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初中数学北师大版八年级上册6 实数练习
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这是一份初中数学北师大版八年级上册6 实数练习,共15页。试卷主要包含了﹣1的结果为 等内容,欢迎下载使用。
知识点01:实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点, 总是比 大.
大于0, 小于0,两个负数,绝对值大的 .
知识点02:实数的运算
有理数中关于 的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行 运算,任意一个实数可以进行 运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
易错题专训
一.选择题
1.(2022•鼓楼区校级开学)已知a1为实数,规定运算:a2=1﹣,a3=1﹣,a4=1﹣,a5=1﹣,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2024的值等于( )
A.﹣B.C.﹣D.
2.(2023秋•自贡期末)设a,b是实数,定义一种新运算:a*b=(b﹣a)2;下面有四个推断:①a*b=b*a;②(﹣a)*b=a*(﹣b);③(a*b)2=b2*a2;④a*(b+a)=a*b+a*c.其中所有正确推断的序号是( )
A.②③④B.①②④C.①③D.①②
3.(2023秋•于洪区期末)下列计算正确的是( )
A.=±4B.=﹣3C.3+4=7D.﹣=
4.(2023秋•青神县期末)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于( )
A.B.C.D.
5.(2023秋•济宁期末)对于实数a、b,定义min{a,b}的含义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a>b时,min{a,b}=b,例如:min{1,﹣2}=﹣2.已知min{,a}=a,min{,b}=,且a和b为两个连续正整数,则2a﹣b的值为( )
A.1B.2C.3D.4
6.(2023秋•通川区校级月考)下列各式中正确的是( )
A.B.
C.D.
二.填空题
7.(2023秋•平山县期末)计算:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1的结果为 .
8.(2023秋•南县期末)如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等,则图中a、b、c三个实数的积为 .
9.(2023秋•沙坪坝区校级期末)实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:= .
10.(2023秋•平昌县期末)阅读理解:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,i叫做虚数单位,我们把形如a+bi(a、b为实数,且b≠0)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
如:(4+i)+(6﹣2i)=(4+6)+(1﹣2)i=10﹣i;
(2﹣i)(3+i)=2×3+2i﹣3i﹣i2=6﹣i﹣(﹣1)=7﹣i.
根据以上信息,计算(3+i)(1﹣3i)= .
11.(2022•成都模拟)对于任意的正数a,b,定义运算“*”如下:,计算(3*2)+(48*50)的结果为 .
12.(2022•南谯区开学)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于 .
13.(2023•商丘四模)计算:﹣|2﹣|=
三.解答题
14.(2022•鼓楼区校级开学)计算:
(1)()2+﹣﹣82;
(2)﹣(﹣1)2﹣(π﹣1)0+2﹣1.
15.(2022•惠城区校级开学)阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它有如下特点:
①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1.(实数与实数合并,虚数与虚数合并,实数与虚数无法合并)
(1)填空:i3= ,i4= ;
(2)求i+i2+i3+i4;
(3)已知a﹣b=1,(a+i)(b+i)=1+3i,求a2﹣b2(i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022)的值.
16.(2022•普洱二模)计算:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+.
17.(2016秋•苏州期中)计算下列各题.
(1)+﹣; (2)﹣16﹣4;
(3)|﹣|﹣+; (4)×﹣2(﹣π)0.
18.(2022•南京模拟)若a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,试计算(a﹣c)2013+b2014的值.
19.(2019春•洛阳期中)先阅读第(1)题的解法,再解答第(2)题.
(1)已知a、b是有理数,并且满足等式5﹣a=2b+﹣a,求a、b的值.
解:因为5﹣a=2b+﹣a.
即5﹣a=(2b﹣a)+.
所以2b﹣a=5,﹣a=.
解得:a=﹣,b=.
(2)设x、y是有理数,并且满足x2+y+2y=﹣4+17,求x+y的值.
20.(2017秋•龙泉驿区期中)小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念:
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈 n次方”.
小明探究出:初步探究
(1)直接写出计算结果:2③= ,(﹣)⑤= ;()⑥= .
他们一起深入思考得出:
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(2)小华探究出:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣3)④= ;5⑥= ;(﹣)⑩= .
(3)请你想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ;
(4)请你算一算:24÷23﹣(﹣8)×2⑥+()④.
专题08 实数的运算(综合题)
易错点拨
知识点01:实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.
