第01讲 一次方程(组）（考点精析+真题精讲）-备战2024年中考数学一轮复习考点研究（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
备战2024中考数学一轮复习
第1讲一次方程(组）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
第二章方程（组）与不等式（组）
第1讲一次方程(组）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一元一次方程的定义
考向二 解一元一次方程
考向三 阅读理解、定义、规律问题
考向三 一元一次方程的应用
考向四 二元一次方程（组）的定义
考向五 解二元一次方程组
考向六 二元一次方程组的应用
第1讲一次方程(组）
本板块内容以考查解一元一次方程和二元一次方程组、及一元一次方程与二元一次方程的应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为15分左右。预计2024年各地中考还将继续考查各种方程（组）的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
一、方程和方程的解的概念
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程:含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．
2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．一元一次方程的求解步骤
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
三、二元一次方程（组）及解的概念
1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
四、一次方程（组）的应用
1．列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2．一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
→➋真题精讲←
考向一 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（是常数且）．
1．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解析】解：关于x的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程为或，
解得：或，当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
考向二 解一元一次方程
解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．
2．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【解析】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
3．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A．B．1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【解析】解：由题意知：，又，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
4.（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499B．500C．501D．1002
【答案】C
【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．n=1002÷2=501．故选C．
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
考向三 新定义、阅读理解、规律问题
5．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，，第个相同的数是，进而可得的值．
【解析】解：第1个相同的数是，第2个相同的数是，
第3个相同的数是，第4个相同的数是，，
第个相同的数是，所以，解得．
答：第个相同的数是103，则等于18．故选：．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．
6．（2018·湖南常德·中考真题）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．方程组的解为
【答案】C
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
7．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
【答案】
【分析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∵，∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
考向四 一元一次方程的应用
列方程解实际应用题的一般步骤：
（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；
（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；
（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．
8．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】C
【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，
即，
∵为正整数，
∴
则，
故有7种方案，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
10．（2019·贵州黔东南·中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.
【答案】2000，
【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.
【解析】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，
解得：x＝2000，故答案为2000.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.
考向五 二元一次方程（组）的定义
（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．
（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．
11.(2020.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】根据定义可以判断：
A、，满足要求；B、中含有a，b，c，是三元方程；
C、中含有，是二次方程；D、中含，是二次方程．故选A．
【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．
12．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如x﹣y．
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组的解为，而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
考向六 解二元一次方程组
二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．
13．（广西桂林·中考真题）若，则x，y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
分析：先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
【解析】∵，∴
将方程组变形为，①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为．故选D．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
14．（2019·四川内江·中考真题）若为实数，且，则代数式的最大值是_____．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式，求出z的值，即可解答
【解析】，(1）﹣（2）得，，
把代入（1）得，，
则，
当时，的最大值是26，故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
15．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
16．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
17．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
18．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，－3C．D．，－
【答案】C
【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【解析】解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，∴x＋2y的算术平方根为，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
19．（山东滨州·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
【答案】
【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a,b．
【解析】详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组 可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组整理为：解得：
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是
∴方程组的解是解得故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
考向七 二元一次方程组的应用
由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．
20．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据等量关系“鸡的只数兔的只数”和“2鸡的只数兔的只数”即可列出方程组．
【详解】解：设有x只鸡，y只兔，
由题意可得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．
21．（2023·黑龙江·统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】B
【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得，
，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
②当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；(2)租14辆45座客车较合算
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
23．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．
(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．
【详解】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，
由题意得：，
解得，
答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元．
（2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，
购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，
，
解得，
又为正整数，
所有可能的取值为18，19，20，
①当，时，购买总费用为（元），
②当，时，购买总费用为（元），
③当，时，购买总费用为（元），
所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300