2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 函数的极值 课件

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2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值___________x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的________．都大于极小值点极小值3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是____________，f(x0)是________；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是____________，f(x0)是________．极大值点极大值极小值点极小值(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．(4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　　)(2)导数为零的点一定是极值点．(　　)(3)函数的极大值一定大于极小值．(　　)(4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)√××√2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　)A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零D．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增答案：AD解析：由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，所以x＝－3是函数f(x)的极值点，故A、D正确，B不正确；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．故选AD.3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1答案：C解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________．－19解析：y′＝－3x2＋12x由y′>0得04所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0，4)上单调递增．所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值．所以－43＋6×42＋m＝13.题型一　求函数的极值(点)例1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案：(1)D解析：(1)由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2)，故选D. 解析：(2)①函数的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： ②f(x)＝x4－4x3＋5；解析：②因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22，无极大值．    跟踪训练1　(1)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C．x＝－2是函数的极小值点D．x＝2是函数的极小值点(2)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1答案：(1)BD　(2)A解析：(1)由题意，当02，f′(x)>0；当－20即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A、C错，B、D正确．故选BD.(2)∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)<0得－20，解得a<1. 解析：由题意知方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0)．    (1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________．(2)若函数f(x)＝x2＋a ln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值范围为________．29a<－2   求解析式中含有参数的函数极值，有时需要用分类讨论法才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．跟踪训练3　设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 易错辨析　对函数取极值的充要条件把握不准致误例5　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．18 显然函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)没有极值，不符合题意．综上可知，f(2)＝18.1．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案：D解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)令f′(x)＝0，得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，故选D.2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　)A．－2　　 B．2C．0 D．1答案：A