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八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)第3章《位置与坐标》(原卷版+解析)
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2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第3章《位置与坐标》知识互联网知识导航知识点01:有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02:平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：细节剖析：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补知识点03:坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．细节剖析： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．细节剖析：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．细节剖析：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．考点提优练考点01：坐标与图形性质1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．142．（2022春•如东县期中）在下列四点中，与点（﹣3，4）所连的直线不与y轴相交的是（ ）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）3．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y轴，则A点的坐标为（ ）A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1）4．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 ．5．（2022春•海沧区校级期末）在平面直角坐标系内，若点A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．当m＞1时，则M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是 ．6．（2022春•东莞市校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．7．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动（1）求点B的坐标．（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．8．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝ ，d2＝ ，因此，这种分类方式的分类系数为 ；（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围．考点02：两点间的距离公式9．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）11．（2023春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 ．12．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ．13．（2023秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．14．（2023•张家界模拟）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 ．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 ．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ ．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ ．15．（2023•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标16．（2023秋•历下区期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣17．（2022春•洛江区期末）点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ）18．（2022•皇姑区二模）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第 象限．19．（2023秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．20．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 ，Q1 ，R1 21．（2016秋•天桥区期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．请将点A，B，C的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，分别得到点A′，B′，C′，并依次连接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面积．22．（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．23．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．考点04：坐标与图形变化-对称24．（2022•邗江区校级一模）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）A． B． C．（2，0） D．（3，0）25．（2023秋•武城县期末）明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1）26．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 ．27．（2023秋•盐田区校级期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盘正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称图形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置是 ．28．（2023•黄石港区校级模拟）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 ．29．（2023秋•江阴市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 ，点P（﹣2，0）到点C的最大距离为 ．30．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 ，M关于y轴的对称点N的坐标 ；（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 ，则PR的距离为 ；（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 ，则NT的距离为 ．31．（2023秋•峡江县期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．32．（2023秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．（1）写出P′的坐标 ，M′的坐标 ；（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 ；（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 ．33．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第3章《位置与坐标》知识互联网知识导航知识点01:有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02:平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：细节剖析：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补知识点03:坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．细节剖析： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．细节剖析：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．细节剖析：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．考点提优练考点01：坐标与图形性质1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．14解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．2．（2022春•如东县期中）在下列四点中，与点（﹣3，4）所连的直线不与y轴相交的是（ ）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）解：点（﹣3，4）在第二象限，点（﹣3，2）也在第二象限，两点的连接线段与x轴，y轴都不相交．故选：D．3．