江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年九年级下学期第一次调研测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）
1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可．
【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意；
B．是一次函数，符合题意；
C．不是一次函数，不符合题意；
D．不是一次函数，不符合题意．
故选：B
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方以及同底数幂的乘法，运用相关运算法则进行计算即可解答．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；
B.，此选项计算错误，故不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 截止2023年12月底，全球人口总数已突破80亿． 将80亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：80亿
故选：B．
4. 若，则的值是（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是把比例式进行合理的变形；由得，再代入化简即可求解．
【详解】，
，
；
故选：C．
5. 将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”即可得到平移后解析式．
【详解】解：抛物线向左平移5个单位长度得到，再向上平移6个单位得到．
故选：A．
6. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， csB＝，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，csB=，
∴∠A=∠B=30°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选B
7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可．
详解】∵抛物线，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，，延长使，连接，得．设，则，，所以 ．类比这种方法，计算的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】仿照题例作等腰三角形，利用直角三角形的边角间关系计算得结论．
【详解】解：如图，在中，，，
延长使，连接，得．
设，
则，．
．
在中，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，看懂题例，仿照题例作出辅助线是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，得，计算即可，本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解题的关键．
【详解】是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，
解得，
故答案为：3．
10. 把因式分解的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在白色区域的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为9个小三角形的面积，其中白色区域面积为6个小三角形的面积，
∴飞镖落在白色区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用白色区域表示所求事件A；然后计算白色区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．
12. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当时，随的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可．
【详解】解：图像过原点，
可以设解析式为：
当时，随的增大而增大，
，开口向上，且对称轴，
即，
可以设二次函数为
满足均可．
故答案不唯一，如：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键．
13. 如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：点分别为的中点，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，则，
故答案为：．
14. 若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，特殊角的三角函数值．先利用根的判别式的意义得到，则可得到，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角的度数．
【详解】解：∵二次函数与轴只有1个公共点，
∴，
解得，
∴锐角．
故答案为：60．
15. 如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，，则使成立的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据抛物线与直线的交点坐标，结合图像即可解答，利用数形结合的思想是解题关键．
【详解】解：二次函数与一次函数图像相交于点，，
时一次函数在二次函数的上方，
使成立的x的取值范围是，
故答案为：．
16. 如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离______米．

【答案】11
【解析】
【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答．
【详解】解：对于，令，则，
解得：，（舍），
∴，
∴米．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键．
17. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则__．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程的，解题关键是得到．
设，则，，，然后在中利用勾股定理列方程求出进而得到．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
故答案为：．
18. 如图，在中，已知，，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半和三角形三边之间的关系，取的中点为O，连接，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．
【详解】解：如图：取的中点为O，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程和特殊角三角函数的混合运算：
（1）运用配方法解方程即可；
（2）把特殊锐角三角函数值代入再进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
，
，
∴，；
（2）
．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．
【详解】解：证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形全等的证明，解题的关键是根据题意找到证明三角形全等需要的条件．
21. 如图，在中，，点是边上的中点，，．求线段的长和的值；
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，由，，，可求、的长，根据题意求得的长，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
点是边上的中点，
，
，
故答案为：，．
22. 如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．
【答案】树的高度为米
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，过作于，交于，通过证明，得到，然后代入对应线段的长度计算求解即可．
详解】解：过作于，交于，则米，米，
（米，（米，
由题意得，，，
，
，
，
（米，
答：树的高度为米．
23. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）四边形AA2C2C的面积是 平方单位．
【答案】（1）（2，﹣2）
（2）见解析 （3）7.5
【解析】
【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可；
（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．
【小问1详解】
如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
点C1的坐标是（2，﹣2）；
【小问2详解】
如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
∴，根据画出点，
∴，根据画出点，
点与点重合，
连接、、，即可得到△A2B2C2；
【小问3详解】
四边形AA2C2C的面积是＝
故答案为：7.5
【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24. 为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九（）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”：，“北斗卫星”；．“高速铁路”；．“神州火箭”四主题中任选一个自己喜欢的主题．现统计了同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（）班共有 名学生；
（2）请以九（）班的统计数据估计全校名学生中大约有多少人选择主题？
（3）请求出主题所对应扇形圆心角的大小；
（4）在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
【答案】（1）；
（2）人；
（3）；
（4）列表见解析，．
【解析】
【分析】（）根据主题的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
（）根据样本中主题的百分比，估计出全校学生选择主题的学生数即可；
（）由主题的百分比，乘以，确定出所求即可；
（）列表确定出所有等可能的情况数，找出手抄报主题不相同的情况数，求出所求概率即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：（名），
则九（）班共有名学生；
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意得：（名），
则估计全校名学生中大约有人选择主题；
【小问3详解】
根据题意得：，
则主题所对应扇形圆心角的大小；
【小问4详解】
根据题意列表如下：
所有等可能的情况有种，其中手抄报主题不相同的情况有种，
则．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
25. 如图，AB为⊙O直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．
(1)求证：CD与⊙O相切于点D；
(2)若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据圆的半径相等，从而∠OAD＝∠ODA，由∠AEO＝90°，∠ADC＝∠AOF，可得∠ADC＋∠ODA＝90°，即可证明；
（2）由三角形中位线定理可知OE＝BD＝×12＝6，设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，则CB＝OC＋OB＝4x，再根据△COF∽△CBD得对应边成比例，即可求出答案．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOF＋∠OAD＝90°，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC＋∠ODA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴OF∥BD，OA＝OB，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC＋OB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF−OE＝9−6＝3．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角函数等知识，利用设参数表示线段的长是解题的关键．
26. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，小明同学为测量宣传牌的长，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为，B，D，E在同一条直线上．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到米，参考数据，．）
【答案】宣传牌的高度约为米
【解析】
【分析】过点作于，证明四边形是矩形，计算利用坡度得，结合，计算即可，本题考查了坡度计算，仰角计算．
【详解】解：过点作于，
依题意知，，，
四边形是矩形，
，
在中，
（米），
；
斜坡的坡度为．
中，（米），
（米）．
在中，
（米），
在中，
（米），
（米）．
答：宣传牌的高度约为米．
27. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．
（1）观察猜想
小华将绕点逆时针旋转，连接，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时；
①的值为______；
②的度数为______度．
（2）类比探究
如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）拓展延伸
若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
【答案】（1）①；②45；
（2）成立，见解析； （3）或
【解析】
【分析】本题考查了相似形综合应用，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）①如图②中，设交于点O．证明，推出；
②依据，推导出，进而得到，可得结论；
（2）如图③中，设交于点O．证明，可得结论；
（3）分两种情形：如图④-1中，当于O时，如图④-2中，当时，延长交于O．分别求出，可得结论．
【小问1详解】
如图（2）中，设交于点．
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
如图（3）中，设交于点．
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图（4）-1中，当于时，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图（4）-2中，当时，延长交于．
同理，可得，
，
综上所述，的长为或．
28. 若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）
（2）有最大值，点的坐标为
（3）满足条件的点的坐标有或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的的图象和性质，用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及平行四边形的性质．
（1）先求出点A和点B的坐标，根据点B和点C的坐标得出，再将点A的坐标代入，求出a的值即可；
（2）延长交于点，设，则，则，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意得出抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，进而得出，设，，根据平行四边形的性质，进行分类讨论①当为边时，②当为对角线时，即可解答．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的表达式为：，
把代入得：
，
解得：，
故该抛物线得表达式为；
【小问2详解】
解：延长交于点，
设：，则，
，
∵，
∴当 时，有最大值，
此时，点的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵点M在新抛物线上，
∴设，
①当为边时，
则点向右平移4个单位得到点，同样点向右平移4个单位得到点，
即，
解得：或6，
即点的坐标的坐标为：或；
②当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
则；
综上，满足条件的点的坐标有或或．