河北省秦皇岛市新世纪高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 点到直线距离是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 已知双曲线：，则其渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
3. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）

A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺
4. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 圆与圆的公切线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
6. 已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. 4D.
8. 已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 方程表示圆，则的可能取值是（ ）
A. B. 1C. 0D. 3
10. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角是
B. 过点与直线平行的直线是
C. 直线到直线的距离为
D. 若直线：，则
11. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ）
A. 曲线可以是圆B. 若，则曲线为椭圆
C. 曲线可以表示抛物线D. 若曲线为双曲线，则或
12. 如图所示，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为侧面的一动点，下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 若的面积为，则动点的轨迹为椭圆的一部分
C. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线的一部分
D. 过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________.
14. 已知直线l:和圆心为C的圆,则直线l被圆C截得的弦长为__________．
15. 设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________.
16. 设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知顶点
（1）求边上中线所在的直线方程
（2）求边上高线所在直线方程．
18. 已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．
19. 已知圆C经过点A（12）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值.
21. 已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
22. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；
（3）是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．