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初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定巩固练习
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这是一份初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定巩固练习，共36页。试卷主要包含了5，等内容，欢迎下载使用。
知识点01：平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为： ）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为： ).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行， ），
又∠3+∠1=180°（ ），
所以∠2+∠1=180°.
细节剖析：平行线性质定理的证明，要借助 ，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
知识点01：平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由 判断 ．平行线的性质是由 来寻找角的 ．
（2）应用 时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质 ，用于 并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是 ．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
易错题专训
一．选择题
1．（2023春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
2．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
3．（2019秋•缙云县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
4．（2018秋•武昌区校级期中）如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
6．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
7．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
二．填空题
8．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是 s．
9．（2023秋•牡丹区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有 ．
10．（2023春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是 ．
11．（2023春•西城区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 个．
12．（2023春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
13．（2022春•岳池县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 （填编号）．
三．解答题
14．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
15．（2023秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
16．（2022春•凤凰县期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
17．（2022春•潍坊期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，CD为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF的位置关系，并说明理由．
18．（2023秋•汝州市校级月考）平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：
（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；
（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
19．（2023秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
20．（2023秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
专题18 平行线的判定与性质（综合题）
易错点拨
知识点01：平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
细节剖析：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
知识点01：平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
易错题专训
一．选择题
1．（2023春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【易错思路引导】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算即可求出∠1．
【规范解答】解：∵长方形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，
由翻折的性质得∠DEF＝∠MEF，
∴∠1＝180°﹣∠DEF×2＝180°﹣55°×2＝70°．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
2．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
【易错思路引导】先根据AD⊥BD，∠ADC＝38°，求出∠1的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠ABD的度数．
【规范解答】解：如图：
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝38°，
∴∠1＝90°﹣38°＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠1＝52°，
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（2019秋•缙云县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
【易错思路引导】根据长方形的性质得出∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，可得∠DA′E＝∠1＝38°，可得∠DEA′＝52°，根据折叠的性质得出∠AEF＝∠A′EF＝64°，根据平行线的性质即可求解．
【规范解答】解：∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠C＝∠D＝∠EA′B′＝90°，AD∥BC，
∴∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，
∴∠DA′E＝∠1＝38°，
∴∠DEA′＝∠90°﹣∠DA′E＝52°，
∴∠AEA′＝180°﹣52°＝128°，
由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠AEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣64°＝116°，
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．
4．（2018秋•武昌区校级期中）如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【易错思路引导】过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP，依据条件可得AP平分∠BAC，再根据平行线的性质和角平分线定义得出∠MAP＝∠MPA，∠NBP＝∠NPB，即可得到AM＝PM，NP＝NB，再根据MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN进行计算即可．
【规范解答】解：如图，过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，
∴PF＝PG＝PH，
∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵MN∥AB，
∴∠BAP＝∠MPA，
∴∠MAP＝∠MPA，
∴AM＝PM，
同理可得：∠NBP＝∠NPB，
∴NP＝NB，
∴MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN＝8﹣5＝3，
故选：B．
【考察注意点】本题主要考查了角平分线的判定与性质的运用，解题时注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
5．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【易错思路引导】由平行线的性质得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，证出∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，由角平分线定义得出∠BCD＝∠BCF，得出∠1＝∠ECA，AC平分∠DCE，证出∠EAC＝∠1，得出AE∥CD，①正确；由∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，得出∠BDC＝2∠1，②正确；即可得出结论．
【规范解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，
∵BC平分∠DCF，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠1＝∠ECA，
∴AC平分∠DCE，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠1，
∴AE∥CD，①正确；
∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，
∴∠BDC＝2∠1，②正确；
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
【易错思路引导】根据平行线的性质以及外角和定理，可求出其值．
【规范解答】解：∵CE∥DF，
∴∠CEA+∠DFB＝180°，
∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，
∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和定理，综合性较强，难度适中．
7．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
【易错思路引导】根据平行线得性质，角平分线得定义，互补得性质求解．
【规范解答】解：
过点E作EH∥AB交AD于点H，则∠1＝∠AEH，
∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DEH，
∴EH∥CD，
∴AB∥CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠EAD，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠2，
∴DE平分∠ADC，
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
根据平行线的拐点问题得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，
∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了平行线得性质，角平分线的定义，互补，互余，是一道综合性较强的题．
二．填空题
