专题2-5 函数与导数压轴小题归类（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

这是一份专题2-5 函数与导数压轴小题归类（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题2-5函数与导数压轴小题归类原卷版docx、专题2-5函数与导数压轴小题归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 题型01 整数解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 题型02 函数零点构造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 题型03 同构: 方程零点型同构 PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 题型04 同构: 不等式型同构求参 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 题型05 恒成立求参：移项讨论型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 题型06 恒成立求参：虚设零点型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 题型07 “倍缩”型函数求参数 PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 题型08 恒成立求参：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 题型09 双变量型不等式范围最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 题型10 双变量型：凸凹反转型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 题型11多参型：代换型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 题型12 多参型：二次构造放缩型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 题型13 多参型：韦达定理求参型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 题型14 多参型：单峰函数绝对值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 题型15 导数与三角函数 PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考练场 PAGEREF _Tc21516 \h 13

题型01 整数解型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型02 函数零点构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .
【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型11多参型：代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A．B．C．D．0
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试 数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．或B．
C．存在实数a，使得D．
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为
A．B．1C．D．3
【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
高考练场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（ ）
A．B．C．D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。
如变形得到，从而构造进行求解.
常见同构：
①；
②；
③
④；
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
一般地，已知函数，
若，，有，则的值域是值域的子集．
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻转型常见思路，如下图

转化为两个函数的最值问题是关键。
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，
令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求
出相应函数的最值