2023年高考数学学科二模（陕西）

2023年陕西渭南高三二模理科数学试卷一、单选题1、已知集合，则（       ）A. B. C. D. 2、已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为A. B. C. D. 3、已知为等差数列，其前项和为，若，，，则（       ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 94、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（       ）A. B. C. D. 5、棣莫弗公式（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足，则复数z对应的点Z落在复平面内的（       ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限6、将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（        ）A. B. C. -2 D. 27、函数的大致图像为（       ）A.B.C.D.8、2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（       ）A. 2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递减B. 2021年全国居民人均消费支出24100元C. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过60%9、如图，一个棱长分米的正方体形封闭容器中盛有升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则的取值范围是（       ）A. B. C. D. 10、已知直线过双曲线的左焦点且与的左、右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，是以为底边等腰三角形，直线的斜率为（       ）A. B. C. D. 11、在正方体中，，为的中点，点在线段（不含端点）上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论不正确的是（       ）A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 若，则三棱锥体积的最大值为 C. 的最小值为 D. 平面 12、已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（       ）A. B. C. 数列是递增数列 D. 二、填空题13、设，且，则的最小值是              .14、写出与圆和圆都相切的一条直线的方程            .15、甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜恰有2人选用的情形共有                种.（用数字作答）16、若函数的关系式由方程确定.则下述命题中所有真命题的序号为              .①函数是减函数；                  ②函数是奇函数；③函数的值域为        ④方程无实数根：⑤函数的图像是轴对称图形.三、解答题17、随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km. (1)求的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.当时，求；已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值.在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面是边长为2的正三角形，，.求证：；求二面角的正弦值.在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点､下顶点､右焦点分别为A，B，F.若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积；设M，N是椭圆E上的两个动点，直线与的斜率之积为，若点P满足：.问：是否存在两个定点G，H，使得为定值？若存在，求出G，H的坐标；若不存在，请说明理由.已知函数.证明：；若，求实数的取值范围；证明：. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．已知函数．当时，求的最小值；若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．1 、【答案】 B;【解析】 函数有意义，则有，即，可得，由不等式，解得，可得，则.因此正确答案为：B.2 、【答案】 C;【解析】 ，所以，，而，所以．故选：．3 、【答案】 C;【解析】 ∵，，∴，∵，解得：.因此正确答案为：.4 、【答案】 A;【解析】 【分析】看成关于的二次函数，即可求解.【详解】根据题意得：由于所以是关于的二次函数，因此当即时，取得最小值.故选：A.5 、【答案】 C;【解析】 ，根据棣莫弗公式可知，，即，则，复数z对应的点落在复平面内的第三象限.因此正确答案为：C6 、【答案】 A;【解析】 【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得.【详解】根据题意可得抛物线的焦点坐标为，抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为，易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得，解得.故选：A7 、【答案】 A;【解析】 【分析】先求出定义域，由解析式得到，判断出图像关于对称.排除C、D；再利用特殊点，的正负排除B，即可得到正确答案.【详解】要使函数有意义，只需，解得：，即函数的定义域为.因为，所以的图像关于对称.排除C、D；令，解得：.所以.又，，.对照选项A、B的图像，选A.故选：A8 、【答案】 B;【解析】 【分析】根据条形图、折线图、扇形图等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据条形图可知，2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，A选项错误.B选项，根据扇形图可知，年全国居民人均消费支出为：元，B选项正确.C选项，根据条形图可知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，C选项错误.D选项，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，D选项错误.故选：B9 、【答案】 A;【解析】 将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如下图所示，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.因此正确答案为：A.10 、【答案】 D;【解析】 【分析】设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程来求得直线的斜率.【详解】对于双曲线，，所以，双曲线的渐近线方程为，设直线的斜率为，要使直线与双曲线的左右两支都相交，则，直线的方程为，由消去并化简得，设，则，由于是的中点，所以.