江西省景德镇一中2023届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省景德镇一中2023届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为 （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由图可知：
遮盖的数大于小于，
∴该数可能是，
故选D．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：原式，
故选：C．
3. 如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的左视图不相同，则取走的正方体是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
答案：A
解析：解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，比原来少了右侧的一个正方形；
只取走标有②或③或④的小正方体，左视图不变，
故选：A．
4. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是 （ ）
A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为小时
B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时
C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高
D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时
答案：D
解析：解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时，
乙完成家庭作业所花费时间最长为小时，故选项A，B中的说法错误，不合题意．
这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为（小时），
乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.8（小时），
∵甲、乙两名同学每天的作业是相同的，
∴这一周甲完成家庭作业的平均效率比乙高，故选项C中的说法错误，不合题意．
由统计图可知，同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多1小时，故选项D中的说法正确，符合题意．
故选D．
5. 我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若，则（ ）
A. 减小了B. 增加了C. 减少了D. 增加了
答案：B
解析：解：如图，延长，交于点F，则，
∵，
∴是中位线，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
图（1）中，，
∴增加了，
故选B．
6. 如图，等腰直角三角形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在反比例函数的图象上，且轴．若点C的坐标为，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：如图，过点C作于点D，
∵是等腰直角三角形，即：，
则轴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
设，
∴点B的坐标为，
∴，解得（不合题意，舍去），，
∴点A的坐标为，将其代入，
即：，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 中国科学院深圳先进技术研究院提出可突破物镜标定视场极限的大视场高分辨双光子成像技术，在仅集成商用光学元件的基础上即实现视场直径可达且维持着横向分辨率的双光子成像．其中“”用科学记数法可表示为___．
答案：
解析：解：，
故答案为：．
8. 已知方程，在中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是______．（填写一个符合要求的数字即可）
答案：1（答案不唯一）
解析：解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，解得：，且．
故答案为：1（答案不唯一）．
9. 如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为___．
答案：##25度
解析：解：如图，过点C作，
则，
∴．
过点A作，
则．
∴，
故的最小值为．
故答案为：
10. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了“长阔相差求和图”．如图为“长阔相差求和图”模型，它由4个全等的矩形及1个正方形构成，设矩形的长为，宽为，面积为．若，则___．（用含，的式子表示）
答案：##
解析：解：由题图可知：
，
，
，
，
．
故答案：．
11. 如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为___．
答案：
解析：解：方法一：∵将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，
∴，，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
方法二：在中， ，
设，则，
∴．
在中，，
即，
解得，
即．
故答案为：
12. 在边长为的等边三角形中，点在边上，且，点是射线上不与点A重合的一点，若中有一个角与相等，则的长为_____．
答案：或或
解析：解：如图：过点A作于点E
是等边三角形
，，
，DE=BE-BD=2-1=1

如上图：当点P在线段AD上，在中，时


，得
得，
此时
如图：当点P在线段AD的延长线上，在中，时


，
得，
解得或PD=0(舍去)
此时
如图：当点P在线段AD的延长线上，在中，时，过点B作于点F
，

又

，得
解得
此时

综上，AP的长为或或
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解不等式：．
（2）如图，在四边形中，，平分交于点E，且．求证：．
答案：（1）；（2）证明过程见解析
解析：解：（1），
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）证明：∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
14. 先化简：，再选取一个你喜欢的x的值代人求值．
答案：，（答案不唯一，注意x不可取0，1，－1 ）
解析：原式



