八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)第5章《二元一次方程组》(原卷版+解析)

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2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第5章《二元一次方程组》知识互联网知识导航知识点01：二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 细节剖析：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 细节剖析：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.细节剖析：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.细节剖析：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.细节剖析： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.细节剖析：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：①把二元一次方程化成一次函数的形式． ②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．③交点坐标就是方程组的解．细节剖析：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.知识点03：实际问题与二元一次方程组细节剖析：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.知识点04：二元一次方程（组）与一次函数1.二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.细节剖析：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.3.用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.知识点05：三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.细节剖析：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．细节剖析：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．细节剖析：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．考点提优练考点01：求解二元一次方程组1．（2023八上·峄城期末）已知二元一次方程组，则的值为（　　）A．2 B．6 C． D．2．（2023八上·福田期末）已知方程组 的解满足 ，则 的值为（　　） A．7 B． C．1 D．3．（2022八上·长沙开学考）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有　 　（填写正确答案的序号）．4．（2023八上·禅城期末）若关于x、y 的二元一次方程组的解满足x+y=1，则m的值为　 　．5．（2023八上·虎林期末）若无意义，且则=　 　，=　 　．6．（2022八上·洪泽月考）解下列方程组或不等式组：（1） （2）（2023八上·榆林期末）已知方程组 的解也是关于x、y的二元一次方程 的一组解，求a的值. 8．（2023八上·三元月考）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题.解方程组解：由①-②得即③，③×16得④②-④得，把代入③得解得：原方程组的解是请你仿照上面的解法解方程组.考点02：应用—鸡兔同笼问题9．（2022八上·岳麓开学考）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（　　） A． B．C． D．10．（2023八上·普宁期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中正确的是（　　）A． B．C． D．11．（2023八上·成都期末）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金 两，1只羊值金 两，则可列方程组为　 　.12．中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为　 　． 13．（2020八上·龙岗期末）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板，做成如图②所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？14．（2019八上·东河月考）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？15．（2019八上·永登期末）某校办工厂有工人60名,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?16．（2023八上·玉门期末）“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网，空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样.已知买一个空气净化器和1个过滤网要花费 元，买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元.（1）请用方程组求出一个空气净化器与一个过滤网的销售价格分别是多少元？（2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买一个空气净化器赠送两个过滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算？请说明理由.考点03：应用-销售问题与和差倍分问题17．（2022八上·沙坪坝开学考）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（　　）A． B．C． D．18．（2023八上·驻马店期末）如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．29419．（2023八上·顺德期末）小明和小丽同时到一家水果店买水果．小明买苹果和雪梨，共花了33元；小丽买苹果和雪梨，共花了36元．设苹果每千克元，雪梨每千克元，请根据题意，列出方程组：　 　．20．（2020八上·青岛期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元．设该旅游团租住三人间客房间，两人间客房间，请列出满足题意的方程组　 　．