江苏省苏州市部分高中2024届高三下学期3月适应性考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A. B. 1C. 2D.
3. 若一组数据的平均数为，则该组数据的方差为（ ）
A 1B. 2C. 0.4D. 10
4. 有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和不小于4的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 已知圆锥高为6，体积为高的倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. 7D. 9
6. 在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为（ ）
A. 0B. 3C. D.
7. 在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在直三棱柱中，，点，分别是，的中点.则下列一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在中，三个内角、，成等差数列，且，.已知点（未画出），若函数图像经过、、三点，且、为该函数图像与轴相邻的两个交点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，且，函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 若该函数为偶函数，则其最小值为
B. 函数的图像经过唯一的定点
C. 若关于的方程有且只有一个解，则或
D. 令为上的连续函数，则当时至多存在一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为________.
13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点.则椭圆的标准方程为________；若，以为直径的圆过点，则圆的标准方程为________.
14. 如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）设，.当为________时，绿化区域面积之和最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别是、、，且，.
（1）求值；
（2）求的值.
16. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．
17. 已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
（1）直接写出当时，函数在处的切线方程；
（2）通过计算用表示；
（3）当时，若函数的最小值为，证明：.
18. 已知数列的前n项和为，对任意正整数n，总存在正数，使得
恒成立；数列的前n项和为，且对任意正整数恒成立．
(1) 求常数的值；
(2) 证明数列为等差数列；
(3) 若，记，是否存在正整数k，使得对任意正整数恒成立，若存在，求正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．
19. 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
（1）比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据）
（2）现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.
①若，对成立，求实数，，的值；
②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.