江苏省苏州市桃坞高级中学校2023-2024学年高一下学期3月自学能力测试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置．）
1. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
2. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】.
故选：D
3. 已知，，，则等于（ ）
A. 12B. 28C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到.
【详解】
，
故.
故选：C
4. 化简=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】依题意，原式，故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
5. 若是第四象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为是第四象限角，所以
所以，
又因为，
故选：D
6. 四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（ ）
A. 20B. 16C. 9D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量基本定理将和用和表示出来，再根据向量乘法计算即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：B．
7. 已知，，一条对称轴为，若关于x的方程，在有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由是的对称轴及，可求出，得到，换元后利用正弦函数的图象和性质求解即可．
【详解】因为是函数的一条对称轴，
所以，解得，
又因为，所以，所以.
， ，即，，
设，则，
在上有两个零点，
即与在上有两个交点，如图,
当时，，
所以，即，
故选：A．
8. 如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.
【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，，，，设，
得，，，
则
由，当时，有最小值.
故选：B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A. 若，则，的方向相同
B. 若⊥，则
C. 若，则在方向上的投影向量为
D. 若存在实数λ使得，则
【答案】BC
【解析】
【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D的正误，再根据投影向量的定义可判断C的正误．
【详解】因为，，
故即，故，共线反向，故A错误．
若⊥，则，故，故B正确．
若，则即，
故，故，共线同向，故
则在方向上的投影向量为，故C正确．
由A选项的分析可知：即为，共线反向，且，
故当时，，共线同向，故不成立，
故选：BC．
10. 已知()，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若在内无零点，则
C. 若在内单调，则
D. 若时，直线是函数图象的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，结合各选项的条件及正弦型函数的性质判断正误即可.
详解】，
A：最小正周期为，则，错误；
B：在内无零点，则无零点，所以，即，正确；
C：在内单调，则内单调，所以，即，正确；
D：时，则，可得对称轴方程为，，故当时是函数图象的一条对称轴，正确.
故选：BCD
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心
B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是
C. 点在所在平面内，若，，分别表示，的面积，则
D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A:设边上的中点为，证明点在边的中线上即可；对于B:利用为锐角，得到,且不共线，计算即可；对于选项C: 由，，设的中点为，设的中点为，可判断三点共线，进而可得面积关系；对于选项D:利用数量积公式可得，，进而得到点是且的内心.
【详解】对于选项A：设边上的中点为,则易得,
因为，所以,
所以，又点为公共点，
所以三点共线，即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点为的重心，故A正确；
对于选项B:因为，
所以
因为为锐角，所以,且不共线，
所以，解得且，故选项B错误；
对于选项C: 因为，所以，
如图，设的中点为，设的中点为，
则,所以，
又点为公共点，所以三点共线，且，
所以又，
所以，故C正确；
对于选项D:由，可得
即，
由，所以，
所以是的角平分线，
由，可得,
即，
由，所以，
所以是的角平分线，
所以点是且的内心，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示及夹角的坐标公式，数形结合法求参数或最值，利用向量的线性关系确定的位置，进而判断面积关系或哪种心.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置．）
12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为，
故答案为：
13. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由求出，然后对用二倍角公式并化简求值即可.
【详解】解：因为，所以
所以
故答案为3
【点睛】本题考查了三角恒等变换，给值求值类问题，二倍角公式，齐次弦化切思想，属于基础题.
14. 已知由，，可推得三倍角余弦公式，已知，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得______________；如图，已知五角星是由边长为的正五边形和五个全等的等腰三角形组成的，则___________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于的二次方程，结合可求得的值；求得，，过点作，垂足为点，求得，，然后利用平面向量数量积的定义可求得结果.
【详解】因为，所以，，
即，即，即，
因为，解得.
在五角星中，，，，故，
从而可得，，
过点作，垂足为点，则，于是，
从而有，于是，
所以，
.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若﹐求；
（3）若，求k的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；
（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；
（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.
【小问1详解】
设，
由，且，得
，解得或
或
【小问2详解】
，
，解得
【小问3详解】
由已知，
又，
，
解得
16. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.
【详解】解：（Ⅰ）
，
；
（Ⅱ）法一：
令；则.
，的单调增区间为.
，解得.
函数在上的单调递增区间.
法二：
，
，
画数轴与所有区间取交集可知：
函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）是函数的一个零点
.
解得：.
.
，，当单调递减区间为.
，解得
在区间上为减函数.
函数在上的单调递增区间，单调递减区间
，，
函数在上的值域为.
【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acs ωx的形式．
17. 如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R.
（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；
（2）试求街道RQ长度的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为千米.
【解析】
【分析】（1）结合已知角及线段长，利用锐角三角函数定义及扇形面积公式可求；
（2）由已知结合锐角三角函数定义及勾股定理可表示，然后结合同角平方关系，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求．
【详解】连接AP，过R作，垂足为D.
（1）当P为弧BC的中点时，，
在△APQ中，，，故，
在△ARD中，，，所以，则，
所以，
在直角三角形PRQ中，△PQR的面积.
（2）设，则，
又，则，所以，
在直角三角形PRQ中，
，其中
因为，所以，又，
所以当时，有最小值为，即.
综上，街道RQ长度的最小值为千米.
18. 已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE.
（1）若，求证：B，F，D三点共线；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，从而，即可证得结论；
（2）结合数量积的运算求得，，进而得，然后向量夹角公式求解即可；
（3）设，结合数量积的运算和三角变换求得，由三角函数的性质求得最小值.
【小问1详解】
如图1，∵
∴，∴B，F，D三点共线.
【小问2详解】
如图1，∵
∴
∵
∴
∴
.
【小问3详解】
如图2，∵，
∴
设，则，
∵，，
∴当，即时，取最小值.
19. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值;
（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.
【小问1详解】
因为的相邻两条对称轴之间的距离为
所以
又时，取最小值
则，
，
又，则
【小问2详解】
因为，所以，
则，，
则
则
【小问3详解】
是上动点，
，
又恒成立
设
，
易知在或处有最小值，在或处有最大值
所以当或时，有最小值
即当在或时，有最小值，此时或
为时，，
，得
又，则
为时，，
，解得
综上，