21．（2023八上·清远期末）为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某初中举办了“建设书香校园”主题活动．为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如下表：求老舍文集和四大名著每套各是多少元？22．（2023八上·榆林期末）学校计划从某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作.该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉.1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉？1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？23．（2022八上·长沙开学考）在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多可购进A种特产多少件？24．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？25．（2023八上·福田期末）五和超市购进 、 两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表： （1）若该超市花了6500元进货，求购进 、 两种饮料各多少箱？（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，求 与 的函数关系式，并求购进 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？考点04：应用—行程问题与数字问题26．（2023八上·长清期中）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分，设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　） A． B．C． D．27．（2020八上·皇姑期末）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（　　）A．B．C．D．28．（2023八上·南海期中）若关于x，y的方程组与的解相同，则的值为　 　．29．（2023八上·南岸期末）重庆某快递公司规定：寄件不超过 的部分按起步价计费，超过 不足 ，按照 收费；超过 不足 按照 收费，以此类推.某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为 元，超过部分 元/ ；寄往北京的起步价为 元，超过部分 元/ .已知一个寄往重庆市内的快件，质量为 ，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为 ，收费42元.如果一个寄往北京的快件，质量为 ，应收费　 　元. 30．（2023八上·衢州期末）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示.（1）小聪与小明出发 　 　min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 　 　m/min.31．（2023八上·宝安期末）列方程组解应用题：全自动红外体温检测仪是一种非接触式人体测温系统，通过人体温度补偿、温度自动校正等技术实现准确、快速的测温工作，具备人体非接触测温、高温报警等功能．为了提高体温检测效率，某医院引进了一批全自动红外体温检测仪．通过一段时间使用发现，全自动红外体温检测仪的平均测温用时比人工测温快2秒，全自动红外体温检测仪检测60个人的体温的时间比人工检测40个人的体温的时间还少50秒，请计算全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是多少秒？32．（2023八上·广南期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？33．（2022八上·黄冈开学考）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，为对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？34．（2023八上·河南期末）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程.问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程： 小亮所列方程：根据以上信息，解答下列问题.（1）以上两个方程（组）中x意义是否相同？　 　（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量关系　 　（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②4个小时生产的零件数相等”）；（3）从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题.35．（2023八上·梁河月考）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 ， 两种型号的挖掘机，已知4台 型和2台 型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台 型和7台 型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台 型， 型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的 型和 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 考点05：一次函数与二元一次方程组的综合36．（2023八上·济南期末）如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（　　）A． B． C． D．37．（2023八上·胶州期末）已知一次函数y＝k1x+b1和一次函数y1＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）A． B． C． D．38．（2023八上·南京期末）已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是　 　.39．（2023八上·丹东期末）已知：直线与直线的图象交点如图所示，则方程组的解为　 　．40．（2019八上·句容期末）学完《平面直角坐标系》和《一次函数》这两章后，老师布置了这样一道思考题：已知：如图，在长方形 中， ， ，点 为 的中点， 和 相交于点 .求 的面积.小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点坐标.