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y轴，则A点的坐标为（ ）A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1）解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，又∵AB＝4，∴B点纵坐标为：3+4＝7或3﹣4＝﹣1，∴B点的坐标为：（4，7）或（4，﹣1）．故选：D．4．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 4或0 ．解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．5．（2022春•海沧区校级期末）在平面直角坐标系内，若点A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．当m＞1时，则M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是 M，P ．解：∵这六个点的纵坐标都是3，∴它们都在直线AB上，与x轴平行，∵m＞1，∴m2＞1，∴1＜2＜m2+2，1﹣m2＜0，1＜m2＜m2+2，2﹣m2＜1，∴M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是M，P．故答案为：M，P．6．（2022春•东莞市校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，解得m＝3．所以m+2＝5，故Q点的坐标是（0，5）；（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，解得m＝8．所以2m﹣6＝10．故Q点的坐标是（10，10）．7．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动（1）求点B的坐标．（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得a＝4，b＝6，∴点B的坐标是（4，6）；（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，∴点P的路程：2×4＝8，∵OA＝4，OC＝6，∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒），第二种情况，当点P在BA上时．点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒），故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．8．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝ 2 ，d2＝ 5 ，因此，这种分类方式的分类系数为 5 ；（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围．解：（1）观察坐标图，根据题意得知：d1＝d（A，C）＝|xA﹣xC|＝2；d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5；因为d2＞d1，所以分类系数为5；故答案为：2；5；5；（2）共有十种分类方法：若将点A，B分为第I类，点C，D，E分为第Ⅱ类：d1＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，d2＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，因为 d1＞d2，所以分类系数为4；若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类：分类系数为5；若将点A，D分为第I类，点B，C，E分为第Ⅱ类：d1＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因为d2＞d1，所以分类系数为5；若将点A，E分为第I类，点B，C，D分为第Ⅱ类：d1＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，d2＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，因为d1＝d2，所以分类系数为4；若将点B，C分为第I类，点A，D，E分为第Ⅱ类：d1＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因为d1＝d2，所以分类系数为4；若将点B，D分为第I类，点A，C，E分为第Ⅱ类：d1＝d（B，D）＝|xB﹣xD|＝2，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；若将点B，E分为第I类，点A，C，D分为第Ⅱ类：d1＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，d2＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，因为d1＞d2，所以分类系数为5；若将点C，D分为第I类，点A，B，E分为第Ⅱ类：d1＝d（C，D）＝|yC﹣yD|＝2，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因为d2＞d1，所以分类系数为5；若将点C，E分为第I类，点A，B，D分为第Ⅱ类：d1＝d（C，E）＝|xC﹣xE|＝2，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；若将点D，E分为第I类，点A，B，C分为第Ⅱ类：d1＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；比较得：分类系数d的最小值为4；（3）当点F在点E的右边时，|xF﹣xA|≤5，m﹣1≤5；当点F在点A的左边时，|xF﹣xE|≤5，5﹣m≤5，得0≤m≤6．故m的取值范围是：0≤m≤6．考点02：两点间的距离公式9．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：根据题意得AB＝＝，∵（x+1）2≥0，（2y+2）2≥0，∴当x+1＝0，2y+2＝0时，AB最小，解得x＝﹣1，y＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，﹣1），∴P点在第三象限．故选：C．10．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．11．（2023春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 3 ．解：如图．∵A（0，a），∴A在y轴上．∴线段AB的长度为B点到y轴上点的距离．若使得线段AB长度的最小，由垂线段最短，∴当A在（0，5）时，即AB⊥y轴，线段AB长度最小．∴（dAB）min＝3．故答案为：3．12．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ±5 ．解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案为：±5．13．（2023秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．解：（1）AB＝＝；（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；（3）△ABC为直角三角形．理由如下：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．14．（2023•张家界模拟）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 （1，2）或（1，﹣2） ．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ＝5 ；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ 2或﹣2 ．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ 4或8 ．解：【应用】：（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．故答案为：3．（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），∵CD＝2，∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．故答案为：＝5．（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．故答案为：2或﹣2．（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），∵三角形OPQ的面积为3，∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．故答案为：4或8．15．（2023•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标16．（2023秋•历下区期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣解：有序数对（a，b）（b≠0）它的“k阶结伴数对”为（ka+b，a﹣b），∵（a，b）与（ka+b，a﹣b）关于y轴对称，∴a＝﹣ka﹣b，b＝a﹣b，解得k＝﹣，故选：B．17．（2022春•洛江区期末）点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ）解：点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（﹣5，﹣3），故选：A．18．（2022•皇姑区二模）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第 四 象限．解：由题意，得a﹣2＝1，b+5＝3，解得a＝3，b＝﹣2，点C（a，b）在第四象限，故答案为：四．