当时，原式．（答案不唯一，注意x不可取0，1，－1 ）
15. 如图，电路图上有1个电、4个开关和1个完好的小灯泡．
（1）若随机闭合个开关，小灯泡发光是___事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）若随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率．
答案：（1）不可能 （2）
小问1详解：
解：由图可知，只闭合个开关，小灯泡不能发光，
因此随机闭合个开关，小灯泡发光是不可能事件．
故答案为：不可能；
小问2详解：
解：根据题意，列表如下．
由上表可知，共有12种等可能的情况，其中随机闭合2个开关能使小灯泡发光的情况有8种，
故所求概率为．
16. 如图，四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，E，F分别是，的中点，以为边作一个矩形．
（2）在图（2）中，E是对角线上一点，，以为边作一个菱形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1详解：
解：如图：连接，交于点O，连接，延长交于点G，连接，延长交于H，连接，，，四边形即为所求作的矩形，
证明：四边形是菱形，
，点O是，的中点，，，
又，F分别是，的中点，
，，
四边形与都是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形；
小问2详解：
解：连接交于点O，延长交于点Q，连接，延长交于点P，连接交于点F，连接，，四边形即为所求作的菱形，
四边形是菱形，
，，，
，垂直平分，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
垂直平分，
四边形是菱形．
17. 某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）．
（1）按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示）
（2）已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少．
答案：（1）；
（2）
小问1详解：
解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张，
由题意得
∴，
∴按C种裁法裁剪的纸板有（张），
故答案为：；；
小问2详解：
解：设裁完这些纸板共需，
根据题意，得．
∵，
∴z随x的增大而减小．
又∵，
∴当时，z取最小值，最小值为．
答：裁完这些纸板的时间的和至少为．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某市消防部门为了了解市民家庭消防安全情况，决定对全市家庭做一次简单的随机抽样调查．下列选取样本的方法中最合理的一种是___．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取
收集数据：
市消防部门的工作人员从城区和郊区的市民中各随机抽取15名，就消防安全常识性知识进行测试（满分100分），测试成绩（单位：分）如下．
城区市民：81 95 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
郊区市民：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
整理数据：
分析数据：
根据以上数据信息，解决下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）根据以上数据，请推断出哪里的市民成绩较好一些，并说明理由；
（3）若该市城区共有2000人参与消防安全常识性知识测试，估计测试成绩优秀（成绩不低于80分为优秀）的人数．
答案：③；（1）；（2）根据表格中的数据可知，城区市民成绩较好一些，理由见解析；（3）1200人
解析：解：③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取是最合理的方式．
故答案是：③；
（1）的人数一共5人，所以；
郊区市民成绩排序后最中间的数是75，所以
城区市民成绩最多的数是81，所以；
（2）根据表格中的数据可知，城区市民成绩较好一些．
理由：城区市民成绩的平均数、中位数以及众数均高于郊区市民，说明城区市民成绩较好一些．（答案不唯一，合理即可）
（3）（人）．
答：估计测试成绩优秀的人数为1200人．
19. 一款老式竹编靠背椅如图（1）所示，图（2）是它的侧面示意图，，均平行于水平地面，坐高，宽，背长，总高．靠背的一端固定在横档上的点G处．
（1）求的值．
（2）现需特制一款椅子，保持总高不变，调整靠背的长，且将靠背的倾斜角从调整为，如图（3），若，则需将横档向下平移多少厘米？（参考数据：，，）
答案：（1）
（2）
小问1详解：
解：如图（1），延长交于点M．
由题意得，
∴，四边形为矩形．
∴．
∴．
∴．
∴．
小问2详解：
如图（2），延长交于点M，延长交于点K，延长交于点N．
由题意得四边形，四边形，四边形为矩形．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
由平移得．
∵，
∴，
∴．
∴．
答：需将横档GH向下平移7cm．
20. 如图，与的边交于点E，是直径，与相切于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1详解：
解：证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
小问2详解：
如图，过点O作于点F．
∵，
∴．设，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 数学活动课上，老师提出问题：如图（1），有一张长，宽的矩形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大（纸板厚度不计）．