根据一次函数的知识求出点 的坐标，从而求得 的面积.请你按照小明的思路解决这道思考题. 41．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与坐标轴分别相交于点A、B与 ： 相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若平行于y轴的直线 交于直线 于点E，交直线 于点D，交x轴于点M，且 ，求a的值；42．（2018八上·靖远期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图所示：①根据图象直接写出y1、y2关于x的函数关系式；②当两车相遇时，求此时客车行驶的时间．③相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．43．（2018八上·苏州期末）如图，直线y= x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y= x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．44．（2023八上·晋中期末）如图，直线 y＝－x+4 和直线 y＝2x+1 相交于点 A，分别与 y 轴交于 B，C 两点．（1）求点 A 的坐标；（2）在 x 轴上有一动点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y＝－x+4和 y＝2x+1 的图象于点 D，E，若 DE＝6，求 a 的值．（3）在（2）的条件下，点 Q 为 x 轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标．老舍文集（套）四大名著（套）总费用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800饮料成本（元/箱）销售价（元/箱）25353550x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113…2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第5章《二元一次方程组》知识互联网知识导航知识点01：二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 细节剖析：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 细节剖析：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.细节剖析：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.细节剖析：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.细节剖析： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.细节剖析：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：①把二元一次方程化成一次函数的形式． ②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．③交点坐标就是方程组的解．细节剖析：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.知识点03：实际问题与二元一次方程组细节剖析：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.知识点04：二元一次方程（组）与一次函数1.二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.细节剖析：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.3.用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.知识点05：三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.细节剖析：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．细节剖析：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．细节剖析：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．考点提优练考点01：求解二元一次方程组1．（2023八上·峄城期末）已知二元一次方程组，则的值为（　　）A．2 B．6 C． D．【答案】A【完整解答】解：，①+②得：3x-3y=6，∴x-y=2，故答案为：A．【思路引导】利用加减消元法求解可得3x-3y=6，再计算求出x-y=2即可。2．（2023八上·福田期末）已知方程组 的解满足 ，则 的值为（　　） A．7 B． C．1 D．【答案】D【完整解答】解： ①+②得：3x+3y＝4+k，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，解得： ，故答案为：D【思路引导】先将k当作常数求出x、y的值，再将x、y的值代入可得，再求出k的值即可。3．（2022八上·长沙开学考）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有　 　（填写正确答案的序号）．【答案】①②③【完整解答】解：，（2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4，∴y＝t﹣1，把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1，∴，当t＝0时，，∴是方程组的解，故①正确；若x﹣y＝3，则2t+1﹣（t﹣1）＝3，∴t＝1，故②正确；∵M＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1，∴﹣3≤M≤5，∴M的最小值为﹣3，故③正确；∴正确的有①②③.故答案为：①②③.【思路引导】将方程组中的两个方程相减可得y，将y代入第二个方程中表示出x，据此可得方程组的解，令t=0，求出x、y的值，据此判断①；根据x-y＝3可得关于t的方程，求出t的值，进而判断②；根据x、y可得M＝2x-y-t＝2t+3，结合t的范围可得M的范围，据此判断③.4．（2023八上·禅城期末）若关于x、y 的二元一次方程组的解满足x+y=1，则m的值为　 　．【答案】﹣1【完整解答】解：，由①+②，得： ，∴ ，∵x+y=1，∴ ，解得： ．故答案为：-1【思路引导】利用加减消元法解二元一次方程组即可得出m的值。5．（2023八上·虎林期末）若无意义，且则=　 　，=　 　．【答案】0；5【完整解答】解：无意义，，且，解得．故答案为：0，5．