由于是以为底边的等腰三角形，所以，即，整理得，解得.故选：D11 、【答案】 B;【解析】 【分析】对于A，将异面直线平移可知直线与所成的角即为直线与所成的角，即可得A正确；对于B，易知点的轨迹是椭球表面，根据等体积法可得当点在中点的正上方时，三棱锥的体积最大值为，即B错误；对于C，将平面展开可得当三点共线， 的最小值为，即C正确；对于D，利用面面平行的性质可得平面平面，又平面，所以平面，即D正确.【详解】对于A，如下图所示：易知为平行四边形，则，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，又点在线段（不含端点）上运动，可知是等边三角形，当点趋近于两端时，直线与所成的角大于且趋近于，当点为的中点时，直线与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，即A正确；对于B，若，又，所以在同一平面内，点的轨迹是以为焦点的椭圆，又因为为空间中任意一点，所以点的轨迹是长轴为，短轴为，焦距的椭球表面，当点在中点的正上方时，点到平面的距离最大为，由等体积法可知，所以三棱锥的体积最大值为，即B错误；对于C，如下图所示：展开平面，使平面与平面共面，过作，交于点，交于点，此时三点共线，满足取最小值，由题可得，所以，即的最小值为，即C正确；对于D，如下图所示：易知，平面，平面，所以平面；同理可得平面，又，且平面，所以平面平面，又平面，所以平面，即D正确.故选：B12 、【答案】 D;【解析】 【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图像可判断选项；D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项.【详解】解：的极值点为在上的变号零点.即为函数与函数图像在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到时，，，.结合图像可知当，.当，.故A错误；B选项，由图像可知，则，故B错误；C选项，表示两点与间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；D选项，由A选项分析可知，，又结合图像可知，当时，，即此时，得在上单调递增，则，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.13 、【答案】 ;【解析】 【分析】利用定积分求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】，则， ，当且仅当时等号成立.故答案为： 14 、【答案】 或或（三条中任写一条即可）;【解析】 【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；与的距离为，所以两圆外切.过与的直线方程为.由图可知，直线是两圆的公切线，由解得，设，设两圆的一条公切线方程为，到直线的距离为，即，解得，所以两圆的一条公切线方程为，即.由两式相减并化简得，所以两圆的公切线方程为或或.故答案为：或或（三条中任写一条即可）15 、【答案】 288;【解析】 【分析】根据组合的知识求得正确答案.【详解】菜恰有2人选用的情形共有种.故答案为： 16 、【答案】 ①④⑤;【解析】 【分析】首先通过分类讨论得到函数各部分的轨迹，作出图象，一一代入分析即可.【详解】当时，方程为，此时轨迹为四分之一圆，当时，方程为，即，此时轨迹为双曲线的部分，当时，方程为，方程无实数解，当时，方程为，即，此时轨迹为双曲线的部分，作出图象如下图所示：对①，观察图象得函数是减函数，故①正确，对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数不是奇函数，故②错误，对③，显然根据图象易知值域不是，故③错误，对④，，即，方程的根即为的图象与直线交点横坐标，显然两双曲线部分的渐近线均为，故与在二、四象限的图象无交点，且与第一象限的圆弧显然也无交点，故④正确；对于⑤，根据两双曲线的解析式特点及圆的对称性，易得函数关于直线对称，取图象上任意一点，于是得，当时，，因此点在的图象上，所以函数的图像关于直线对称，它是轴对称图形，故⑤正确；故答案为：①④⑤.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理的分类讨论，得到函数各部分图象的轨迹，且分析出其与双曲线和圆的关系，然后作出图象，利用图象进行分析.17 、【答案】 (1)km(2)km;【解析】 （1）联结，在中，由余弦定理可得，，所以，即的长度为；（2）记，则在中，由余弦定理可得：，即，从而所以，则，当且仅当时，等号成立；新建健康步道的最长路程为，故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加 18 、【答案】 (1)(2)1250;【解析】 （1）由已知，所以 ；（2）由已知，所以，若，则，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；综上所述 ，估计信号发射次数的最小值为1250.19 、【答案】 （1）证明见解析（2） ;【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得平面，由此证得.（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，∵，∴，∵底面是边长为2的正三角形，∴，，∴，又，∴平面，且平面，∴.（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.∵侧面底面，∴侧面平面，又，侧面平面，∴侧面，又平面，∴，又且，∴平面，∴，∴为所求二面角的平面角，∵，∴，又，∴，∴二面角的正弦值为.法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，∴，令，得，又为平面的一个法向量，设二面角的大小为，显然为锐角，，则，∴二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20 、【答案】 (1)；(2)存在，G，H的坐标分别为，．;【解析】 （1）通过题意，，，，直线方程为，由得或，所以，；（2）设，，，由得，即，，点在椭圆上，所以，，所以，直线斜率之积为，，所以，所以点在椭圆上，该椭圆的左右焦点为，则为定值，又，因此这两个定点坐标为，．21 、【答案】 (1)证明见解析(2)(3)证明见解析;【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数证得，从而证得.（2）由分离，利用（1）的结论求得的取值范围.（3）结合（1），列不等式，根据等比数列的前项和公式证得不等式成立.【详解】（1）令，，由，解得，当时，；当时，；所以在递减，递增，即，即；（2）由可得：由（1）知（当且仅当取等号），，所以，即；（3）由（1）知，令，可得，所以因为数列是首项为1，公比为的等比数列，所以.【点睛】利用导数证明不等式的基本过程是：转化要证明的不等式（一边为或常数），然后构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性、极值和最值等，由此证得不等式成立.22 、【答案】 (1)C：，直线l：(2) ;【解析】 （1）曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．23 、【答案】 (1)2；(2)证明见解析.;【解析】 （1）当时，，当，，；当，，；当，，；∴当时，的最小值为2．（2），，当时，可化为，令，，，∴∴，当且仅当时取得等号；又当时， ，故.