江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，进行判断，即可．
【详解】中心对称图形的定义：旋转后能够与原图形完全重合，
∴A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、即是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；
C、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2. 为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是（ ）
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．
【详解】为了解某地一天内的气温变化情况，
应选择的统计图是折线统计图，
故选：B．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．
3. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF//CE，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
4. 在对60个数进行整理的频数分布表中，这组的频数之和与频率之和分别为（ ）
A. 60，1B. 60，60C. 1，60D. 1，1
【答案】A
【解析】
【分析】本题是频数与频率基础应用题，难度一般，主要考查学生对频数与频率的定义的理解和运用能力． 根据频数与频率的定义即可得到结果．
【详解】解：在对个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于，频率之和等于1，
故选A．
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 65°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC′=AC，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°－2∠ACC′=180°－2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分
6. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
7. 一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵有两个红球和一个黄球，共3个球，
∴从中任意取出一个是黄球的概率是；
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某校对400名学生和家长就校园安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的统计图（不完整），根据统计图中的信息，若全校有2050名学生，请你估计对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生有______人．
【答案】1350
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 求得调查的学生总数，则可得对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占的比例，利用求得的比例乘以2050即可得到．
【详解】解：∵调查的家长的总人数是：（人）
∴调查的学生的总人数是：（人）
对“校园安全“知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是（人），
全校2050学生中达到“非常了解”和“基本了解”的学生人数为：（人）．
故答案为：．
9. 在中，，则的度数为______．
【答案】##135度
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的知识，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，；最后根据平行四边形的性质，即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
10. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x - 6上时，线段BC扫过的面积为_______
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
【详解】解：如图所示．
点、的坐标分别为、，
．
，，
∴由勾股定理可得：．
．
点在直线上，
，解得．
即．
．
．
即线段扫过的面积为16．
故选：C．
【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．
11. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据平行四边形中，，要使是直角三角形，则，，画出图形，分类讨论，即可．
【详解】当，，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
综上所述，当的长为或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查平行四边形、直角三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可．
13. 如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则__．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．延长交于点，判定，即可得出，再根据三线合一即可得到即可解答．
详解】解：如图，延长交于点，
∵点是的中点，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴中，，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像过和两点，该一次函数的表达式为______；若该一次函数的图像过点，则的值为______．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，分别将点和点的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；将点代入所求得的一次函数表达式即可得到的值．掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图像过和两点，
∴，
解得：，
该一次函数的表达式为，
∵该一次函数的图像过点，
∴，
解得：．
故答案为：；．
15. 如图，E为外一点，且，，若，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据四边形内角和求出度数，再借助平行四边形的性质可知即可得到结果．
【详解】解：在四边形中，，，
所以．
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和，解题的关键是掌握特殊四边形的角度问题，一般借助旋转转化角，进行间接求解．
三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 某同学在解关于的分式方程，去分母时，由于常数漏乘了公分母，最后解得，试求的值，并求出该分式方程正确的解．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式方程，根据题意，按照该同学的解法解这个分式方程，将解代入，求出的值．再将值代入原方程，求出其正确的解即可．求出的值、掌握解分式方程的步骤是求解题的关键．
【详解】解：由题意得，是该同学去分母后得到的整式方程的解，
∴，
解得：，
∴．
方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：当时，代入得：，
∴是该分式方程正确的解．
17. 先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值：
（1）先根据分式的加法法则，进行化简，再代值计算即可；
（2）先根据分式的加法法则，进行化简，再根据，得到，代入计算即可．
【小问1详解】
解：
，
当时，原式；
【小问2详解】
，
，
，
原式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）．
【解析】
【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【详解】解：（1）△A1B1C如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换．
19. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【答案】（1）；（2）15人，见解析；（3）1520人
【解析】
【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）用选择环境保护的学生总人数减去A，B，C三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图；
（3）先求出四个班中选择文明宣传的百分比，用4000乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．
【详解】解：（1）由折线图可得选择交通监督的各班学生总数为12+15+13+14=54人，
在四个班人数的百分比为54÷200×100%=27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数=；
（2）由扇形统计图中选择环境保护的占30%，
∴选择环境保护的学生人数为200×30%=60人，
∴D班选择环境保护的学生人数为60－15－14－16＝15（人），
补全折线统计图如图；
（3）四个班中选择文明宣传的学生人数所占百分比为1-30%-5%-27%=38%，
该校4000人选择文明宣传的学生人数为：（人）．
【点睛】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
20. 已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图①，B，C分别在射线、上，求作；
（2）如图②，点是内一点，求作线段，使P、Q分别在射线、上，且点O是的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
（1）分别以、点为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件；
（2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于，连接并延长交于，则满足条件．
【小问1详解】
解：如图①，平行四边形为所作；
∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
图②，为所作．
∵，，，
∴，
∴，即点是的中点．
21. 2016年是中国工农红军长征胜利80周年，某商家用1200元购进了一批长征胜利主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．
（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？
（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于640元（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商家购进第一批纪念衫单价是30元；（2）每件纪念衫的标价至少是40元．
【解析】
【分析】（1）设未知量为x，根据所购数量是第一批购进量的2倍得出方程式，解出方程即可得出结论，此题得以解决．
（2）设未知量为y，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得出结论．
【详解】（1）设该商家购进第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是（x+5）元，
由题意，可得：，
解得：x＝30，
检验：当x＝30时，x（x+5）≠0，
∴原方程的解是x＝30
答：该商家购进第一批纪念衫单价是30元；
（2）由（1）得购进第一批纪念衫的数量为1200÷30＝40（件），则第二批的纪念衫的数量为80（件）
设每件纪念衫标价至少是a元，由题意，可得：
40×（a﹣30）+（80﹣20）×（a﹣35）+20×（0.8a﹣35）≥640，
化简，得：116a≥4640
解得：a≥40，
答：每件纪念衫的标价至少是40元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解决此类题的关键是要根据题意找出题目中的等量或不等量关系，根据关系列方程或不等式解决问题.