【思路引导】根据题意求出，且，再解方程即可。6．（2022八上·洪泽月考）解下列方程组或不等式组：（1）3x−2y=−13x−4y=−5（2）x−2≤14−3x5x+2≥3(x−1)【答案】（1）解：3x−2y=−1①3x−4y=−5②，①-②，得2y=4，∴y=2，把y=2代入①，得3x-4=-1，∴x=1，∴．（2）解：x−2≤14−3x①5x+2≥3(x−1)②，解①，得，解②，得，∴．【思路引导】（1）将两个方程相减可得y的值，将y的值代入①中求出x的值，进而可得方程组的解；（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集.7．（2023八上·榆林期末）已知方程组 2x+y=6，3x−y=4 的解也是关于x、y的二元一次方程 的一组解，求a的值. 【答案】解：方程组 ， ②+①得： ，解得： ，代入①中，解得： ，把 ， 代入方程 得， ，解得： .【思路引导】将方程组中的两个方程相加可得x的值，将x的值代入第一个方程中可求出y的值，据此可得方程组的解，即二元一次方程的解，然后代入计算即可求出a的值.8．（2023八上·三元月考）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题.解方程组解：由①-②得即③，③×16得④②-④得，把代入③得解得：原方程组的解是请你仿照上面的解法解方程组.【答案】解：①﹣②得：3x+3y＝3，即x+y＝1③①﹣③×2021 得：x＝4把x＝4代入③得：y＝-3所以原方程组的解为.【思路引导】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：同一未知数的系数相差2，同一未知数的系数之和都是36；因此由①-②可得到x+y=1，再与方程②建立方程组，利用加减消元法可求出x，y的值.（2）观察方程组中同一个未知数的系数特点：同一未知数的系数相差2，由①﹣②，可得到x+y=1，可得到方程③，再由①﹣③×2021，消去y求出x的值，然后求出y的值，可得到方程组的解.考点02：应用—鸡兔同笼问题9．（2022八上·岳麓开学考）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（　　） A．x+y=6024x=12y B．x+y=6012x=24yC．x+y=602×24x=12y D．x+y=6024x=2×12y【答案】C【完整解答】解：由题意可得x+y=602×24x=12y ． 故答案为：C.【思路引导】根据总天数是60天可得x+y=60 ；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可得2×24x=12y，联立可得方程组.10．（2023八上·普宁期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】B【完整解答】解：由题意可得，故答案为：B．【思路引导】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意直接列出方程组即可。11．（2023八上·成都期末）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金 两，1只羊值金 两，则可列方程组为　 　.【答案】【完整解答】解：设1头牛值金 两，1只羊值金 两，由题意可得， .故答案为： .【思路引导】设1头牛值金 两，1只羊值金 两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解.12．中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为　 　． 【答案】【完整解答】设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得：故答案是： 或 【思路引导】设每只雀、燕的重量各为x两，y两，根据 五只雀，六只燕，共重16两，和互换其中一只，恰好一样重，列出方程组即可.13．（2020八上·龙岗期末）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板，做成如图②所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？【答案】解：设制作竖式纸盒x个，生产横式纸盒y个 由题意得 ，解得： ． 答：可制作横式纸盒60个、竖式纸盒30个．【思路引导】根据题意，由题目中的等量关系，列出方程组，计算得到答案即可。14．（2019八上·东河月考）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？【答案】解：设安排 立方米木料做桌面， 立方米木料做桌腿，依题意得： ， 解得： .答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．【思路引导】设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根据题意的等量关系列出方程组即可．15．（2019八上·永登期末）某校办工厂有工人60名,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?【答案】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母． 由题意，得 解这个方程组得： 答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【思路引导】二元一次方程组配套问题：首先，找到等量关系（一个螺栓与两个螺母配套）；然后，根据等量关系列出等式即可。16．（2023八上·玉门期末）“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网，空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样.已知买一个空气净化器和1个过滤网要花费 元，买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元.（1）请用方程组求出一个空气净化器与一个过滤网的销售价格分别是多少元？（2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买一个空气净化器赠送两个过滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算？请说明理由.【答案】解：设一个空气净化器 元，一个过滤网 元， ， 则一个空气净化器2200元，一个过滤网120元. （ ）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买一个空气净化器赠送两个过滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算？请说明理由. 解：国美： （元）， 苏宁：一个净化器送两个过滤网，那么10个净化器送20个网，只需买10个网即可. ∴ （元）， ∵ ， ∴苏宁更合算.