山东省济南市历城第三中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义解答．
【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．
3. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
故选项A、B、D描述正确，不符合题意；
∵，
∴
故选项C描述错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 把多项式分解因式，应提公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案．
【详解】解：，则多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：B．
5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，且点，，共线，
，，
．
故选：C
【点睛】此题主要考查了旋转性质，三角形的内角和定理，熟记相关结论即可．
6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再根据在数轴上表示解集的方法进行判断．
【详解】解：解不等式得：，
将解集表示在数轴上为：
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集，熟知在数轴上表示解集的方法是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(4，0)，(0，3)，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C的坐标为(5，2)，则B的对应点D的坐标为（ ）
A. (2，5)B. (5，1)C. (0，5)D. (1，5)
【答案】D
【解析】
【分析】利用平移变换的规律解决问题．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴点A向左平移4个单位，向上平移3个单位得到点B，
∵C（5，2），
∴点C向左平移4个单位，向上平移3个单位得到点D，
∴D（1，5），
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．
9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】如图：过D作,由垂线段最短的性质可得当时，DE最短，根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：如图：过D作
∵点E为线段上的一个动点，最短，
∴，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等性质，正确作出辅助线和利用角平分线的性质成为解答本题的关键．
10. 已知，，，则代数式的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到，再把原式变形为，最后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知，多项式可因式分解为，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，多项式可因式分解为，
∴，
∴，即，
故答案为：1．
13. 关于x的方程2x+3（m﹣1）＝x+1的解是正数，则m的取值范围是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】首先解方程，利用m表示出x的值，然后根据x是正数即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的范围．
【详解】移项，得：2x﹣x＝1﹣3（m﹣1），
即x＝4﹣3m，
根据题意得：4﹣3m＞0，
解得：m＜．
故答案是：m＜．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．
14. 若不等式组无解，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组无解的问题，先解不等式得，再根据不等式组无解即可得到答案．
【详解】解：
解不等式得，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点E，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，再解直角三角形，求出,，即可解答．
【详解】解：绕点逆时针方向旋转得到，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的判定及性质，解含有角的直角三角形，熟练解含有角的直角三角形是解题的关键．
16. 的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键；先根据完全平方公式分解因式，再利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，然后去括号，合并同类项，最后提取公因数2分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），不等式组的整数解是，0，1
【解析】
【分析】（1）运用解一元一次不等式的法则计算，并把解集表示在数轴上即可解答；
（2）把每个不等式的解集求出，再合并两个不等式的解集，并在不等式组的解集中寻找整数解，即可解答．
【小问1详解】
解：去括号：，
移项得：，
合并同类项得：，化系数为1得：，
所以原不等式的解集是：，
在数轴上表示为：
【小问2详解】
(2)解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故该不等式组的解集是：，
∴该不等式组的整数解是，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组的整数解，熟练运用口诀求出不等式组的解集是解题的关键．
19. 如图，在中，，垂直平分，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此可得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【解析】
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
21. 某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）260；
（2）当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【解析】
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
【小问2详解】
设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22. 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
（3）根据材料，请你模仿以上方法尝试计算：
【答案】（1）C （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据求解过程解答即可；
（2）设，然后按照按照整体思想，仿照例题步骤解答即可；
（3）设，，把原式变为计算即可．
【小问1详解】
由第二步到第三步运用了完全平方公式．
故选C．
【小问2详解】
设
原式

【小问3详解】
设，
原式
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，整体思想的运用是解答本题的关键．
23. 某学校团支部，在暑假带领该校部分学生进行“研学活动”，与两家旅行社联系，甲旅行社说：“若带队支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括带队支部书记在内都6折优惠”，若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
【答案】（1）=0.5×1200x+1200=600x+1200，=0.6×1200x+0.6×1200=720x+720；
（2）当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【解析】
【分析】（1）根据收费总额=学生人数×单价+校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；
（2）利用时，得出600x+1200=720x+720，进而求出即可，
【小问1详解】
设学生人数为x人，由题意，得
=0.5×1200x+1200=600x+1200，
=0.6×1200x+0.6×1200=720x+720；
【小问2详解】
当时，
600x+1200=720x+720，
解得：x=4，
所以当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【点睛】此题主要考查了列代数式及一元一次方程的应用，正确得出关系式是解题关键．
24. 如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
（1）求的长；
（2）若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）满足条件的P点坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）先求出直线与两轴交点坐标，，再由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，则，解得：，所以，即可求解；
（2）点，则；根据，则，求解即可；
（3）分三种情况∶①当B为顶点，时，②当C为顶点，时，③当P为顶点，时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：令时，则；令，则；
所以直线与两轴交点分别为，．
∵垂直平分；
∴．
设，在中，根据勾股定理得：，
则 解得：；
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设点，则；
∵D为的中点；
∴；
A、E在x轴上，， ；
∴，
∴，
解得：或18．
∴点E坐标为：或．
【小问3详解】
解：P在y轴上，设．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①当B为顶点，时，由（1）得；
∴，解得：或9．
∴或，
②当C为顶点，时，
又∵，，
∴．
∴，即．
∴
③当P为顶点，时，
在中，根据勾股定理得：
，即：．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点，一次函数图象与性质，直线围成的三角形面积，勾股定理，等腰三角形判定与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
25. 综合与实践
八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动：
（1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则 ．若F是的中点，连接，则与的数量关系是 ．
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点A逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
拓展应用：
（3）如图3，在中， ，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的长．
【答案】（1）90；
（2），
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得；
（2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵等边三角形，
，，
∵绕点A旋转，得到，
，，点A，B，D在同一直线上，
∵，
，
，即，
∵，
，
，
，
，
∵F是的中点，，
．
故答案为：90，；
【小问2详解】
解：由旋转的性质，可知 ，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：分以下两种情况进行讨论：
①如图3﹣1．当点E在下方时，
根据题意，得为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴；
②如图3﹣2，当点E在上方时，
同理，可得，．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论．
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100