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    八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题08实数的运算综合题(原卷版+解析)

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    初中数学北师大版八年级上册6 实数练习

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    这是一份初中数学北师大版八年级上册6 实数练习,共15页。试卷主要包含了﹣1的结果为    等内容,欢迎下载使用。
    知识点01:实数大小的比较
    对于数轴上的任意两个点, 总是比 大.
    大于0, 小于0,两个负数,绝对值大的 .
    知识点02:实数的运算
    有理数中关于 的意义同样适合于实数.
    当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行 运算,任意一个实数可以进行 运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
    易错题专训
    一.选择题
    1.(2022•鼓楼区校级开学)已知a1为实数,规定运算:a2=1﹣,a3=1﹣,a4=1﹣,a5=1﹣,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2024的值等于( )
    A.﹣B.C.﹣D.
    2.(2023秋•自贡期末)设a,b是实数,定义一种新运算:a*b=(b﹣a)2;下面有四个推断:①a*b=b*a;②(﹣a)*b=a*(﹣b);③(a*b)2=b2*a2;④a*(b+a)=a*b+a*c.其中所有正确推断的序号是( )
    A.②③④B.①②④C.①③D.①②
    3.(2023秋•于洪区期末)下列计算正确的是( )
    A.=±4B.=﹣3C.3+4=7D.﹣=
    4.(2023秋•青神县期末)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于( )
    A.B.C.D.
    5.(2023秋•济宁期末)对于实数a、b,定义min{a,b}的含义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a>b时,min{a,b}=b,例如:min{1,﹣2}=﹣2.已知min{,a}=a,min{,b}=,且a和b为两个连续正整数,则2a﹣b的值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    6.(2023秋•通川区校级月考)下列各式中正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    二.填空题
    7.(2023秋•平山县期末)计算:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1的结果为 .
    8.(2023秋•南县期末)如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等,则图中a、b、c三个实数的积为 .
    9.(2023秋•沙坪坝区校级期末)实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:= .
    10.(2023秋•平昌县期末)阅读理解:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,i叫做虚数单位,我们把形如a+bi(a、b为实数,且b≠0)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
    如:(4+i)+(6﹣2i)=(4+6)+(1﹣2)i=10﹣i;
    (2﹣i)(3+i)=2×3+2i﹣3i﹣i2=6﹣i﹣(﹣1)=7﹣i.
    根据以上信息,计算(3+i)(1﹣3i)= .
    11.(2022•成都模拟)对于任意的正数a,b,定义运算“*”如下:,计算(3*2)+(48*50)的结果为 .
    12.(2022•南谯区开学)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于 .
    13.(2023•商丘四模)计算:﹣|2﹣|=
    三.解答题
    14.(2022•鼓楼区校级开学)计算:
    (1)()2+﹣﹣82;
    (2)﹣(﹣1)2﹣(π﹣1)0+2﹣1.
    15.(2022•惠城区校级开学)阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它有如下特点:
    ①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1.(实数与实数合并,虚数与虚数合并,实数与虚数无法合并)
    (1)填空:i3= ,i4= ;
    (2)求i+i2+i3+i4;
    (3)已知a﹣b=1,(a+i)(b+i)=1+3i,求a2﹣b2(i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022)的值.
    16.(2022•普洱二模)计算:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+.
    17.(2016秋•苏州期中)计算下列各题.
    (1)+﹣; (2)﹣16﹣4;
    (3)|﹣|﹣+; (4)×﹣2(﹣π)0.
    18.(2022•南京模拟)若a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,试计算(a﹣c)2013+b2014的值.
    19.(2019春•洛阳期中)先阅读第(1)题的解法,再解答第(2)题.
    (1)已知a、b是有理数,并且满足等式5﹣a=2b+﹣a,求a、b的值.
    解:因为5﹣a=2b+﹣a.
    即5﹣a=(2b﹣a)+.
    所以2b﹣a=5,﹣a=.
    解得:a=﹣,b=.
    (2)设x、y是有理数,并且满足x2+y+2y=﹣4+17,求x+y的值.
    20.(2017秋•龙泉驿区期中)小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念:
    规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈 n次方”.
    小明探究出:初步探究
    (1)直接写出计算结果:2③= ,(﹣)⑤= ;()⑥= .
    他们一起深入思考得出:
    我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
    (2)小华探究出:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣3)④= ;5⑥= ;(﹣)⑩= .
    (3)请你想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ;
    (4)请你算一算:24÷23﹣(﹣8)×2⑥+()④.
