人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课堂检测

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8.1-8.2 二元一次方程组、消元解二元一次方程组
知识点1：二元一次方程的定义
【典例分析01】（2019春•招远市期中）若方程3x2m+1﹣2yn﹣1＝7是二元一次方程，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝0，n＝1D．m＝0，n＝2
【思路引导】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【完整解答】解：根据题意，得
2m+1＝1且n﹣1＝1，
解得m＝0，n＝2．
故选：D．
【考察注意点】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程．
【变式训练01】（2021春•饶平县校级期末）若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（ ）
【变式训练02】（2021春•饶平县校级期末）已知关于x，y的方程2xm﹣3+3yn﹣1＝8是二元一次方程，则mn的值为 ．
【变式训练03】（2021春•自贡期末）若2x|m|+（m+1）y＝3m﹣1是关于x，y的二元一次方程，则m的值是
【变式训练04】．（2015春•海陵区校级期中）已知方程（m﹣3）xn﹣1+＝0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
知识点2：二元一次方程的解
【典例分析02】（2021春•温州月考）下列各组解是二元一次方程2x﹣y＝3的解的是（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】据二元一次方程的解的定义，能使二元一次方程左右两边相等的x，y的值即为二元一次方程的解，把各组数代入方程计算，使方程成立的即为所求．
【完整解答】解：A、∵把代入方程2x﹣y＝3得：左边＝2﹣1＝1，右边＝3，
左边≠右边，
∴不是方程2x﹣y＝3的解，故本选项不符合题意；
B、∵把代入方程2x﹣y＝3得：左边＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，右边＝3，
左边≠右边，
∴不是方程2x﹣y＝3的解，故本选项不符合题意；
C、∵把代入方程2x﹣y＝3得：左边＝2﹣（﹣1）＝3，右边＝3，
左边＝右边，
∴是方程2x﹣y＝3的解，故本选项符合题意；
D、∵把代入方程2x﹣y＝3得：左边＝﹣6+4＝2，右边＝3，左边≠右边，
∴不是方程2x﹣y＝3的解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．
【变式训练05】在二元一次方程2x+y＝6中，当x＝2时，y的值是（ ）
A．1B．﹣2C．2D．﹣1
【变式训练0】（2021春•南浔区期末）定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7．
若a☆b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【变式训练07】（2021春•永嘉县校级期末）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，求出方程组的解是 ．
【变式训练08】（2021春•自贡期末）对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【变式训练09】（2021春•饶平县校级期末）小萌知道和都是二元一次方程ax+by+4＝0的解，请你帮她求出a3b的立方根．
知识点3：解二元一次方程
【典例分析3】（2021春•道外区期末）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝ ．
【思路引导】将x看着已知数，y看着未知数，求出y即可．
【完整解答】解：2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故答案为：2x﹣3
【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是将x看着已知数，y看着未知数．
【变式训练10】（2021春•饶平县校级期末）二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（ ）对．
A．1B．2C．3D．4
【变式训练11】（2014春•扶沟县期末）方程x+2y＝7在自然数范围内的解（ ）
A．有无数个B．只有一个C．只有3个D．以上都不对
【变式训练12】．（2021春•东莞市期末）把方程2x﹣y＝7变形，用含x的式子来表示y，则y＝．
【变式训练13】（2020春•昌平区期末）在关于x、y的二元一次方程y＝kx+b中，当x＝2时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝9．
（1）求k、b的值；
（2）当x＝5时，求y的值．
【变式训练14】．（2017春•沙坪坝区校级期中）阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程2x﹣3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y＝12，得y＝＝4﹣x，（x、y为正整数）
∴则有0＜x＜6．又y＝4﹣x为正整数，则x为整数．
由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．
∴2x+3y＝12的正整数解为
问题：（1）若为自然数，则满足条件的整数x值有 个
（2）请你写出方程2x+y＝5的所有正整数解： ，
（3）若（x+3）y＝8，请用含x的式子表示y，并求出它的所有整数解．
知识点4：二元一次方程组的定义
【典例分析4】判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【思路引导】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【完整解答】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；
