专题15 反比例函数与几何图形综合题（与三角形、与特殊四边形）-备战2024年中考数学一轮复习重难题型（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题15反比例函数与几何图形综合题
（与三角形、与特殊四边形）
类型一与三角形有关
1．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．

(1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案；
（2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，过作于，
则，而，，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键．
3．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；(2)M点的坐标为或
【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
经检验，是方程的解，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
4．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)或；(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
6．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．

(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)，；(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；
（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
（2）∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)9；(3)或
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
8．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)或
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
9．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)，；(2)；(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
10．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上

(1)求k的值；
(2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
【答案】(1)；(2)1
【分析】（1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值；
（2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值．
【详解】（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
（2）∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
11．（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)；；；(2)
【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；
（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：把点代入和得：
，，
解得：，，
∴的解析式为，反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：延长交x轴于点F，如图所示：

将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
，
联立，
解得：，，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点F的坐标为，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
12．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或；(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l得解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
13．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为；(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
14.（2022·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3
(1)求k和b的值；(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．
【答案】(1)b=5，k=6
(2)不在，理由见详解
【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
(1)解：由题意得：，∴b=5，k=6；
(2)解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，
由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，∴点，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为，∴点C的横坐标为，
∴点C坐标为，∴CF=4，OF=1，
∴，，
由旋转的性质可得：，
根据等积法可得：，
∴，∴，∴，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
15.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．
（1）求一次函数的表达式：
（2）求点的坐标及外接圆半径的长．
【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为
【分析】
(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．
【详解】
解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：
∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设，则，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(负值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．
15.（2021·四川广元市·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，
（1）求直线的解析式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为．
【分析】
（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案．
【详解】
（1）∵点A在双曲线上，点A的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线解析式为．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
17.如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；
（2）求直线的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）把点代入解析式，即可得到结果；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；
（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．
【详解】
解：（1）把点代入可得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．
设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，
∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，
∴．
∴
．
∵的面积为8，
∴，整理得．
∴．解得（舍去）．
∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，
则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，
把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
18.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）点C的坐标为
【解析】
【分析】
（1）过点B作轴于点M，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解；
（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）过点B作轴于点M，则
在中．
设，则．
又．
．
又
，
∴点B的坐标是
∴反比例的解析式为．
（2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：．
又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中，
．
．
∴直线AB的解析式为：．
令，则．
．
令，解得．
经检验都是原方程的解．
又．
．
．
．
．
经检验，是原方程的解．
∴点C的坐标为．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
19.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1），；（2），，，；（3）-12