8．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有 2 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是 36或60 s．
【易错思路引导】分三种情况讨论，依据∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，列出方程即可得到射线AE与射线BF互相平行时的时间．
【规范解答】解：设射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转ts时，射线AE与射线BF互相平行．
分三种情况：
①如图，当0＜t＜45时，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，60﹣t＝4t﹣120，
解得t＝36；
②当45≤t≤60时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，60﹣t＝240﹣4t，
解得t＝60；
③如图，当60≤t＜180时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，t﹣60＝4t﹣240，
解得t＝60；
综上所述，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或60s．
故答案为：2，36或60．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
9．（2023秋•牡丹区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有 ①③ ．
【易错思路引导】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【规范解答】解：①∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥DE；
②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CE；
③∠ACE+∠E＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AC∥DE；
④∠B＝∠3，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥DC．
∴能判断AC∥DE的有①③，
故答案为：①③．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．（2023春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是 ①②③ ．
【易错思路引导】根据平行线的判定与性质和角平分线的定义逐一进行判断即可．
【规范解答】解：如图，
∵AC∥BD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正确；
∴∠1＝∠6，
AB∥CD，故②正确；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BDC，故③正确；
如图，点P是线段BE上任意一点，
∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
11．（2023春•西城区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 5 个．
【易错思路引导】由AB∥CD∥EF，可得∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；由BC∥AD，可得∠GAE＝∠GCF；又因为AC平分∠BAD，可得∠GAB＝∠GAE；根据对顶角相等可得∠AGE＝∠CGF．所以图中与∠AGE相等的角有5个．
【规范解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；
∵BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCF；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠GAB＝∠GAE；
∵∠AGE＝∠CGF．
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．
∴图中与∠AGE相等的角有5个．
【考察注意点】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角的性质．注意数形结合思想的应用．
12．（2023春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【易错思路引导】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【规范解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【考察注意点】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
13．（2022春•岳池县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 ①②③ （填编号）．
【易错思路引导】由于AB∥CD，则∠ABO＝∠BOD＝40°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根据角平分线定义得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF＝a°，则∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE＝a°，则∠POE＝∠BOF； 根据∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正确．
【规范解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④错误．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
三．解答题
14．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【易错思路引导】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQD，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，当PF′∥NM′时，∠APF′与NM′同AB的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，当PH′∥NM′时，同样的方法求得，当F′H′∥NM′时，此时PH′⊥NM′，根据四边形内角和列出方程求得结果．
【规范解答】解：（1）如图1：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案为：135°；
（2）如图1，
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE＝2α，设∠PEQ＝β，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）如图2：
当M′N∥PF′时，
105﹣5t＝22.5+10t，
∴t＝5.5，
如图3：
当NM′∥PH′时，
105﹣5t＝10t﹣22.5，
∴t＝8.5，
如图4：
当NM′∥F′H′时，即PH′⊥NM′，
105+5t+10t﹣22.5+90＝360，
∴t＝12.5，
综上所述：t＝5.5或8.5或12.5．
【考察注意点】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
15．（2023秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
【易错思路引导】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．
【规范解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出∠CHG＝∠1；（2）利用平行线的判定得出AC∥DF．
16．（2022春•凤凰县期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【易错思路引导】（1）依据角平分线，可得∠AEM＝∠FEM，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FME，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝130°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝65°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α＝．当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
【规范解答】解：（1）∵EM平分∠AEF
∴∠AEM＝∠FEM，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50°
∴∠AEG＝130°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝65°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°，
即α＝25°；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
17．（2022春•潍坊期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，CD为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF的位置关系，并说明理由．
【易错思路引导】依据AD∥BC，∠1＝∠2，即可得到∠1＝∠4＝∠2，再根据∠5＝∠4，可得∠5＝∠2，依据∠2与∠3互余，可得∠3与∠5互余，即可得出DE⊥CF．
【规范解答】解：DE⊥CF，理由如下：
∵AD∥BC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠4＝∠2，
又∵∠5＝∠4，
∴∠5＝∠2，
又∵∠2与∠3互余，
∴∠3与∠5互余，
∴∠5+∠3＝90°，
∴DE⊥CF．
【考察注意点】本题主要考查了平行线性质以及垂线的定义的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
18．（2023秋•汝州市校级月考）平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：
（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；
（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
【易错思路引导】（1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∠B+∠D＝∠BED，理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
19．（2023秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【易错思路引导】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【规范解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
20．（2023秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【易错思路引导】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
【规范解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
【考察注意点】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题
知识点01：平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为： ）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为： ).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行， ），
又∠3+∠1=180°（ ），
所以∠2+∠1=180°.