19．（2023秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 （1，2） ．解：由点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．20．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 （4，﹣1） ，Q1 （1，4） ，R1 （﹣1，1） 解：如图，△P1Q1R1即为所求．观察图象可知：P1（4，﹣1）、Q1（1，4）、R1（﹣1，1），故答案为（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）．21．（2016秋•天桥区期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．请将点A，B，C的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，分别得到点A′，B′，C′，并依次连接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面积．解：如图所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′的面积为×5×4＝10．22．（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．解：（1）△AOG是等腰三角形；证明：∵AC∥y轴，∴∠CAO＝∠AOG，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，∴∠GAO＝∠AOG，∴AG＝GO，∴△AOG是等腰三角形；（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，∴AN＝CK＝BK，在△ANG和△BKG中，，∴△ANG≌△BKG，（AAS）∴AG＝BG，∵AG＝OG，（1）中已证，∴AG＝OG＝BG，∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∴AO⊥BO．23．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．解：（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣3），点D的坐标为（4，0），点F的坐标为（0，3）；（2）点B与点C的纵坐标相等，线段BC平行于x轴；（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，3），它与点C关于原点对称．考点04：坐标与图形变化-对称24．（2022•邗江区校级一模）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）A． B． C．（2，0） D．（3，0）解：如图，连接AB、AB′，∵A（0，4），B（6，8），∴AB＝＝2，∵点B与B′关于直线AP对称，∴AB′＝AB＝2，在Rt△AOB′中，B′O＝＝＝6，∴B′点坐标为（﹣6，0）或（6，0），∵A（0，4），点B（6，8）关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，∴点B（6，8）关于直线AP的对称点B′（﹣6，0），∴B′点坐标为（6，0）不合题意舍去，设直线BB′方程为y＝kx+b将B（6，8），B′（﹣6，0）代入得，解得k＝，b＝4，∴直线BB′的解析式为：y＝x+4，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+4，当yAP＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（，0）；故选：A．25．（2023秋•武城县期末）明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1）解：将第4枚圆形放在中心方形棋子的正上方一格处，即（﹣1，1）处，构成以过点（﹣1，0），（0，﹣1）的直线为对称轴的轴对称图形．故选：D．26．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （3.1）（答案不唯一） （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 6 ．解：由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，如图，共有符合要求的点C有6个．其中点C坐标为（3，1）（答案不唯一），故答案为：（3，1）（不唯一），6．27．（2023秋•盐田区校级期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盘正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称图形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置是 （2，1） ．解：第八枚圆形棋子放在位置，如图所示，坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．28．（2023•黄石港区校级模拟）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 （﹣1，2）或（﹣﹣1，2） ．解：∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2），∴AB＝＝2，∵由题意点D在∠CAB的角平分线或∠CAB的外角平分线上，作DH⊥AB于H．∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC，∴DC＝DH，设DC＝DH＝m，则有•AC•BC＝•AC•DC+•AB•DH，∴2×4＝2m+2m，∴m＝﹣1，∴D（﹣1，2），当D′在∠CAB的外角平分线上时，同法可得CD′＝+1，∴D′（﹣﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．29．（2023秋•江阴市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 3 ，点P（﹣2，0）到点C的最大距离为 5+ ．解：∵A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），∴点A在直线y＝1上，点B在直线y＝4上，∴AB的最小值为3，如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b．则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣•x+3+，∵x＝2时，y＝3，∴直线AB经过定点D（2，3），连接PD，CD，OD，∵P（﹣2，0），∵PD＝＝5，OD＝＝，∵O，C关于直线AB对称，∴DC＝OD＝，∴PC≤PD+CD＝5+，∴PC的最大值为5+．故答案为：3，5+．30．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 （2，4） ，M关于y轴的对称点N的坐标 （1，1） ；（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 （4，4） ，则PR的距离为 6 ；（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 （﹣1，﹣1） ，则NT的距离为 2 ．解：（1）如图，点Q，点N即为所求，Q（2，4），N（1，1）．故答案为：（2，4），（1，1）；（2）如图，点R即为所求，R（4，4），PR＝6．故答案为：（4，4），6；（3）如图，点T即为所求．T（﹣1，﹣1），NT＝＝2．故答案为：（﹣1，﹣1），2．31．（2023秋•峡江县期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．解：（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．32．（2023秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．（1）写出P′的坐标 （4，4） ，M′的坐标 （3，1） ；（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 （0，4） ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 （﹣1，﹣2） ；（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 （2n﹣a，b） ．解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），故答案为：（4，4），（3，1）；（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标（﹣1，﹣2）．故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）；（3）设对称点坐标为（x，y），则有＝n，y＝b，x＝2n﹣a，∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．故答案为：（2n﹣a，b）．33．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，∴P2（6﹣a，0），则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第3章《位置与坐标》知识互联网知识导航知识点01:有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02:平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：细节剖析：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补知识点03:坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．