（1）解：设一个空气净化器 元，一个过滤网 元， ，则一个空气净化器2200元，一个过滤网120元.（2）解：国美： （元），苏宁：一个净化器送两个过滤网，那么10个净化器送20个网，只需买10个网即可.∴ （元），∵ ，∴苏宁更合算.【思路引导】（1）设一个空气净化器 元，一个过滤网 元，根据等量关系：1个净化器+1个过滤网=2200，2个净化器+3个过滤网=4760，列方程组即可得解；（2）分别计算出在每一家需要花费的钱数，比较即可得.考点03：应用-销售问题与和差倍分问题17．（2022八上·沙坪坝开学考）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（　　）A．x+4=y34x=35y B．x+4=y35x=34yC．x−4=y34x=35y D．x−4=y35x=34y【答案】A【完整解答】解：根据题意，得x+4=y34x=35y，故答案为：A.【思路引导】根据该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多可得x+4=y；根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的可得x=y，联立可得方程组.18．（2023八上·驻马店期末）如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294【答案】C【完整解答】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个，由题意，得 ，解得 .故答案为：C.【思路引导】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．19．（2023八上·顺德期末）小明和小丽同时到一家水果店买水果．小明买苹果和雪梨，共花了33元；小丽买苹果和雪梨，共花了36元．设苹果每千克元，雪梨每千克元，请根据题意，列出方程组：　 　．【答案】【完整解答】解：由题意可得故答案为：．【思路引导】设苹果每千克x元，雪梨每千克y元，根据关键语句“小明买1kg苹果和2kg雪梨，共花了33元；小丽买2kg苹果和1kg雪梨，共花了36元”列出方程即可。20．（2020八上·青岛期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元．一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元．设该旅游团租住三人间客房间，两人间客房间，请列出满足题意的方程组　 　．【答案】【完整解答】解：根据题意可得三人间每间住宿费为25×3=75元；两人间每间住宿费为：35×2=70元；设租住三人间x间，两人间y间，可列方程：【思路引导】根据题意可设租住三人间x间，两人间y间，即可列方程。21．（2023八上·清远期末）为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某初中举办了“建设书香校园”主题活动．为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如下表：求老舍文集和四大名著每套各是多少元？【答案】解：设老舍文集每套x元，四大名著每套y元，依题意得：6x+4y=8605x+4y=800，解得：x=60y=125答：老舍文集每套60元，四大名著每套125元．【思路引导】设老舍文集每套x元，四大名著每套y元，根据题意列出方程组6x+4y=8605x+4y=800，再求解即可。22．（2023八上·榆林期末）学校计划从某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作.该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉.1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉？1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？【答案】解：设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉， 根据题意得： ，把②代入①×2得 ，解得 ，把 代入②得 ，解得x=500，∴ ，答1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉.【思路引导】设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，根据"1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉"可得方程x+3y=1700；根据"2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉"可得方程2x=3y-200，联立求解即可.23．（2022八上·长沙开学考）在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多可购进A种特产多少件？【答案】（1）解：设购进A种特产每件需要x元，购进B种特产每件需要y元，依题意得：解得：x=100y=50．答：购进A种特产每件需要100元，购进B种特产每件需要50元．（2）解：设该商户购进A种特产m件，则购进B种特产（100﹣m）件，依题意得：m⩾50100m+50(100−m)⩽7650解得：50≤m≤53．答：该商户最多可购进A种特产53件．【思路引导】（1）设购进A种特产每件需要x元，购进B种特产每件需要y元，由购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元可得8x+3y=950；由购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元可得5x+6y=800，联立求解即可；（2）设该商户购进A种特产m件，则购进B种特产(100-m)件， 根据A种特产至少需购进50件可得m≥50，根据件数×每件的费用=总费用结合总资金不能超过7650元可得关于m的不等式，联立求解可得m的范围.24．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元， ，解得，，∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；（2）解：由题意可得， ，解得，a＝8，经检验，a＝8是原分式方程的解，则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.【思路引导】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.25．（2023八上·福田期末）五和超市购进 、 两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表： （1）若该超市花了6500元进货，求购进 、 两种饮料各多少箱？