苏科版八年级数学下册题型突破提高类型九、反比例函数与直角三角形结合(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册题型突破提高类型九、反比例函数与直角三角形结合(原卷版+解析)，共41页。
反比例函数，过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
方法：两线一圆——1.两线——分别以定点C，O为直角顶点作垂线与l交点；2.一圆——以CO中点为圆心，CO为直径画圆与l交点。（设点Q坐标，表示三条线段的长度，运用勾股定理解即可）。
【融会贯通】
1．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．如图，已知直角三角形中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数上，则的值_________．
3．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则_______．
【知不足】
1．已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
2．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标．
4．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围是________________；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，则点P的横坐标为____________．
【一览众山小】
1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x轴上存在一点C，使为直角三角形的点C的坐标；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
2．【定义】
平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”．
例如，在下图中，的边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”．
【理解】
(1)在中，，点A，B，C的坐标分别为
①，，；
②，，；
③，，．
其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号）
【应用】
(2)已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式．
【提升】
(3)是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．
(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，与相交于点．
ⅰ）求证：；
ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长．
5．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；
过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【温故为师】
1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（1）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
①求该反比例函数和一次函数的解析式；②求点B的坐标；③在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
（2）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
①求第一次购进图书的进价是每本多少元？
②该书店老板在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
3．如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与x轴相交于点B，交y轴于点C．
（1）求n和k的值；
（2）观察函数图像
①当时，的取值范围是______________；
②当时，x的取值范围是____________；
（3）如图，以为边作菱形，使点F在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接、，求；
（4）若P为坐标轴上一点，请你探索：当以点A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的P点坐标．
4．已知双曲线的图象过点．
（1）求的值，并求当时的取值范围；
（2）如图1，过原点作两条直线与双曲线的图象交于、与、．我们把点的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若、、、都是整点，试说明四边形是矩形；
（3）如图2，以过原点的线段为斜边作一个直角三角形，且三个顶点、、都在双曲线上，若点的横坐标为，点的点横坐标为，问：是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
5．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；
(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
6．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F．
(1)若，求反比例函数的关系式．
(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数()的图象交于A，B两点，直线与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
类型九、反比例函数与直角三角形结合
【解惑】
反比例函数，过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
方法：两线一圆——1.两线——分别以定点C，O为直角顶点作垂线与l交点；2.一圆——以CO中点为圆心，CO为直径画圆与l交点。（设点Q坐标，表示三条线段的长度，运用勾股定理解即可）。
【融会贯通】