细节剖析： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．细节剖析：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．细节剖析：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．考点提优练考点01：坐标与图形性质1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．142．（2022春•如东县期中）在下列四点中，与点（﹣3，4）所连的直线不与y轴相交的是（ ）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）3．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y轴，则A点的坐标为（ ）A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1）4．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 ．5．（2022春•海沧区校级期末）在平面直角坐标系内，若点A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．当m＞1时，则M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是 ．6．（2022春•东莞市校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．7．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动（1）求点B的坐标．（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．8．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝ ，d2＝ ，因此，这种分类方式的分类系数为 ；（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围．考点02：两点间的距离公式9．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）11．（2023春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 ．12．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ．13．（2023秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．14．（2023•张家界模拟）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 ．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 ．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ ．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ ．15．（2023•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标16．（2023秋•历下区期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣17．（2022春•洛江区期末）点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ）18．（2022•皇姑区二模）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第 象限．19．（2023秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．20．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 ，Q1 ，R1 21．（2016秋•天桥区期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．请将点A，B，C的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，分别得到点A′，B′，C′，并依次连接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面积．22．（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．23．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．考点04：坐标与图形变化-对称24．（2022•邗江区校级一模）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）A． B． C．（2，0） D．（3，0）25．（2023秋•武城县期末）明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1）26．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 ．27．（2023秋•盐田区校级期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盘正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称图形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置是 ．28．（2023•黄石港区校级模拟）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 ．29．（2023秋•江阴市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 ，点P（﹣2，0）到点C的最大距离为 ．30．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 ，M关于y轴的对称点N的坐标 ；（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 ，则PR的距离为 ；（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 ，则NT的距离为 ．31．（2023秋•峡江县期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．32．（2023秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．（1）写出P′的坐标 ，M′的坐标 ；（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 ；（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 ．33．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第3章《位置与坐标》知识互联网知识导航知识点01:有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02:平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：细节剖析：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补知识点03:坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．细节剖析： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．细节剖析：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．细节剖析：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．考点提优练考点01：坐标与图形性质1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．14解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．2．（2022春•如东县期中）在下列四点中，与点（﹣3，4）所连的直线不与y轴相交的是（ ）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）解：点（﹣3，4）在第二象限，点（﹣3，2）也在第二象限，两点的连接线段与x轴，y轴都不相交．故选：D．3．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y轴，则A点的坐标为（ ）A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1）解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，又∵AB＝4，∴B点纵坐标为：3+4＝7或3﹣4＝﹣1，∴B点的坐标为：（4，7）或（4，﹣1）．故选：D．4．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 4或0 ．解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．5．（2022春•海沧区校级期末）在平面直角坐标系内，若点A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．当m＞1时，则M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是 M，P ．