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF，根据平行四边形的性质得AB=DC．利用“SSS”得△ABF≌△DCE．
（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C，从而得到一个直角，问题得证.
【详解】（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
24. 如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．

（1）求直线的表达式；
（2）求 C、D 坐标；
（3）在直线上是否存在一点 P，使得 ? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形折叠、面积的计算等，（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可得到直线的表达式；（2）由题意得：，故点，设点D的坐标为，根据，即可得到m的值；（3）由，即可求解．
【小问1详解】
解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：；
【小问2详解】
解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点；
【小问3详解】
解：存在，
理由如下：

设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
25. 如图1，在ABC中，BD是AC边上的中线，将DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°） 得到DEA（如图2），我们称DEA为DBC的“旋补三角形”．DEA的边EA上的中线DF叫做DBC的“旋补中线”．
（1）在图2，图3，图4中，DEA为DBC的“旋补三角形”，DF是DBC的“旋补中线”．
①如图2，∠BDE+∠CDA＝ °；
②如图3，当DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝ BC；
③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为 ；
（2）在图2中，当DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明．
（3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P，不需证明，简要说明你的作图过程．
【答案】（1）①180；②；③2
（2）；证明见解析
（3）存在．见解析
【解析】
【分析】（1）①依据，可得；②当为等边三角形时，可得是等腰三角形，，，再根据，即可得到中，，进而得出；③当时，时，易得，即可得到中，；
（2）延长至，使得，连接，，判定四边形是平行四边形，进而得到，再判定，即可得到，进而得出；
（3）延长，，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接、、，由定义知当，且时，是的“旋补三角形”，据此进行证明即可．
【小问1详解】
解：①∵∠ADE＋∠BDC＝180°，
∴∠BDE＋∠CDA＝180°，
故答案为：180；
②当△DBC为等边三角形时，BC＝DB＝DE＝DC＝DA，∠BDC＝60°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝120°，∠E＝30°，
又∵DF是△ADE的中线，
∴DF⊥AE，
∴Rt△DEF中，DF＝DE，
∴DF＝BC，
故答案为：；
③∵BD是AC边上的中线，
∴，
∵∠BDC＝90°，
∴ ，
在△ADE和△CDB 中，
，
∴△ADE≌△CDB，
∴AE＝BC＝4，
∴Rt△ADE中，DF＝AE＝2，
故答案为：2；
【小问2详解】
猜想：DF＝AE．
证明：如图2，延长DF至G，使得FG＝DF，连接EG，AG，
∵EF＝FA，FG＝DF，
∴四边形AGED是平行四边形，
∴，GE＝AD＝CD，
∴∠GED＋∠ADE＝180°，
又∵∠BDC＋∠ADE＝180°，
∴∠BDC＝∠DEG，
在△GED和△CDB中，
，
∴△DGE≌△CDB（SAS），
∴BC＝DG，
∴DF＝DG＝BC；
【小问3详解】
存在．
理由：如图5，延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，
由定义知当PA＝PD，PB＝PC，且∠DPA＋∠CPB＝180°时，△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
∵∠ADC＝150°，
∴∠FDC＝30°，
在Rt△DCF中，
∵CD＝2，∠DCF＝90°，∠FDC＝30°，
∴CF＝2，DF＝4，∠F＝60°，
在Rt△BEF中，
∵∠BEF＝90°，BF＝14，∠FBE＝30°，
∴EF＝BF＝7，
∴DE＝EF−DF＝3，
∵AD＝6，
∴AE＝DE，
又∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△BPG中，
∵BG＝BC＝6，∠PBG＝30°，
∴PG＝2，
∴PG＝CD，
又∵，∠PGC＝90°，
∴四边形CDPG是矩形，
∴∠DPG＝90°，
∴∠DPE＋∠BPG＝90°，
∴2∠DPE＋2∠BPG＝90°，即∠DPA＋∠BPC＝180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．