湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数授课课件ppt

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·读教材，题型突破·析典例，知能演练·扣课标等内容，欢迎下载使用。
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古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度按日期排在一起，可组成一个数列.同样，对“磨刀之石”用精密仪器度量，则每日的质量按日期排在一起，也可组成一个数列.
问题　（1）你能定义这两个数列吗？
（2）“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的数列有何特征呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　⁠  　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　⁠  　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　⁠ 
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知识点一　数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种： 　列表法　⁠、 　图象法　⁠、 　解析法　⁠.
提醒　对用列表法和图象法表示数列的两点说明：①列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，也能发现项的变化规律，但由于受函数定义域的影响，有时不能完整地反映一个数列；②图象法可以形象直观地反映数列的项及项的变化规律，但要注意数列的图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点.
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用图象法表示数列时，其图象有什么特点？
提示：其图象是一些离散的点.
知识点二　数列的函数特性
提醒　（1）数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法；（2）要注意数列的特殊性（离散性）.由于数列的定义域是N＋（或它的有限子集{1，2，…，n}），所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合；（3）有的数列不是常数列也不具有单调性，即存在某一项比它的前一项大，也存在某一项比它的前一项小，这样的数列称为摆动数列，因此数列按其单调性可分为“递增数列、递减数列、常数列和摆动数列”.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列的图象可以分布在坐标系内的任意象限.（　　）
（2）递增数列没有最大项.（　　）
（3）递减数列的最大项一定是当n＝1时取得.（　　）
（4）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.（　　）
2.数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是（　　）
解析：因为an＋1－an＝1＞0，所以{an}为递增数列.
3.数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是 　　　　　⁠. 
解析：∵an＝n2－6n＝（n－3）2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
题型一　数列的表示方法
【例1】　（1）根据数列的通项公式填表：
解　（1）由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3（4n＋3），所以a1＝3×（4×1＋3）＝21，a2＝3×（4×2＋3）＝33，a5＝3×（4×5＋3）＝69.令3（4n＋3）＝153，解得n＝12.故填充完整的表格为：
（2）画出数列{an}的图象，其中an＝3n－1.
解　（2）an＝3n－1，列表：
在直角坐标系中图象如图：
1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系.
2.数列an＝3n－1的图象是函数y＝3x－1（x＞0）图象上的无穷多个孤立的点.
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某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N＋，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}.
解：通项公式法：an＝5n（n∈N＋，n≤5）.
题型二　数列单调性的判断
解　图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的.但它在N＋上不具有增减性.
通性通法利用数列的图象判断数列的增减性　　数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性.
利用数列单调性的定义判断数列的增减性
1.作出下列数列的图象，并根据图象判断数列的增减性：
（1）数列{an}的通项公式是an＝2n＋3；
解：（1）作图如下：　 　　
由图知数列{an}是递增数列.　
　　　　　 　 　
由图知数列{bn}是递减数列.
由图可知a2＜a1＜a3，数列{an}不具有增减性，是摆动数列.
（3）数列{cn}的通项公式是cn＝（n－1.2）2＋1；
解：（3）作图如下：　 　　　　　

由图知数列{an}是递增数列.　　
（4）数列{dn}的通项公式是dn＝（n－1.8）2＋1.
题型三　数列单调性的应用
角度一：求变量的取值范围
　　利用数列{an}的增减性解决问题时，既要结合函数单调性的知识，又要注意数列本身的特性，如本例中函数f（x）递增只要满足（3－a）×10－6≤a10－9即可，而数列{an}递增要满足（3－a）×10－6＜a11－9.
求数列{an}的最大（小）项的方法
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn（λ∈R），且为严格单调递增数列，则实数λ的取值范围是 　　　　　　⁠. 
解析：由数列{an}是严格单调递增数列，所以an＋1－an＞0，即（n＋1）2－λ（n＋1）－n2＋λn＝2n＋1－λ＞0，即λ＜2n＋1（n∈N＋）恒成立，又数列{2n＋1}是单调递增数列，所以当n＝1时，2n＋1取得最小值3，所以λ＜3.
1.数列{an}中，an＝－2n，则{an}是（　　）
解析：an＋1－an＝－2（n＋1）－（－2n）＝－2＜0，则{an}是递减数列.
2.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（　　）
3.（多选）下面四个结论中正确的是（　　）
4.已知数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，则a的取值范围为 　　　　　⁠. 
5.写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：
（1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
解：（1）前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所示.
（2）an＝－n＋1.
解：（2）前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②所示.
三维微点 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式.
类型一　由递推公式求数列的某指定项
方法总结　　递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律（如本例的周期性）.
类型二　由数列的递推公式求通项公式
由递推关系求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式，在解答题中还需给出严格的证明；
（2）迭代法、累加法或累乘法：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
已知数列{an}中，a1＝1，an＝n（an＋1－an）（n∈N＋）.求数列{an}的通项公式.
1.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（　　）
解析：A　an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n＞0，∴an＋1＞an，即{an}是递增数列.
2.递减数列{an}中，an＝kn（k为常数），则实数k的取值范围是（　　）
解析：an＋1－an＝k（n＋1）－kn＝k＜0.
4.对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N＋，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 023＝（　　）
解析：由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，所以数列{xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N＋，则x1＋x2＋…＋x2 023＝505×（1＋3＋5＋6）＋1＋3＋5＝7 584.故选D.
5.对任意的an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列满足an＋1＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
解析：由an＋1＝f（an）且an＋1＞an，即f（an）＞an，即函数f（x）图象上任意一点（x，y）都满足y＞x，结合选项可知函数y＝f（x）的图象不可能是B、C、D，故选A.
6.（多选）已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），则此数列（　　）
解析：∵函数f（x）＝－x2＋2x＋1，数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），∴an＝－n2＋2n＋1，对于选项A，数列{an}的图象是当n取正整数时f（n）＝－n2＋2n＋1的图象上的对应点的坐标，∴此数列图象不是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象，故A错误；对于选项B，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，∴此数列是递减数列，故B正确；对于选项C，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，此数列是递减数列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于选项D，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，且此数列是递减数列，此数列只有一项为1，故D错误.故选B、C.
7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为 　　　　　⁠. 
8.已知数列{an}的通项an＝（2－a）n＋a（n∈N＋），若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 　　　　　⁠. 
解析：因为数列{an}是递增数列，所以2－a＞0，解得a＜2，故实数a的取值范围为（－∞，2）.
9.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，1，3，5，…；
解：（1）因为a1＝2×1－3＝－1，a2＝2×2－3＝1，a3＝2×3－3＝3，a4＝2×4－3＝5，故an＝2×n－3＝2n－3.
（3）0.8，0.88，0.888，0.888 8，….
10.已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列{an}的单调性.
解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列.
又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
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11.已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ满足（　　）