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    江苏省淮阴中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性考试数学试卷

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    江苏省淮阴中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性考试数学试卷

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    这是一份江苏省淮阴中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性考试数学试卷,共7页。试卷主要包含了03,若复数,已知,则,在中,设为锐角,若,则的值为,已知,且,则等内容,欢迎下载使用。
    2024.03
    一、单选题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.若复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为( )
    A.-5 B.5 C. D.
    2.设都是非零向量,下列四个条件中,能使一定成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    3.已知和是两个不共线的向量,若,且,三点共线,则实数的值为( )
    A. B.1 C. D.-1
    4.在中,点是边上靠近点的三等分点,点是的中点,若,则( )
    A.1 B. C. D.-1
    5.已知,则( )
    A. B. C. D.
    6.在中.点是边的中点,且满足,则( )
    A. B. C. D.
    7.设为锐角,若,则的值为( )
    A. B. C. D.
    8.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余剧,在某直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用(角)表示.现已知,则该函数的最小值为( )
    A. B. C.1 D.2
    二、多选题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
    9.已知,且,则( )
    A. B.
    C. D.
    10.设为复数,为虚数单位,则下列命题中正确的是( )
    A. B.
    C. D.若,则的最大值为2
    11.设点在所在平面内,且点分别为该三角形的重心、重心、外心和内心,则下列结论正确的是( )
    A.若且,则;
    B.;
    C.若,则为等腰三角形;
    D.若,则.
    三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
    13.复数满足,其中为虚数单位,则复数的虚部为__________.
    14.已知是锐角,,则的值为__________.
    15.已知平面向量满足,且对任意都有,则的最大值是__________.
    四、解答题:(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    15.已知,且,
    (1)求的值:
    (2)求与的夹角.
    16.(1)若,求;
    (2)已知,且为锐角,求的大小.
    17.已知函数.
    (1)求函数的周期及在上的值域;
    (2)若为锐角且,求的值.
    18.对于集合和常数,定义:为集合相对的的“余弦方差”.
    (1)若集合,求集合相对的“余弦方差”;
    (2)若集合,是否存在,使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值?若存在,求出的值:若不存在,则说明理由.
    19.在中,点是内一点,
    (1)如图,若,过点的直线交直线分别于两点,且,已知为非零实数.试求的值.
    (2)若,且,设,试将表示成关于的函数,并求其最小值.
    参考答案
    一、单选题
    1-8ACBB ADDC
    二、多选题:
    9.BC 10.ABD 11.AC
    三、填空题
    13. 14. 15.6
    四、解答题:
    15.(1)由展开结合得
    (2).所以
    所以
    又因为.所以.
    16.(1),

    .
    (2)因为,且为锐角,所以,
    因为,且为锐角,所以,
    要么,
    所以,
    因为,所以.所以,故
    17.(1)由函数,
    则函数的最小正周期为
    又由,可得,当时,即时,取得最大值,
    最大值为:当时,即时,取得最小值,最小值为,所以函数的值域为
    (2)由,因为,可得,即,
    又因为,可得,又由,所以,可得.

    18.(1)因为集合,所以:
    (2)由“余弦方差”的定义得:
    要使是一个与无关的定值,可令由①2+②2得
    ,又因为所以
    所以
    代入②,化简得,又因为
    所以,即时,相对任何常数.的“余弦方差”是一个与无关的定值
    19.(1)一方面,
    故.
    另一方面,由M,P,N三点共线知,
    所以可变为
    消去,得,组
    (2)法一:设,

    同理:,
    当目仅当时,所以
    法二:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立.直角坐标系,设,因为
    且,故设.
    由得,由得.代入可得
    (下同法一)

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