知识点02:实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
易错题专训
一.选择题
1.(2022•鼓楼区校级开学)已知a1为实数,规定运算:a2=1﹣,a3=1﹣,a4=1﹣,a5=1﹣,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2024的值等于( )
A.﹣B.C.﹣D.
解:∵a1=3,
∴a2=1﹣=,
a3=1﹣=﹣,
a4=1﹣=3,
a5=1﹣=,…
∴an以三个数为一组,不断循环,
∵2024÷3=,
∴a2024=a2=,
故选:D.
2.(2023秋•自贡期末)设a,b是实数,定义一种新运算:a*b=(b﹣a)2;下面有四个推断:①a*b=b*a;②(﹣a)*b=a*(﹣b);③(a*b)2=b2*a2;④a*(b+a)=a*b+a*c.其中所有正确推断的序号是( )
A.②③④B.①②④C.①③D.①②
解:根据题中的新定义得:
①∵a*b=(b﹣a)2,b*a=(a﹣b)2,
∴a*b=b*a,正确;
②∵(﹣a)*b=(b+a)2,
a*(﹣b)=(﹣b﹣a)2=(b+a)2,
∴(﹣a)*b=a*(﹣b),正确;
③∵(a*b)2=(b﹣a)4,
b2*a2=(a2﹣b2)2,
∴(a*b)2≠b2*a2,错误;
④∵a*(b+a)=(b+a﹣a)2=b2,
a*b+a*c=(b﹣a)2+(c﹣a)2,
∴a*(b+a)≠a*b+a*c,错误.
故选:C.
3.(2023秋•于洪区期末)下列计算正确的是( )
A.=±4B.=﹣3C.3+4=7D.﹣=
解:A.=4,故A不符合题意;
B.,故B不符合题意;
C.3与不能合并,故C不符合题意;
D.,故D符合题意;
故选:D.
4.(2023秋•青神县期末)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于( )
A.B.C.D.
解:a1=3,
a2=1﹣=1﹣=,
a3=1﹣=1﹣=,
a4=1﹣=1﹣=3,
...
∴2022÷3=674,
∴a2022=,
故选:C.
5.(2023秋•济宁期末)对于实数a、b,定义min{a,b}的含义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a>b时,min{a,b}=b,例如:min{1,﹣2}=﹣2.已知min{,a}=a,min{,b}=,且a和b为两个连续正整数,则2a﹣b的值为( )
A.1B.2C.3D.4
解:∵min{,a}=a,min{,b}=.
∴a<,b>.
∵a,b是两个连续的正整数.
∴a=5,b=6.
∴2a﹣b=2×5﹣6=4.
故选:D.
6.(2023秋•通川区校级月考)下列各式中正确的是( )
A.B.
C.D.
解:∵=8,
∴选项A不符合题意;
∵,
∴选项B不符合题意;
∵,
∴选项C符合题意;
∵,
∴选项D不符合题意;
故选:C.
二.填空题
7.(2023秋•平山县期末)计算:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1的结果为 7 .
解:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1
=(﹣8)×[(﹣8)2021×0.1252021]+1﹣2
=(﹣8)×(﹣8×0.125)2021+1﹣2
=﹣8×(﹣1)2021+1﹣2
=﹣8×(﹣1)+1﹣2
=8+1﹣2
=7,
故答案为:7.
8.(2023秋•南县期末)如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等,则图中a、b、c三个实数的积为 18 .
解:2×3×=6,
a=6÷1÷6=,
b=6÷2÷1=3,
c=6÷÷6=,
abc=×3×=18,
故答案为:18.
9.(2023秋•沙坪坝区校级期末)实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:= ﹣a+1 .
解:根据数轴上点的位置得:a<0<b,
∴a﹣b<0,
则原式=|a﹣b|﹣(b﹣1)
=b﹣a﹣b+1
=﹣a+1.
故答案为:﹣a+1.
10.(2023秋•平昌县期末)阅读理解:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,i叫做虚数单位,我们把形如a+bi(a、b为实数,且b≠0)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
如:(4+i)+(6﹣2i)=(4+6)+(1﹣2)i=10﹣i;
(2﹣i)(3+i)=2×3+2i﹣3i﹣i2=6﹣i﹣(﹣1)=7﹣i.
根据以上信息,计算(3+i)(1﹣3i)= 6﹣8i .
解:(3+i)(1﹣3i)
=3×1﹣3×3i+i﹣3i2
=3﹣9i+i﹣3i2
=3﹣8i﹣3×(﹣1)
=3﹣8i+3
=6﹣8i.