（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，求 与 的函数关系式，并求购进 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）解：设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意得 解得 答：购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱（2）解：设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元， 则 随 的增大而减小，又 时， 可获得最大利润，最大利润是 （元）【思路引导】（1）设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意列出方程组求解即可；（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。考点04：应用—行程问题与数字问题26．（2023八上·长清期中）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分，设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　） A． B．C． D．【答案】A【完整解答】解：设该班胜x场，负y场，依题意得： ．故答案为：A．【思路引导】设该班胜x场，负y场，根据题意列出方程组。27．（2020八上·皇姑期末）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【完整解答】解：由于设吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意：“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人”和“吸烟者和不吸烟者总人数不10000”分别得出等式方程组成方程组： ．故答案为：B．【思路引导】由于设吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意：“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人”和“吸烟者和不吸烟者总人数不10000”即可得出等式方程组。28．（2023八上·南海期中）若关于x，y的方程组与的解相同，则的值为　 　．【答案】2【完整解答】解：由题意知，两个方程组的相同解为，把代入第一个方程组中的第二个方程得：；把代入第二个方程组中的第二个方程得：；解方程组，得 ，则故答案为：2．【思路引导】先求出，再求出，最后代入计算求解即可。29．（2023八上·南岸期末）重庆某快递公司规定：寄件不超过 的部分按起步价计费，超过 不足 ，按照 收费；超过 不足 按照 收费，以此类推.某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为 元，超过部分 元/ ；寄往北京的起步价为 元，超过部分 元/ .已知一个寄往重庆市内的快件，质量为 ，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为 ，收费42元.如果一个寄往北京的快件，质量为 ，应收费　 　元. 【答案】30【完整解答】解：依题意，得： ， 解得 ，寄往北京市快件重2.8kg按照3kg收费，应收费： 元，故答案为：30.【思路引导】根据寄往重庆和北京的质量和费用，可得关于a、b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，然后2.8kg按照3kg收费，代入即可求解.30．（2023八上·衢州期末）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示.（1）小聪与小明出发 　 　min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 　 　m/min.【答案】（1）25（2）100【完整解答】解：（1）由图象可得小聪与小明出发25min相遇.故答案为：25；（2）设小聪步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，则 ，解得： ，∴小明的速度为： ；故答案为： .【思路引导】（1）由图象可得小聪与小明出发25min相遇；（2）设小聪步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，由题意可得25V1+25V2=4500，(56.25-25)V1=25V2，联立求解即可.31．（2023八上·宝安期末）列方程组解应用题：全自动红外体温检测仪是一种非接触式人体测温系统，通过人体温度补偿、温度自动校正等技术实现准确、快速的测温工作，具备人体非接触测温、高温报警等功能．为了提高体温检测效率，某医院引进了一批全自动红外体温检测仪．通过一段时间使用发现，全自动红外体温检测仪的平均测温用时比人工测温快2秒，全自动红外体温检测仪检测60个人的体温的时间比人工检测40个人的体温的时间还少50秒，请计算全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是多少秒？【答案】解：设全自动红外体温检测仪的平均测温用时为x秒，则人工测量的平均测温用时为y秒，则解得答：全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是秒和秒．【思路引导】设全自动红外体温检测仪的平均测温用时为x秒，则人工测量的平均测温用时为y秒，根据题意列出方程组求解即可。32．（2023八上·广南期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？【答案】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，∵点A、B表示的数分别是-20、64，∴线段AB长为，∴由题意有，解得∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度．【思路引导】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据点A、B表示的数可得出线段AB的长，由题意列出方程组，即可得出x、y的值。33．（2022八上·黄冈开学考）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，为对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？【答案】（1）解：设购买1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元， 根据题意，得，解得．答：购买1副乒乓球拍需要28元，1副羽毛球拍需要60元（2）解：设购买a副羽毛球拍．根据题意，得28（30-a）+60a≤1480，解得a≤20． 答：最多能够购买20副羽毛球拍．