2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 函数的单调性 课件

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课标要求1.理解导数与函数单调性的关系.2.会利用导数判断或证明函数单调性.3.会利用导数求函数单调区间.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.基础落实•必备知识全过关函数的两个单调区间之间不能用“∪”知识点1　导数的符号与函数的单调性之间的关系1.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数y=f(x)　　　　　　　; 2.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内,函数y=f(x)　　　　　　　.  单调递增单调递减名师点睛1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.2.若在某个区间内,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.(　　)(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.(　　)(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)2.在区间(a,b)内,函数f(x)单调递增是f'(x)>0的什么条件?××√ 提示 必要不充分条件. 知识点2　函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:较快陡峭较慢　平缓名师点睛1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.(　　)(2)函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.(　　)2.如何借助导函数y=f'(x)的图象确定函数y=f(x)的单调区间?√ √ 提示 在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)>0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递增;在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)<0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递减.知识点3　已知函数单调性求参数的取值范围1.解题步骤:函数在区间[a,b]上单调递增(减)→ f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证2.注意事项:一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.3.解决该类问题常用的有关结论:m≥f(x)恒成立⇔　　 　　 ; m≤f(x)恒成立⇔　　 　　. m≥f(x)max m≤f(x)min 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知函数单调性求参数的取值范围,一般转化为不等式恒成立问题,多用分离参数的方法.(　　)(2)对于∀x∈D,a≥f(x)恒成立可以先求出函数y=f(x)(x∈D)的最大值ymax,然后a的取值范围即为a≥ymax.(　　)√ √ 2.若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?答案 f'(x)≥0(或f'(x)≤0). 重难探究•能力素养全提升角度1单调性的证明 规律方法　关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).变式训练1证明:函数 在区间(0,e)内单调递增.角度2不含参数的函数求单调区间【例2】 求f(x)=3x2-2ln x的单调区间.规律方法　求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤 变式训练2函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为　　　　　　　　　. 角度3含参数的函数求单调区间【例3】 讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得00,得x>1,由f'(x)<0,得00,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>0时,f'(x)=ex-a,令f'(x)=0,解得x=ln a,∴当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.∴f(x)在(-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).【例4】 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围. 解 由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a满足a≤0.所以a的取值范围为(-∞,0].规律方法　已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求a的取值.变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求a的取值范围.【例5】 (1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.(2)观察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,原函数f(x)的图象过点(0,0),(2,0),观察图象可得满足f'(x)0时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,故可得,①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的;而③中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误.1.知识清单:(1)利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围.(3)函数图象与其导函数图象的关系.2.方法归纳:分类讨论、数形结合.3.常见误区:研究函数的单调性忽略函数的定义域;函数图象与其导函数图象混淆.学以致用•随堂检测全达标 1.若函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)