细节剖析：平行线性质定理的证明，要借助 ，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
知识点01：平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由 判断 ．平行线的性质是由 来寻找角的 ．
（2）应用 时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质 ，用于 并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是 ．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
易错题专训
一．选择题
1．（2023春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
2．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
3．（2019秋•缙云县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
4．（2018秋•武昌区校级期中）如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
6．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
7．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
二．填空题
8．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是 s．
9．（2023秋•牡丹区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有 ．
10．（2023春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是 ．
11．（2023春•西城区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 个．
12．（2023春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
13．（2022春•岳池县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 （填编号）．
三．解答题
14．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
15．（2023秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
16．（2022春•凤凰县期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
17．（2022春•潍坊期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，CD为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF的位置关系，并说明理由．
18．（2023秋•汝州市校级月考）平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：
（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；
（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
19．（2023秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
20．（2023秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
专题18 平行线的判定与性质（综合题）
易错点拨
知识点01：平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
细节剖析：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
知识点01：平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
易错题专训
一．选择题
1．（2023春•招远市期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【易错思路引导】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算即可求出∠1．
【规范解答】解：∵长方形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，
由翻折的性质得∠DEF＝∠MEF，
∴∠1＝180°﹣∠DEF×2＝180°﹣55°×2＝70°．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
2．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
【易错思路引导】先根据AD⊥BD，∠ADC＝38°，求出∠1的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠ABD的度数．
【规范解答】解：如图：
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝38°，
∴∠1＝90°﹣38°＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠1＝52°，
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（2019秋•缙云县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
【易错思路引导】根据长方形的性质得出∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，可得∠DA′E＝∠1＝38°，可得∠DEA′＝52°，根据折叠的性质得出∠AEF＝∠A′EF＝64°，根据平行线的性质即可求解．
【规范解答】解：∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠C＝∠D＝∠EA′B′＝90°，AD∥BC，
∴∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，
∴∠DA′E＝∠1＝38°，
∴∠DEA′＝∠90°﹣∠DA′E＝52°，
∴∠AEA′＝180°﹣52°＝128°，
由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠AEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣64°＝116°，
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．
4．（2018秋•武昌区校级期中）如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【易错思路引导】过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP，依据条件可得AP平分∠BAC，再根据平行线的性质和角平分线定义得出∠MAP＝∠MPA，∠NBP＝∠NPB，即可得到AM＝PM，NP＝NB，再根据MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN进行计算即可．
【规范解答】解：如图，过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，
∴PF＝PG＝PH，
∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵MN∥AB，
∴∠BAP＝∠MPA，
∴∠MAP＝∠MPA，
∴AM＝PM，
同理可得：∠NBP＝∠NPB，
∴NP＝NB，
∴MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN＝8﹣5＝3，
故选：B．
【考察注意点】本题主要考查了角平分线的判定与性质的运用，解题时注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
5．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【易错思路引导】由平行线的性质得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，证出∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，由角平分线定义得出∠BCD＝∠BCF，得出∠1＝∠ECA，AC平分∠DCE，证出∠EAC＝∠1，得出AE∥CD，①正确；由∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，得出∠BDC＝2∠1，②正确；即可得出结论．
【规范解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，
∵BC平分∠DCF，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠1＝∠ECA，
∴AC平分∠DCE，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠1，
∴AE∥CD，①正确；
∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，
∴∠BDC＝2∠1，②正确；
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
【易错思路引导】根据平行线的性质以及外角和定理，可求出其值．
【规范解答】解：∵CE∥DF，
∴∠CEA+∠DFB＝180°，
∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，
∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和定理，综合性较强，难度适中．
7．（2022春•承德县期末）黑板上有一个数学问题如图所示：
如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
几位同学经过研究得到以下结论：
嘉嘉说：“AB∥CD”；
琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇说：“DE平分∠ADC”；
亮亮说：“∠F＝135°”，则（ ）
A．只有嘉嘉的结论正确
B．嘉嘉和琪琪的结论都正确
C．只有琪琪的结论不正确
D．四个人的结论都正确
【易错思路引导】根据平行线得性质，角平分线得定义，互补得性质求解．
【规范解答】解：
过点E作EH∥AB交AD于点H，则∠1＝∠AEH，
∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DEH，
∴EH∥CD，
∴AB∥CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠EAD，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠2，
∴DE平分∠ADC，
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．
根据平行线的拐点问题得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，
∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了平行线得性质，角平分线的定义，互补，互余，是一道综合性较强的题．
二．填空题
8．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有 2 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是 36或60 s．
