【湖南专用】05-指数函数与对数函数（基础卷）

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选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：B.
2．给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解.
【详解】因为指数函数的形式为且，
所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.
故选：C.
3．函数的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性解得，，即可求解.
【详解】由题意知，，即，
，即，
，即，
所以.
故选：B
4．下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数特征得到定义域和单调性，判断出答案.
【详解】A选项，定义域为R，在R上单调递增，A错误；
B选项，的定义域为，其在定义域上单调递增，B错误；
C选项，的定义域为，其在定义域上单调递增，C错误；
D选项，的定义域为，
在上单调递减，但在定义域上不具有单调性，D正确.
故选：D
5．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】结合对数的运算，直接代入求值即可.
【详解】∵，∴，
故选：C．
6．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：.
故选：C
7．下列函数中，不是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】幂函数的通式为（为常数），
则BCD选项均符合幂函数的定义，
而A选项为指数函数，不符合幂函数的定义，
故选：A.
8．已知 则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】结合函数的解析式，先求出，进而可得答案.
【详解】∵，
∴.
故选：C.
9．已知指数函数的图像经过点，则（ ）
A．4B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的定义即可求解.
【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得，
所以，
故选：A.
10．若和是方程的两个根，则等于（ ）
A．B．C．1D．10
【答案】D
【分析】根据韦达定理，结合对数运算计算即得.
【详解】由和是方程的两个根，得，即，
所以．
故选：D
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数解析式求出，，可得答案.
【详解】由题意，，，
所以.
故答案为：1
12．函数且恒过的定点为 .
【答案】
【分析】若且过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出.
【详解】由题意得：，解得，
当时，，
所以定点坐标为.
故答案为：
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知函数，则 .
【答案】/
【分析】由内向外先求，再计算即可
【详解】由题意得，，所以.
故答案为：.
15．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由复合函数的单调性结合对数函数定义域计算即可得.
【详解】由在区间上单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，即有，即，
又在上恒成立，故，即，综上，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求a的值；
(2)求在R上的解析式；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由奇函数性质有，即可求参数；
（2）利用奇函数性质求时的解析式，即可得在R上的解析式；
【详解】（1）由题设，即.
（2）由（1）知：时，，
若，则，而，
综上，.
17．（5分）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值．
【答案】
【分析】将点代入，结合的范围，即可求得实数的值．
【详解】将点代入，得，即，
所以或，
又因为，且，
所以．
18．（10分）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)当时，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，解二次不等式即可得解.
【详解】（1）当时，，
令，得，解得或，
故的零点为或.
（2）因为，
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，
又，故解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．（10分）已知指数函数且，经过点．
(1)求的解析式及的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可；
（2）根据指数函数的单调性求解集.
【详解】（1）指数函数经过点，则且，得，
故，则.
（2）因为，即，
又函数在R上是增函数，有，解得，
所以x取值范围为.
20．（10分）已知函数，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)，定义域为
(2)
【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；
（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为，
解得．
所以，
由题意可得解得，
故的定义域为．
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则解得．
故不等式的解集为．
21．（10分）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求证：是奇函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解不等式可得答案；
（2）通过证明可得答案.
【详解】（1）由已知得，解得，
即函数的定义域为；
（2）由（1）得函数的定义域为，
又，
所以是奇函数.
22．（10分）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为恒成立，列出不等式组，即可求解；
（2）设，根据题意转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
要使得的定义域为，即恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（2）解：设，要使得的值域为，即，
当时，的值域为，此时，
所以函数的值域为，符合题意.
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.