故答案为:6﹣8i.
11.(2022•成都模拟)对于任意的正数a,b,定义运算“*”如下:,计算(3*2)+(48*50)的结果为 .
解:(3*2)+(48*50)
=+﹣
=+5﹣4
=4﹣3,
故答案为:4﹣3.
12.(2022•南谯区开学)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于 ﹣ .
解:a1=3,
a2=1﹣=,
a3=1﹣=﹣,
a4=1﹣(﹣2)=3,
∴an以三个数为一组,不断循环,
∵2022÷3=674,
∴a2022=a3=﹣,
故答案为:﹣.
13.(2023•商丘四模)计算:﹣|2﹣|=
解:原式=2﹣2+=,
故答案为:
三.解答题
14.(2022•鼓楼区校级开学)计算:
(1)()2+﹣﹣82;
(2)﹣(﹣1)2﹣(π﹣1)0+2﹣1.
解:(1)原式=9﹣4﹣17﹣64
=9﹣85
=﹣76;
(2)原式=2﹣1﹣1+
=.
15.(2022•惠城区校级开学)阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它有如下特点:
①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1.(实数与实数合并,虚数与虚数合并,实数与虚数无法合并)
(1)填空:i3= ﹣i ,i4= 1 ;
(2)求i+i2+i3+i4;
(3)已知a﹣b=1,(a+i)(b+i)=1+3i,求a2﹣b2(i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022)的值.
解:(1)根据题中的新定义得:i3=﹣i,i4=1;
故答案为:﹣i,1;
(2)原式=i﹣1﹣i+1=0;
(3)已知等式整理得:ab﹣1+(a+b)i=1+3i,即a+b=3,
联立得:,
解得:,
则原式=4﹣i(i+i2+i3+...+i2020+i2021)
=4﹣i[(i﹣1﹣i+1)+(i﹣1﹣i+1)+...(i﹣1﹣i+1)+i]
=4+1
=5.
16.(2022•普洱二模)计算:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+.
解:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+
=1﹣7+2×1+3
=1﹣7+2+3
=﹣1.
17.(2016秋•苏州期中)计算下列各题.
(1)+﹣;
(2)﹣16﹣4;
(3)|﹣|﹣+;
(4)×﹣2(﹣π)0.
解:(1)原式=0.4+0.7﹣0.9
=0.2;
(2)原式=﹣16×0.5﹣4×(﹣4)
=﹣8+16
=8;
(3)原式=﹣+
=;
(4)原式=0.3×10﹣2
=3﹣2
=1.
18.(2022•南京模拟)若a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,试计算(a﹣c)2013+b2014的值.
解:∵a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,
∴a=2,b=﹣1,c=3,
则(a﹣c)2013+b2014=﹣12013+(﹣1)2014=0.
19.(2019春•洛阳期中)先阅读第(1)题的解法,再解答第(2)题.
(1)已知a、b是有理数,并且满足等式5﹣a=2b+﹣a,求a、b的值.
解:因为5﹣a=2b+﹣a.
即5﹣a=(2b﹣a)+.
所以2b﹣a=5,﹣a=.
解得:a=﹣,b=.
(2)设x、y是有理数,并且满足x2+y+2y=﹣4+17,求x+y的值.
解:因为x2+y+2y=﹣4+17,
所以(x2+2y)+y=17﹣4,
所以x2+2y=17,y=﹣4,
解得x=5,y=﹣4或x=﹣5,y=﹣4.
所以x+y=1或x+y=﹣9.
20.(2017秋•龙泉驿区期中)小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念:
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈 n次方”.
小明探究出:初步探究
(1)直接写出计算结果:2③= ,(﹣)⑤= ﹣8 ;()⑥= .
他们一起深入思考得出:
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(2)小华探究出:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣3)④= ;5⑥= ;(﹣)⑩= 28 .
(3)请你想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ;
(4)请你算一算:24÷23﹣(﹣8)×2⑥+()④.
解:(1)由题可得:2③=,(﹣)⑤=﹣8,()⑥=,
故答案为:,﹣8,;
(2)(1)(﹣3)④=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)=1×()2==;
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×()4=;
(﹣)⑩=(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)
=1×2×2×2×2×2×2×2×2
=28;
故答案为:,,28;
(3)aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷an﹣2=;
故答案为:;
(4)24÷23﹣(﹣8)×2⑥+④
=24÷8﹣(﹣8)×+
=3++
=
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