解：∵这六个点的纵坐标都是3，∴它们都在直线AB上，与x轴平行，∵m＞1，∴m2＞1，∴1＜2＜m2+2，1﹣m2＜0，1＜m2＜m2+2，2﹣m2＜1，∴M，N，P，Q这四点中在线段AB上的点是M，P．故答案为：M，P．6．（2022春•东莞市校级期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，解得m＝3．所以m+2＝5，故Q点的坐标是（0，5）；（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，解得m＝8．所以2m﹣6＝10．故Q点的坐标是（10，10）．7．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动（1）求点B的坐标．（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得a＝4，b＝6，∴点B的坐标是（4，6）；（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，∴点P的路程：2×4＝8，∵OA＝4，OC＝6，∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒），第二种情况，当点P在BA上时．点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒），故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．8．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝ 2 ，d2＝ 5 ，因此，这种分类方式的分类系数为 5 ；（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围．解：（1）观察坐标图，根据题意得知：d1＝d（A，C）＝|xA﹣xC|＝2；d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5；因为d2＞d1，所以分类系数为5；故答案为：2；5；5；（2）共有十种分类方法：若将点A，B分为第I类，点C，D，E分为第Ⅱ类：d1＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，d2＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，因为 d1＞d2，所以分类系数为4；若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类：分类系数为5；若将点A，D分为第I类，点B，C，E分为第Ⅱ类：d1＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因为d2＞d1，所以分类系数为5；若将点A，E分为第I类，点B，C，D分为第Ⅱ类：d1＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，d2＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，因为d1＝d2，所以分类系数为4；若将点B，C分为第I类，点A，D，E分为第Ⅱ类：d1＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因为d1＝d2，所以分类系数为4；若将点B，D分为第I类，点A，C，E分为第Ⅱ类：d1＝d（B，D）＝|xB﹣xD|＝2，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；若将点B，E分为第I类，点A，C，D分为第Ⅱ类：d1＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，d2＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，因为d1＞d2，所以分类系数为5；若将点C，D分为第I类，点A，B，E分为第Ⅱ类：d1＝d（C，D）＝|yC﹣yD|＝2，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因为d2＞d1，所以分类系数为5；若将点C，E分为第I类，点A，B，D分为第Ⅱ类：d1＝d（C，E）＝|xC﹣xE|＝2，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；若将点D，E分为第I类，点A，B，C分为第Ⅱ类：d1＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因为d2＞d1，所以分类系数为4；比较得：分类系数d的最小值为4；（3）当点F在点E的右边时，|xF﹣xA|≤5，m﹣1≤5；当点F在点A的左边时，|xF﹣xE|≤5，5﹣m≤5，得0≤m≤6．故m的取值范围是：0≤m≤6．考点02：两点间的距离公式9．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：根据题意得AB＝＝，∵（x+1）2≥0，（2y+2）2≥0，∴当x+1＝0，2y+2＝0时，AB最小，解得x＝﹣1，y＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，﹣1），∴P点在第三象限．故选：C．10．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．11．（2023春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 3 ．解：如图．∵A（0，a），∴A在y轴上．∴线段AB的长度为B点到y轴上点的距离．若使得线段AB长度的最小，由垂线段最短，∴当A在（0，5）时，即AB⊥y轴，线段AB长度最小．∴（dAB）min＝3．故答案为：3．12．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ±5 ．解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案为：±5．13．（2023秋•射阳县校级期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．解：（1）AB＝＝；（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；（3）△ABC为直角三角形．理由如下：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．14．（2023•张家界模拟）问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；【应用】：（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 3 ．（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 （1，2）或（1，﹣2） ．【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．解决下列问题：（1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ＝5 ；（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ 2或﹣2 ．（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ 4或8 ．解：【应用】：（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．故答案为：3．（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），∵CD＝2，∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．【拓展】：（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．故答案为：＝5．（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．故答案为：2或﹣2．（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），∵三角形OPQ的面积为3，∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．故答案为：4或8．15．（2023•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．考点03：关于x轴、y轴对称的点的坐标16．（2023秋•历下区期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣解：有序数对（a，b）（b≠0）它的“k阶结伴数对”为（ka+b，a﹣b），∵（a，b）与（ka+b，a﹣b）关于y轴对称，∴a＝﹣ka﹣b，b＝a﹣b，解得k＝﹣，故选：B．17．（2022春•洛江区期末）点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（ ）A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ）解：点P（﹣5，3）关于x轴对称点P的坐标为（﹣5，﹣3），故选：A．18．（2022•皇姑区二模）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第 四 象限．解：由题意，得a﹣2＝1，b+5＝3，解得a＝3，b＝﹣2，点C（a，b）在第四象限，故答案为：四．19．（2023秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 （1，2） ．解：由点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．20．