1．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B【详解】解：点A的坐标为，且边的中点为，，
则，由反比例函数比例系数的几何意义知：，
2．如图，已知直角三角形中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数上，则的值_________．
【答案】【详解】解：过作轴于，如图所示：
将绕点旋转至的位置，，，
在中点，，在中，，从而得到，，，在中，，，则，即，在反比例函数上，，
3．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则_______．
【答案】【详解】解：根据题意，设，∴，，，，
∴，，，，，∴，，，，，┈，，，，，，，┈，，∴，，，，┈，，
【知不足】
1．已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：设点，
∵点是的中点，，∴，解得：，∴点，把点代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为；（2）解：设点到直线的距离为h，由（1）得：点，
∴，∵，∴，∴，
即，解得：，点到直线的距离为；（3）解：如图，
设点D的坐标为，∵点，
∴，，，∵是以为斜边的直角三角形，∴，∴，解得：，∴点点D的坐标为．
2．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：设点，∵点是的中点，，∴，解得：，∴点，把点代入得：，解得：，
∴直线的函数解析式为；（2）设点到直线的距离为h，由（1）得：点，
∴，∵，∴，∴，即，解得：，点到直线的距离为；（3）设点D的坐标为，∵点，∴，，由题意知，则分两种情况讨论：①当是以为斜边的直角三角形，∴，∴，
解得：，∴点D的坐标为；②当是以为斜边的直角三角形，∴，∴，解得：，
∵当时，与重合，故舍去，∴点D的坐标为．综上所述：点D的坐标为，．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，(2)或(3)或【详解】（1）解：∵点的横坐标为，代入正比例函数，得，∴,∴，解得：∴反比例函数，∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，∴A与B关于原点对称，则；（2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为：或；（3）解：设，∵,，∴，，，当是直角三角形且以为直角边时，则或即或，解得：或，
∴或 ．
4．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围是________________；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，则点P的横坐标为____________．
【答案】(1)(2)；(3)3或2．（1）解：将A（1，a）代入y＝−x＋4得，a＝−1＋4＝3，∴A（1，3），将A（1，3）代入得，k＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为；（2）∵，∴−x＋4≥的解集为：，（3）
将代入y=-x+4中，可得b=1，∴，设y=-x+4与y轴的交点为点D，令x=0，得y=4，∴D（0，4），令y=0，得x=4，∴C（0，4），∴OC=OD，∠BCO=45°，当∠BPC＝90°时，BP⊥x轴于P，∴（3，0），当∠PBC＝90°时，
∵＝45°，∴＝45°，∴，
∴（2，0），当∠BCP＝90°时，不存在，综上：P的横坐标为3或2，
【一览众山小】
1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x轴上存在一点C，使为直角三角形的点C的坐标；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)或；(3)或．【详解】（1）解：把代入得：，∴，∴反比例函数的解析式是；
把代入得：，解得：，把、分别代入中，得，解得，∴一次函数的解析式为；（2）解：∵是直角三角形，∴有两种情况：①当时，如图1，∵，轴，∴点C的坐标为；
②当时，如图2，设点C坐标为，
则，，，由勾股定理得：，
∴，解得：，∴点C坐标为，综上，当为直角三角形时，点C的坐标为或；
（3）解：∵，，∴由函数图象得：当时，x的取值范围为或，∴不等式的解集为：或．
2．【定义】
平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”．
例如，在下图中，的边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”．
【理解】
(1)在中，，点A，B，C的坐标分别为
①，，；
②，，；
③，，．
其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号）
【应用】
(2)已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式．
【提升】
(3)是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标．
【答案】(1)①③(2)(3)，【详解】（1）解：①，，，则轴，轴，点，，在反比例函数的图象上，
则是反比例函数的“伴随直角三角形”；②，，，则轴，轴，，则点，不在同一反比例函数的图象上，则不是某反比例函数的“伴随直角三角形”；③，，，则轴，轴，点，，在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”；（2）解：如图，
把代入，得，把代入，得，∴，．设直线的表达式为，根据题意，得，解得，
∴直线的表达式为；（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为．∵是反比例函数的“伴随直角三角形”，∴点，在反比例函数的图象上，∴，∴（舍去）或，∴点，．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．
(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)3(3)存在，或【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴为直角三角形，∵，，∴，∴，设反比例函数解析式为，∵点D在反比例函数图像上，∴，∴反比例函数解析式为；（2）解：∵D为的中点，且，∴，∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图像上，在中，令，可得，∴，∴，且，∴；（3）解：∵P在x轴上，∴可设，