【思路引导】（1）设购买1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；（2）设购买a副羽毛球拍，根据题意列出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案.34．（2023八上·河南期末）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程.问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程：6y=x+204y=x+4 小亮所列方程：根据以上信息，解答下列问题.（1）以上两个方程（组）中x意义是否相同？　 　（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量关系　 　（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②4个小时生产的零件数相等”）；（3）从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题.【答案】（1）是（2）②（3）解：6y=x+20①4y=x+4②，把①-②得：，解得，把代入①得：，解得；去分母得：，去括号：，移项得：，合并得：，系数化为1得：，∴，∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个.【完整解答】解：（1）由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数，而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数，∴以上两个方程（组）中x意义相同，故答案为：是；（2）根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系4个小时生产的零件数相等，故答案为：②；【思路引导】（1）方程组和方程中x表示的都是这一箱零件的个数，据此即可判断；（2） 4个小时生产的零件数相等 ；（3）分别解方程组或方程即可.35．（2023八上·梁河月考）实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 ， 两种型号的挖掘机，已知4台 型和2台 型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台 型和7台 型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台 型， 型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的 型和 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 依题意得： ，解得： ．答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；（2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配（12-m）台B型挖掘机， 依题意得： ，解得：6≤m≤9．又∵m为正整数，∴m可以为6，7，8，9，∴施工时共有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．【思路引导】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据题意列出方程组，解之即可得出答案；（2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12-m）台B型挖掘机，根据题意列出不等式组，可得出m的范围，因为m为正整数，即可得出所有的方案。考点05：一次函数与二元一次方程组的综合36．（2023八上·济南期末）如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（　　）A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：∵点A的纵坐标为3，当2x+1=3时，，∴一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A坐标为（1，3），又∵方程组可变形为，∴方程组的解为：．故答案为：C．【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两一次函数图象的交点坐标即是二元一次方程组的解。37．（2023八上·胶州期末）已知一次函数y＝k1x+b1和一次函数y1＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，∴一次函数y1=k1x与y=k2x+b的图象的交点坐标为(2，3)，∴关于x，y的二元一次方程组的解为．故答案为：C．【思路引导】由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，再根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案。38．（2023八上·南京期末）已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是　 　.【答案】【完整解答】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），∴则关于x、y的二元一次方程组 的解是 .故答案为：.【思路引导】函数图象的交点坐标即是相对应方程组的解，据此即得.39．（2023八上·丹东期末）已知：直线与直线的图象交点如图所示，则方程组的解为　 　．【答案】【完整解答】解：∵函数y=x-b与函数y=mx+6的交点坐标是（2，3），∴方程组的解为．故答案为．【思路引导】根据一次函数与二元一次方程的关系：两个一次函数的图象的交点坐标即是二元一次方程组的解求解即可。40．（2019八上·句容期末）学完《平面直角坐标系》和《一次函数》这两章后，老师布置了这样一道思考题：已知：如图，在长方形 中， ， ，点 为 的中点， 和 相交于点 .求 的面积.小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴建立适当的平面直角坐标系，写出图中一些点坐标.根据一次函数的知识求出点 的坐标，从而求得 的面积.请你按照小明的思路解决这道思考题. 【答案】解：如图建立直角坐标系， 则点B（0，0）、C（4，0）、A（0，2）、D（4，2）、E（2，2）.设直线BD的解析式为y＝kx，将点D（4，2）代入y＝kx，得2=4k，解得：k＝ ，∴直线BD的解析式为y＝ x；设直线CE的解析式为y＝mx＋n，将点C（4，0），E（2，2）代入y＝mx＋n，得 ，解得： ，∴直线CE的解析式为y＝−x＋4，联立直线BD、CE的解析式成方程组 ，解得： ，∴点P的坐标为（ ， ），∴S△BPC＝ BC•yP＝ ×4× ＝ .