中考数学矩形、菱形和正方形练习

这是一份中考数学矩形、菱形和正方形练习，共9页。
1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2eq \r(3)，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
2．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.
5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
9. 已知菱形的周长为4eq \r(5)，两条对角线的和为6，求菱形的面积．
10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.
(1)试判断四边形EFGH的类型，并证明你的结论；
(2)求四边形EFGH的面积．
11. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G.
(1)求证：BG＝DE；
(2)若点G为CD的中点，求eq \f(HG,GF)的值．
12. 已知正方形的对角线AC，BD相交于点O.
(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；
(2)如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH，交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG.
①求证：∠ODG＝∠OCE；
②当AB＝1时，求HC的长．
答案与解析：
1. A
2. B
【解析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出AC＝eq \r(32＋42)＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B.
3. C
4. 解：(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF
(2) ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE
5. 解：小敏走的路程为AB＋AG＋GE＝1500＋(AG＋GE)＝3100，则AG＋GE＝1600 m，
小聪走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3000＋(DE＋EF)．
连结CG，在正方形ABCD中，∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，在△ADG和△CDG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE＝GE，∴小聪走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3000＋(GE＋AG)＝3000＋1600＝4600 m
6. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，则tan∠DBC＝tan30°＝eq \f(\r(3),3) (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC的度数；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
7. 解：(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝eq \r(CE2＋CF2)＝10，∴OC＝OE＝eq \f(1,2)EF＝5
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连结AE，AF，当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，证出OE＝OC＝OF，∠ECF＝90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
8. 解：(1)∵▱ABCD，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.又∵BE＝EC＝eq \f(1,2)BC，AF＝DF＝eq \f(1,2)AD，∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF (2)∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC.又∵点E是边BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE.又BC＝2AB＝4，∴AB＝eq \f(1,2)BC＝BE，∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°＝eq \r(3)，∴菱形AECF的面积为2eq \r(3)
9. 解：四边形ABCD是菱形，AC＋BD＝6，∴AB＝eq \r(5)，AC⊥BD，AO＝eq \f(1,2)AC，BO＝eq \f(1,2)BD，∴AO＋BO＝3，∴AO2＋BO2＝AB2，(AO＋BO)2＝9，即AO2＋BO2＝5，AO2＋2AO·BO＋BO2＝9，∴2AO·BO＝4，∴菱形的面积是eq \f(1,2)AC·BD＝2AO·BO＝4
【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．
10. 解：(1)连结AC，BD，相交于点O，∵E，F，G，H分别是菱形四边上的中点，∴EH＝eq \f(1,2)BD＝FG，EH∥BD∥FG，EF＝eq \f(1,2)AC＝HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AO＝eq \f(1,2)AB＝3，∴AC＝6，在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝eq \r(AB2－OA2)＝3eq \r(3)，∴BD＝6eq \r(3)，∵EH＝eq \f(1,2)BD，EF＝eq \f(1,2)AC，∴EH＝3eq \r(3)，EF＝3，∴矩形EFGH的面积＝EF·FG＝9eq \r(3) cm2
11. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE，在△BCG与△DCE中，∵∠CBG＝∠CDE，BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE
(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾股定理可知：DE＝BG＝eq \r(5)，∵sin∠CDE＝eq \f(CE,DE)＝eq \f(GF,GD)，∴GF＝eq \f(\r(5),5)，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴eq \f(AB,CG)＝eq \f(BH,HG)＝eq \f(2,1)，∴BH＝eq \f(2\r(5),3)，GH＝eq \f(\r(5),3)，∴eq \f(HG,GF)＝eq \f(5,3)
【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG＝DE；(2)设CG＝1，从而知CG＝CE＝1，由勾股定理可知：DE＝BG＝eq \r(5)，易证△ABH∽△CGH，所以eq \f(BH,HG)＝2，从而可求出HG的长度，进而求出eq \f(HG,GF)的值．
12. 解：(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE.∴△ODG≌△OCE(ASA)，∴OE＝OG
(2)①∵OD＝OC，∠DOG＝∠COE＝90°，又OE＝OG，∴DOG≌COE(SAS)，∴∠ODG＝∠OCE
②设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°.∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°.∴△CHE∽△DCH.∴eq \f(EH,HC)＝eq \f(HC,CD). ∴HC2＝EH·CD，得x2＋x－1＝0.解得x1＝eq \f(\r(5)－1,2)，x2＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)．∴HC＝eq \f(\r(5)－1,2)