∵为锐角，∴当为直角三角形时，有或，且点P在x轴正半轴上，①当时，则轴，此时P点坐标为；②当时，由，，∴，且，，由勾股定理可得，即，解得，∴；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，与相交于点．
ⅰ）求证：；
ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长．
【答案】(1)反比例函数解析式为(2)ⅰ）见解析；ⅱ）的长为或
【详解】（1）解：四边形是矩形，轴，点的纵坐标为3，点的横坐标为1，点的坐标为，点在反比例函数的图像上，，解得，反比例函数解析式为：；（2）ⅰ）证明：设点的坐标为，则点的坐标为，令直线的解析式为：，点在直线上，，解得，直线的解析式为：，令直线的解析式为：，点在直线上，，解得，直线的解析式为：，
由得，，点的坐标为：，，为的中点，；ⅱ）设点的坐标为，则点的坐标为，由ⅰ）可知点的坐标为：，
，，，是直角三角形，当时，则，即，解得：或，当时，此时与重合，不符合题意，舍去，当时，此时，，当时，则，即，解得：或或或，，或当时，此时与重合，不符合题意，舍去，
当时，此时，，综上所述，的长为或．
5．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；
（3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在．点的坐标为或或或【详解】解：（1）当时，，，中，，
，是边的中点，，即：，作轴于点轴于点，
则，解得：．
反比例函数解析式为：．在中，，当在一条直线上时，，由知，，设直线的解析式为：，
则，解得：，的解析式为：，由，得，最大时，的值为；设点的坐标为，①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即：，解得：m=，∴点的坐标为；②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即，解得：m=，∴点的坐标为；③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即：，解得：m=或，∴点的坐标为或．综上所述，点的坐标为或或或．
【温故为师】
1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，或或或【详解】（1）解：把将代入中得：，∴，将代入中得：，∴，；（2）解：∵直线和交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，∴，设点D的坐标为，∴，；当时，则，∴，解得，∴点D的坐标为；
当时，则，∴，∴，
解得，∴点D的坐标为或，当时，则，
∴，解得，∴点D的坐标为；综上所述，x轴上是否存在一点D或或或使得为直角三角形．
2．（1）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
①求该反比例函数和一次函数的解析式；
②求点B的坐标；
③在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
（2）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
①求第一次购进图书的进价是每本多少元？
②该书店老板在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】（1）①，；②；③，；（2）①5元；②盈利了，共盈利了520元【详解】解：（1）①过点作轴于，的坐标为，的坐标为，，，，，解得：，经检验为原方程解；故，，反比例函数表达式为：，
又点、在直线上，，解得：，一次函数的表达式为：；
②由得：，解得：或，
，；③分两种情况：当轴时，即点与点重合，此时；
当时，此时，则，
，又的坐标为，．
综上所述，，．（2）①设第一次购书的单价为x元，根据题意得：，解得：x=5．经检验，x=5是原方程的解，答：第一次购书的进价是每本5元；②第一次购书为1200÷5=240（本），
第二次购书为240+10=250（本），第一次盈利为240×（7-5）=480（元），第二次盈利为200×（7-5×1.2）+50×（7×0.4-5×1.2）=40（元），所以两次共盈利480+40=520（元），答：该老板两次售书总体上是盈利了，共盈利了520元．
3．如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与x轴相交于点B，交y轴于点C．
（1）求n和k的值；
（2）观察函数图像
①当时，的取值范围是______________；
②当时，x的取值范围是____________；
（3）如图，以为边作菱形，使点F在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接、，求；
（4）若P为坐标轴上一点，请你探索：当以点A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的P点坐标．
【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，点或或或或或．【详解】解：（1）由题意可把点代入一次函数可得：，∴，∴；（2）由（1）可得，①当时，则有，∴由图象可得当时，的取值范围是或；②令时，则有，解得：，∴，∴根据图象可得当时，x的取值范围值是；（3）过点E作EH⊥AB于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，如图所示：
由（1）（2）可得，，∴，∵四边形ABFD是菱形，∴，∵，，∴；
（4）由题意可得，则当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，可分：
①当点P在x轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形，如图所示：
设点，当时，根据勾股定理及两点距离公式可得：，解得：，∴；当时，同理可得；当时，同理可得；当时，同理可得；②当点P在y轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形，如图所示：
设点，当时，同理可得；