【易错思路引导】分三种情况讨论，依据∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，列出方程即可得到射线AE与射线BF互相平行时的时间．
【规范解答】解：设射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转ts时，射线AE与射线BF互相平行．
分三种情况：
①如图，当0＜t＜45时，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，60﹣t＝4t﹣120，
解得t＝36；
②当45≤t≤60时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，60﹣t＝240﹣4t，
解得t＝60；
③如图，当60≤t＜180时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，t﹣60＝4t﹣240，
解得t＝60；
综上所述，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或60s．
故答案为：2，36或60．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
9．（2023秋•牡丹区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有 ①③ ．
【易错思路引导】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【规范解答】解：①∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥DE；
②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CE；
③∠ACE+∠E＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AC∥DE；
④∠B＝∠3，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥DC．
∴能判断AC∥DE的有①③，
故答案为：①③．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．（2023春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是 ①②③ ．
【易错思路引导】根据平行线的判定与性质和角平分线的定义逐一进行判断即可．
【规范解答】解：如图，
∵AC∥BD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正确；
∴∠1＝∠6，
AB∥CD，故②正确；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BDC，故③正确；
如图，点P是线段BE上任意一点，
∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
11．（2023春•西城区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 5 个．
【易错思路引导】由AB∥CD∥EF，可得∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；由BC∥AD，可得∠GAE＝∠GCF；又因为AC平分∠BAD，可得∠GAB＝∠GAE；根据对顶角相等可得∠AGE＝∠CGF．所以图中与∠AGE相等的角有5个．
【规范解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；
∵BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCF；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠GAB＝∠GAE；
∵∠AGE＝∠CGF．
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．
∴图中与∠AGE相等的角有5个．
【考察注意点】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角的性质．注意数形结合思想的应用．
12．（2023春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【易错思路引导】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【规范解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【考察注意点】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
13．（2022春•岳池县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 ①②③ （填编号）．
【易错思路引导】由于AB∥CD，则∠ABO＝∠BOD＝40°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根据角平分线定义得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF＝a°，则∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE＝a°，则∠POE＝∠BOF； 根据∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正确．
【规范解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④错误．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
三．解答题
14．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，过点P作PH⊥OF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【易错思路引导】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQD，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，当PF′∥NM′时，∠APF′与NM′同AB的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，当PH′∥NM′时，同样的方法求得，当F′H′∥NM′时，此时PH′⊥NM′，根据四边形内角和列出方程求得结果．
【规范解答】解：（1）如图1：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE＝2α，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案为：135°；
（2）如图1，
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE＝2α，设∠PEQ＝β，则∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）如图2：
当M′N∥PF′时，
105﹣5t＝22.5+10t，
∴t＝5.5，
如图3：
当NM′∥PH′时，
105﹣5t＝10t﹣22.5，
∴t＝8.5，
如图4：
当NM′∥F′H′时，即PH′⊥NM′，
105+5t+10t﹣22.5+90＝360，
∴t＝12.5，
综上所述：t＝5.5或8.5或12.5．
【考察注意点】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
15．（2023秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
【易错思路引导】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．
【规范解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出∠CHG＝∠1；（2）利用平行线的判定得出AC∥DF．
16．（2022春•凤凰县期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【易错思路引导】（1）依据角平分线，可得∠AEM＝∠FEM，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FME，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝130°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝65°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α＝．当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
【规范解答】解：（1）∵EM平分∠AEF
∴∠AEM＝∠FEM，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50°
∴∠AEG＝130°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝65°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°，
即α＝25°；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
17．（2022春•潍坊期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，CD为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF的位置关系，并说明理由．
【易错思路引导】依据AD∥BC，∠1＝∠2，即可得到∠1＝∠4＝∠2，再根据∠5＝∠4，可得∠5＝∠2，依据∠2与∠3互余，可得∠3与∠5互余，即可得出DE⊥CF．
【规范解答】解：DE⊥CF，理由如下：
∵AD∥BC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠4＝∠2，
又∵∠5＝∠4，
∴∠5＝∠2，
又∵∠2与∠3互余，
∴∠3与∠5互余，
∴∠5+∠3＝90°，
∴DE⊥CF．
【考察注意点】本题主要考查了平行线性质以及垂线的定义的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
18．（2023秋•汝州市校级月考）平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：
（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；
（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
【易错思路引导】（1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∠B+∠D＝∠BED，理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
19．（2023秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【易错思路引导】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【规范解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
20．（2023秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【易错思路引导】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
【规范解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
【考察注意点】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题
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