【思路引导】以点B为原点、BC所在的直线为x轴、BA所在的直线为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E、D的坐标，利用待定系数法即可得出直线BD、CE的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积.41．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与坐标轴分别相交于点A、B与 ： 相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若平行于y轴的直线 交于直线 于点E，交直线 于点D，交x轴于点M，且 ，求a的值；【答案】（1）解：联立两直线解析式得： ，解得： ，则点C坐标为 （2）解：由题意： 解得 或6【思路引导】（1）通过二元一次方程组，解出x、y的值，即为C点的坐标。（2）根据题意写出M、D、E的坐标，根据DE=2DM，求出a的值。42．（2018八上·靖远期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图所示：①根据图象直接写出y1、y2关于x的函数关系式；②当两车相遇时，求此时客车行驶的时间．③相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．【答案】解：①设y1＝kx，则将(10，600)代入得出：600＝10k， 解得：k＝60，∴y1＝60x (0≤x≤10)，设y2＝ax+b，则将(0，600)，(6，0)代入得出： ，解得： ，∴y2＝﹣100x+600 (0≤x≤6)；②当两车相遇时，y1＝y2，即60x＝﹣100x+600解得：x＝ ；∴当两车相遇时，此时客车行驶了 小时；③相遇后相距200千米，则y1﹣y2＝200，即60x+100x﹣600＝200，解得：x＝55﹣ = ，∴相遇后，两车相距200千米时，客车又行驶的时间 小时．【思路引导】（1）根据图象，用待定系数法求函数解析式；（2）结合（1），当两车相遇时，y1＝y2，即60x＝﹣100x+600；（3）结合图象，可得：相遇后相距200千米，则y1﹣y2＝200，即60x+100x﹣600＝200.43．（2018八上·苏州期末）如图，直线y= x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y= x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（-6，0），∴OA=6，∵点P在直线 上，∴可设点P的坐标为 ，∵直线 与x轴交于点E，和y轴交于点F，∴点E、F的坐标分别为（-8，0）和（0，6），∴当点P在第一、二象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；当点P在第三象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；∴点P运动过程中，△OPA的面积S与x的函数关系式是S= 或S= （2）解：把S= 代入S= 和S= 得： 和 ，解得： 或 ，∴点P的坐标为 或 （3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，则OD=OE=8，OC=OF=6，①如图，当点D在y轴的负半轴时，点C在x轴的负半轴，∵OD=8，OC=6，∴点D、C的坐标分别为（0，-8）和（-6，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，则： ，解得 ，∴ ，由 ，解得： ，∴点P的坐标为 ；②如下图所示：当点D在y轴正半轴时，点C在x轴的正半轴，同理可解得此时点P的坐标为 ；综上所述，存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是 或 【思路引导】（1）求出P点坐标，当点P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当点P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可。（2）把S的值代入解析式即可。（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①，求出C、D的坐标，利用待定系数法求出CD所在的直线方程，再解二元一次方程组求出两直线的交点坐标即可；图②同理。44．（2023八上·晋中期末）如图，直线 y＝－x+4 和直线 y＝2x+1 相交于点 A，分别与 y 轴交于 B，C 两点．（1）求点 A 的坐标；（2）在 x 轴上有一动点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y＝－x+4和 y＝2x+1 的图象于点 D，E，若 DE＝6，求 a 的值．（3）在（2）的条件下，点 Q 为 x 轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标．【答案】（1）解：由题意可得：，解之得：∴A（1，3）（2）解：∵P（a ，0）∴D（a，-a+4）E（a，2a+1）当点 P 在 A 点右侧时，DE=2a+1-(-a+4)∵DE=6∴2a+1-(-a+4)=6∴a=3 当点 P 在 A 点左侧时，DE=-a+4-(2a+1)∵DE=6∴-a+4-(2a+1)=6∴a=-1∴a=3 或 a=-1；（3）△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标为（3-，0），（-1-，0），（-1-，0）【完整解答】解：（3）设Q（b ，0），当a=3时， D（3，1），E（3，7），由（2）中图可知此时只能DQ=DE，∴(b-3)2+1=62，解得b1=，b2=（舍去），∴Q（ ，0）；当a=-1时， D（-1，5），E（-1，-1），DQ2=(b+1)2+25，DE2=36，EQ2=(b+1)2+1，当DQ=DE时，(b+1)2+25 =36，解得b1=，b2=（舍去），当EQ=DE时，(b+1)2+1 =36，解得b1=，b2=（舍去），当DQ=EQ时，(b+1)2+25 = (b+1)2+1，无解．综上可知，△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标为（3-，0），（-1-，0），（-1-，0）．【思路引导】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，再求出x、y的值，即可得到点A的坐标；（2）分两种情况：①当点P在A点右侧时，②当点P在A点左侧时，再分别画出图象并列出方程求解即可；（3）分三种情况：①当DQ=DE时，②当EQ=DE时，③当DQ=EQ时，再分别列出方程求解即可。老舍文集（套）四大名著（套）总费用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800饮料成本（元/箱）销售价（元/箱）25353550x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113…