（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；
（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组．
【考察注意点】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【变式训练15】（2021春•莱山区期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练16】（2021春•扶沟县期末）下列不属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练17】下列四个方程组中，①②③④二元一次方程组有 个．
知识点5：二元一次方程组的解
【典例分析5】（2021春•昭通期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当a＝0时，方程组的解也是方程2x+y＝4的一个解；
②当x﹣2y＞7时，a＞0；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若a＝1，则x2+4y＝0．
以上四种说法中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【思路引导】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【完整解答】解：①当a＝0时，方程组的解为：，
也是方程2x+y＝4的一个解，符合题意；
②关于x，y的方程组的解为：，
当x﹣2y＝a+3+4a+4＞7时，a＞0，符合题意；
③不论a取什么实数，2x+y＝2（a+3）+（﹣2a﹣2）＝4的值始终不变，符合题意；
④当a＝1时，方程组的解为：，
则x2+4y＝0，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故选：D．
【考察注意点】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式训练18】（2021春•上城区期末）已知方程组，下列说法正确的有（ ）个
①a2+b2＝12；②（a﹣b）2＝8；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【变式训练19】（2021春•秀洲区校级月考）若关于x，y的方程组的解是正整数，则整数m的值为
【变式训练20】（2021春•临沭县期末）关于x、y的方程组的解是，则（m﹣n）2021的值为 ．
【变式训练21】（2021春•新蔡县期末）已知关于x、y的方程组，a为常数．
（1）求方程组的解；
（2）若方程组的解x＞y＞0，求a的取值范围．
【变式训练22】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝＝4﹣x（x、y为正整数）．要使y＝4﹣x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
知识点6：解二元一次方程组
【典例分析6】（2021秋•涡阳县期末）（1）﹣1+2﹣3÷4；
（2）；
（3）＝1﹣；
（4）解方程组：．
【思路引导】（1）先算乘法，后算加减；
（2）利用乘法的分配律计算；
（3）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，使方程逐渐向x＝a形式转化．
（4）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①×2+②×3，得x的值，把x值代入方程①，求出另一个未知数的值．
【完整解答】解：（1）﹣1+2﹣3÷4
＝﹣1+2﹣
＝1﹣
＝；
（2）
＝×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
＝﹣6+30﹣7
＝17；
（3）＝1﹣，
去分母，得2（x+3）＝12﹣3（3﹣2x），
去括号，得2x+6＝12﹣9+6x，
移项，得2x﹣6x＝12﹣9﹣6，
合并同类项，得﹣4x＝﹣3，
把x的系数化为1，得x＝；
（4）
①×2+②×3得，
13x＝﹣26，
x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得y＝﹣3，
此方程组的解．
【考察注意点】本题考查解一元一次方程、解二元一次方程组、有理数混合运算，掌握解一元一次方程、解二元一次方程组的步骤及有理数混合运算法则是解题关键．
【变式训练23】（2020春•南丹县期末）解方程组，用加减法消去y，需要（ ）
A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2
【变式训练24】（2018春•钦州期末）用代入法解方程组时，下列说法中，正确的是（ ）
A．直接把①代入②，消去yB．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去yD．直接把②代入①，消去x
【变式训练25】（2021春•金坛区月考）已知二元一次方程组，则8x+7y＝ ．
【变式训练26】（2020春•海州区期末）若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
【变式训练27】（2021春•通许县期末）对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定，如．若x、y同时满足．求x，y的值．
【变式训练28】（2021春•曲阜市期末）若点P（x，y）的坐标满足．
（1）当a＝1，b＝1时，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围；
（3）若点P（x，y）为不在x轴上的点，且满足x+4＝﹣y，求关于t的不等式at＞b的解集．
【变式训练29】（2019春•内江期末）已知y＝kx+b．当x＝1时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝9．
（1）求出k，b的值；
（2）当﹣3≤x≤3时，求代数式x﹣y的取值范围．