，这两个函数图象的交点为，因为，，所以由图可知的取值范围是.
17.解：（1）这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为.
（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，
这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，
则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为.
18.（1）证明：因为，所以，
所以，
所以为公差是8的等差数列.
（2）解：因为，所以，
所以，则，
所以或.
19.（1）证明：因为，
所以，则.
又平面，所以
因为，所以平面.
又底面为正方形，所以四棱柱为正四棱柱.
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
.
设平面的法向量为，
则
令，得.
设平面的法向量为，
则
令，得.
由，
得.
20.（1）解：因为，所以.
令，则.
当，即时，则在上恒成立，
所以单调递增.
当，即时，令，解得，则当时，，
单调递减，当时，单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：因为，所以，
则欲证，只需证，
只需证，即证.
令，则在上恒成立，则在上单调递增，故当时，，从而，则结论成立.
21.解：（1）因为，
所以，则，
所以，则，
所以，
则，所以的方程为.
（2）易知，则直线的斜率存在，设其方程为
联立得，
.
因为点在直线上，所以，
，
直线，令，得，
直线，令，得，
，
所以线段的中点为，为定点.
22.解：（1）由曲线的参数方程，得，
由，得，
则
故曲线与曲线的交点坐标为.
（2）由得，
则，代入，得，
整理得，
因为，
所以曲线的普通方程为.
23.解：（1）当时，可化为.
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
故当时，不等式的解集为.
（2）因为，
所以等价于.
因为，
所以的最小值为，所以，
解得或，故的取值范围是.