当时，∴轴，∴；综上所述：当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，点或或或或或．
4．已知双曲线的图象过点．
（1）求的值，并求当时的取值范围；
（2）如图1，过原点作两条直线与双曲线的图象交于、与、．我们把点的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若、、、都是整点，试说明四边形是矩形；
（3）如图2，以过原点的线段为斜边作一个直角三角形，且三个顶点、、都在双曲线上，若点的横坐标为，点的点横坐标为，问：是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）0＜y＜；（2）见详解；（3）ab＝2，是定值．【详解】（1）解：∵双曲线y＝kx的图象过点（1，2），∴k＝2，∵x＝3时，y＝，∴x＞3时，0＜y＜．（2）证明：∵A，B，C，D都是整点，∴A（1，2），B（2，1），C（−1，−2），D（−2，−1），∴AC＝， BD＝，∴AC＝BD，∵反比例函数是中心对称图形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（3）解：如图2中，连接OA．
∵反比例函数是中心对称图形，∴OB＝OD，∵∠DAB＝90°，
∴OA＝OB＝OD，∵反比例函数关于直线y＝x对称，OA＝OB，∴A，B关于直线y＝x对称，
∴点A的纵坐标与点B的横坐标相同，∴A（a，b），∵点A在y＝上，∴ab＝2，是定值．
5．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；
(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=x+4，(2)(3)(0,−2)或(0,−8)（1）解：将点B(−6,−2)代入y1=k1x+4，
−2=−6k1+4，解得：k1=1，故一次函数的解析式为；y=x+4将点B(−6,−2)代入①，
，解得：k2=12，故反比例函数的解析式为；（2）解：依照题意，画出图形，如图2所示．
当x=2时，m=2+4=6，∴点A的坐标为(2,6)；
当x=0时，y1=x+4=4，∴点C的坐标为(0,4)，∵，S四边形ODAC:S△ODE＝4:1，∴，∴DE=2.5，即点EE的坐标为(2,2.5)，设直线OP的解析式为y=kx，将点E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，
∴直线OP的解析式为，，解得：，，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为；（3）解：依照题意画出图形，如图3所示．
当∠CMB=90°时，轴，∴点M的坐标为(0,−2)；当时，∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴点M的坐标为(0,−8)，
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为(0,−2)或(0,−8)．
6．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F．
(1)若，求反比例函数的关系式．
(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)OA＝5，(3)存在，P（4，2） 或P（-1，2）（1）解∶∵点A的坐标为，，∴点A的坐标为，把代入得：k=48，∴反比例函数的关系式为；（2）解：分别过点A，F，C作x轴的垂线交x轴于点D，E，G，AD交OF于点H．∵点A，F在反比例函数图像上，∴又，，∵△AOF的面积S=9，四边形OACB是平行四边形，，，∵点A的坐标为，AC∥x轴，∴点C的纵坐标为4a，点F为BC的中点，k=12a2，∴点F的纵坐标为2a，∴点F的横坐标为， 点F的坐标为（6a，2a），，解得a＝1，∴点A（3，4），F（6，2），OD＝3 AD＝4，OA＝5，∵，∴AC=OB＝ ，∴点，即；（3）解：存在，根据题意得：∠APO=90°，∵四边形OACB为平行四边形，∴OE∥BF，OA=BC，∵EF∥OB，∴四边形OBFE为平行四边形，∴OE=BF，∵BF=CF，∴AE=OE=，∴PE=，由（2）得：点A（3，4），∴点E，∴ON=，EN=2，如图，当点P在线段OA的右侧上时，过点P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，∵EN⊥x轴，PM⊥x轴，∴EN∥PM，∴四边形ENMP为平行四边形，∴PE=MN=，PM=EN=2，∴OM=4，∴点P（4，2）；如图，当点P在线段OA的作侧上时，过点P作PT⊥x轴于点T，过点E作ES⊥x轴于点S，同理：四边形PEST为平行四边形，∴PT=ES=2，TS=PE=，OS=，∴OT=1，∴点P（-1，2）；综上所述，点P的坐标为（4，2）或（-1，2）．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数()的图象交于A，B两点，直线与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)(3)或【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，又∵点B的坐标为也在上，∴，∵A的坐标为，B的坐标为都在一次函数的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线与轴交于点，∴，∴，∵A的坐标为，B的坐标为，∴
（3）解：∵点在轴上，设点，则，若时，如图所示，
∵点A的坐标为，∴，，∵是直角三角形，∴，即，解得，∴点的坐标为若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，
∵点A的坐标为，∴点的坐标为，综上可得点的坐标为或．
8．已知：如图，反比例函数的图像与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3),【详解】（1）解：设点，
∵点是的中点，，∴，解得：，∴点，把点代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为；（2）设点到直线的距离为h，由（1）得：点，∴，∵，∴，∴，
即，解得：，点到直线的距离为；
（3）如图，
设点D的坐标为，∵点，
∴，，，当是以为斜边的直角三角形，∴，∴，解得：，∴点D的坐标为．
当是以为斜边的直角三角形，∴，∴，解得：，∵当
∴与重合故舍去∴点D的坐标为．综上所述：点D的坐标为,