（2019秋•昌平区校级期末）如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1，写出它们的坐标P1 （4，﹣1） ，Q1 （1，4） ，R1 （﹣1，1） 解：如图，△P1Q1R1即为所求．观察图象可知：P1（4，﹣1）、Q1（1，4）、R1（﹣1，1），故答案为（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）．21．（2016秋•天桥区期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．请将点A，B，C的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，分别得到点A′，B′，C′，并依次连接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面积．解：如图所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′的面积为×5×4＝10．22．（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．解：（1）△AOG是等腰三角形；证明：∵AC∥y轴，∴∠CAO＝∠AOG，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，∴∠GAO＝∠AOG，∴AG＝GO，∴△AOG是等腰三角形；（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，∴AN＝CK＝BK，在△ANG和△BKG中，，∴△ANG≌△BKG，（AAS）∴AG＝BG，∵AG＝OG，（1）中已证，∴AG＝OG＝BG，∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∴AO⊥BO．23．（2019秋•台山市期中）如图是一个平面直角坐标系，按要求完成下列各小题．（1）写出图中的多边形ABCDEF顶点在坐标轴上的点的坐标；（2）说明点B与点C的纵坐标有什么特点？线段BC与x轴有怎样的位置关系？（3）写出点E关于y轴的对称点E′的坐标，并指出点E′与点C有怎样的位置关系．解：（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣3），点D的坐标为（4，0），点F的坐标为（0，3）；（2）点B与点C的纵坐标相等，线段BC平行于x轴；（3）点E关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，3），它与点C关于原点对称．考点04：坐标与图形变化-对称24．（2022•邗江区校级一模）如图，点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，8），点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点B'恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）A． B． C．（2，0） D．（3，0）解：如图，连接AB、AB′，∵A（0，4），B（6，8），∴AB＝＝2，∵点B与B′关于直线AP对称，∴AB′＝AB＝2，在Rt△AOB′中，B′O＝＝＝6，∴B′点坐标为（﹣6，0）或（6，0），∵A（0，4），点B（6，8）关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，∴点B（6，8）关于直线AP的对称点B′（﹣6，0），∴B′点坐标为（6，0）不合题意舍去，设直线BB′方程为y＝kx+b将B（6，8），B′（﹣6，0）代入得，解得k＝，b＝4，∴直线BB′的解析式为：y＝x+4，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+4，当yAP＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（，0）；故选：A．25．（2023秋•武城县期末）明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则明明放的位置可能是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1）解：将第4枚圆形放在中心方形棋子的正上方一格处，即（﹣1，1）处，构成以过点（﹣1，0），（0，﹣1）的直线为对称轴的轴对称图形．故选：D．26．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C为第一象限内的整点．若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则点C的坐标可以是 （3.1）（答案不唯一） （写出一个即可），满足题意的点C的个数为 6 ．解：由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，如图，共有符合要求的点C有6个．其中点C坐标为（3，1）（答案不唯一），故答案为：（3，1）（不唯一），6．27．（2023秋•盐田区校级期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盘正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称图形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置是 （2，1） ．解：第八枚圆形棋子放在位置，如图所示，坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．28．（2023•黄石港区校级模拟）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 （﹣1，2）或（﹣﹣1，2） ．解：∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2），∴AB＝＝2，∵由题意点D在∠CAB的角平分线或∠CAB的外角平分线上，作DH⊥AB于H．∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC，∴DC＝DH，设DC＝DH＝m，则有•AC•BC＝•AC•DC+•AB•DH，∴2×4＝2m+2m，∴m＝﹣1，∴D（﹣1，2），当D′在∠CAB的外角平分线上时，同法可得CD′＝+1，∴D′（﹣﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．29．（2023秋•江阴市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 3 ，点P（﹣2，0）到点C的最大距离为 5+ ．解：∵A（2+2m，1），点B（2﹣m，4），∴点A在直线y＝1上，点B在直线y＝4上，∴AB的最小值为3，如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b．则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣•x+3+，∵x＝2时，y＝3，∴直线AB经过定点D（2，3），连接PD，CD，OD，∵P（﹣2，0），∵PD＝＝5，OD＝＝，∵O，C关于直线AB对称，∴DC＝OD＝，∴PC≤PD+CD＝5+，∴PC的最大值为5+．故答案为：3，5+．30．（2022•和平区校级开学）如图，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），请根据每一问的要求填空：（1）写出P关于y轴的对称点Q的坐标 （2，4） ，M关于y轴的对称点N的坐标 （1，1） ；（2）写出P关于x＝1的对称点R的坐标 （4，4） ，则PR的距离为 6 ；（3）写出M关于x轴的对称点T的坐标 （﹣1，﹣1） ，则NT的距离为 2 ．解：（1）如图，点Q，点N即为所求，Q（2，4），N（1，1）．故答案为：（2，4），（1，1）；（2）如图，点R即为所求，R（4，4），PR＝6．故答案为：（4，4），6；（3）如图，点T即为所求．T（﹣1，﹣1），NT＝＝2．故答案为：（﹣1，﹣1），2．31．（2023秋•峡江县期末）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．解：（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．32．（2023秋•建阳区期中）如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′．（1）写出P′的坐标 （4，4） ，M′的坐标 （3，1） ；（2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 （0，4） ；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 （﹣1，﹣2） ；（3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 （2n﹣a，b） ．解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1），故答案为：（4，4），（3，1）；（2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标（﹣1，﹣2）．故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）；（3）设对称点坐标为（x，y），则有＝n，y＝b，x＝2n﹣a，∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）．故答案为：（2n﹣a，b）．33．（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，∴P2（6﹣a，0），则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
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