下面是探究过程，请补充完整．
（1）设小正方形的边长为，盒子的容积为，则y与x之间的关系式是___，自变量x的取值范围是___．
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式补全下表．
②描点：图（2）中已描出表格中部分对应点，请描出剩余的点．
③连线：在平面直角坐标系中用平滑曲线画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积是（结果精确到0.1）
②当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积最大．（结果精确到0.1）
答案：（1），
（2）①从左到右依次填3.0，2.0；②见解析；③见解析
（3）①0.2或1.0；②0.6
小问1详解：
根据题意，得．
∵，∴．
故答案为：，；
小问2详解：
①当时，；
当时，；
故答案为：3.0，2.0 ；
②如图所示
③如图所示．
小问3详解：
①结合函数图象，作直线，与图像交点的横坐标约为0.2或1.0
故答案为：0.2或1.0；
②结合画出的函数图象，看最高点，当图（1）中的小正方形的边长约为0.6时，盒子的容积最大．
22. 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知．
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标．
（2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．
（3）若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
答案：（1），
（2）该同学抛出的弹珠能投入箱子，理由见解析
（3）不能，理由见解析
小问1详解：
解：当时，，
∵当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．
∴结合题图可知抛物线L过点，
把，分别代入，
得，解得，
∴抛物线L的解析式为．
∵，
∴抛物线L的顶点坐标为．
小问2详解：
由题意得，，．
令，得，
解得．
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．
小问3详解：
不能．
理由如下：令，解得，
∴抛物线L与x轴负半轴交于点．
由题意可设抛物线M的解析式为，把代入，
得，
解得．
∵抛物线M的对称轴在直线左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为．
当时，，
故弹珠不能弹出箱子．
六、（本大题共12分）
23. 在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题．
（1）基本图形：如图（1），在中，，，则 ．（用含，的式子表示）
（2）解决问题：在中，， ，．
①如图（2），是边上一动点，点关于，的对称点分别是，，连接，，，，请写出与的数量关系，并说明理由；
②如图（3），若，，分别是边，，上的动点，则的周长的最小值为 ．
（3）应用拓展：如图（4），，分别是边长为的正方形的边，上的动点，且，，，分别是△的边，，上的动点，请直接写出的周长的最小值．
答案：（1）
（2）①，理由见解析；②
（3）
小问1详解：
解∶ 过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB=AC=m，，
∴，，
∵，
∴，即，
故答案为：；
小问2详解：
解：①，理由如下：
如图，连接BD，CE，
由题意知：AP=AD=AE，BD=BP，CP=CE，
∵AB=AB，AC=AC，
∴△ABD≌△ABP，△ACP ≌ACE，
∴∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAP+∠CAP+∠CAE=2（∠BAP+∠CAP）=2∠BAC，
∵ ，
∴∠DAE =90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD2+AE2=DE2，
∴DE2=2AP2，
∴；
②如图，连接，，，，DQ、ER，则DQ=PQ，PR=ER，
∴△PQR的周长为PQ+QR+PR=DQ+QR+RE≥DE，
即当点D、Q、R、E四点共线时，△PQR的周长最小，最小值为DE的长，
∵，
∴当AP最小时，△PQR的周长最小，
根据题意得：当AP⊥BC时，AP有最小值，
∵∠ABC=60°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=75°，
当AP⊥BC时，
∴∠APB=∠APC=90°，
∴∠BAP=30°，∠CAP=15°，
∵，
∴，
∴△PQR周长的最小值为；
故答案为：
小问3详解：
解：过点A作AH⊥EF于点H，延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，
∵∠EAF=45°，
由（2）②得：△PQR周长的最小值为，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠ABC=∠D=90°，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
∴∠GAF=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
又∵AE=AE，
∴△AGE≌△AFE，
∴AH=AB=2．
∴△PQR周长的最小值为．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
城区市民人数
1
a
8
1
郊区市民人数
0
10
4
1
平均数
中位数
众数
城区市民
77.6
80
c
郊区市民
76.8
b
75
…
1
…
…
1.3
2.2
2.7
3.0
2.5
1.5
0.9
…