    专题08 实数的运算(综合题)
    易错点拨
    知识点01:实数大小的比较
    对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
    正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.
    知识点02:实数的运算
    有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
    当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
    易错题专训
    一.选择题
    1.(2022•鼓楼区校级开学)已知a1为实数,规定运算:a2=1﹣,a3=1﹣,a4=1﹣,a5=1﹣,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2024的值等于( )
    A.﹣B.C.﹣D.
    解:∵a1=3,
    ∴a2=1﹣=,
    a3=1﹣=﹣,
    a4=1﹣=3,
    a5=1﹣=,…
    ∴an以三个数为一组,不断循环,
    ∵2024÷3=,
    ∴a2024=a2=,
    故选:D.
    2.(2023秋•自贡期末)设a,b是实数,定义一种新运算:a*b=(b﹣a)2;下面有四个推断:①a*b=b*a;②(﹣a)*b=a*(﹣b);③(a*b)2=b2*a2;④a*(b+a)=a*b+a*c.其中所有正确推断的序号是( )
    A.②③④B.①②④C.①③D.①②
    解:根据题中的新定义得:
    ①∵a*b=(b﹣a)2,b*a=(a﹣b)2,
    ∴a*b=b*a,正确;
    ②∵(﹣a)*b=(b+a)2,
    a*(﹣b)=(﹣b﹣a)2=(b+a)2,
    ∴(﹣a)*b=a*(﹣b),正确;
    ③∵(a*b)2=(b﹣a)4,
    b2*a2=(a2﹣b2)2,
    ∴(a*b)2≠b2*a2,错误;
    ④∵a*(b+a)=(b+a﹣a)2=b2,
    a*b+a*c=(b﹣a)2+(c﹣a)2,
    ∴a*(b+a)≠a*b+a*c,错误.
    故选:C.
    3.(2023秋•于洪区期末)下列计算正确的是( )
    A.=±4B.=﹣3C.3+4=7D.﹣=
    解:A.=4,故A不符合题意;
    B.,故B不符合题意;
    C.3与不能合并,故C不符合题意;
    D.,故D符合题意;
    故选:D.
    4.(2023秋•青神县期末)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,an=1﹣.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于( )
    A.B.C.D.
    解:a1=3,
    a2=1﹣=1﹣=,
    a3=1﹣=1﹣=,
    a4=1﹣=1﹣=3,
    ...
    ∴2022÷3=674,
    ∴a2022=,
    故选:C.
    5.(2023秋•济宁期末)对于实数a、b,定义min{a,b}的含义为:当a<b时,min{a,b}=a;当a>b时,min{a,b}=b,例如:min{1,﹣2}=﹣2.已知min{,a}=a,min{,b}=,且a和b为两个连续正整数,则2a﹣b的值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    解:∵min{,a}=a,min{,b}=.
    ∴a<,b>.
    ∵a,b是两个连续的正整数.
    ∴a=5,b=6.
    ∴2a﹣b=2×5﹣6=4.
    故选:D.
    6.(2023秋•通川区校级月考)下列各式中正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    解:∵=8,
    ∴选项A不符合题意;
    ∵,
    ∴选项B不符合题意;
    ∵,
    ∴选项C符合题意;
    ∵,
    ∴选项D不符合题意;
    故选:C.
    二.填空题
    7.(2023秋•平山县期末)计算:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1的结果为 7 .
    解:(﹣8)2022×0.1252021+(π﹣3.14)0﹣()﹣1
    =(﹣8)×[(﹣8)2021×0.1252021]+1﹣2
    =(﹣8)×(﹣8×0.125)2021+1﹣2
    =﹣8×(﹣1)2021+1﹣2
    =﹣8×(﹣1)+1﹣2
    =8+1﹣2
    =7,
    故答案为:7.
    8.(2023秋•南县期末)如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等,则图中a、b、c三个实数的积为 18 .
    解:2×3×=6,
    a=6÷1÷6=,
    b=6÷2÷1=3,
    c=6÷÷6=,
    abc=×3×=18,
    故答案为:18.
    9.(2023秋•沙坪坝区校级期末)实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:= ﹣a+1 .
    解:根据数轴上点的位置得:a<0<b,
    ∴a﹣b<0,
    则原式=|a﹣b|﹣(b﹣1)
    =b﹣a﹣b+1
    =﹣a+1.
    故答案为:﹣a+1.
    10.(2023秋•平昌县期末)阅读理解:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,i叫做虚数单位,我们把形如a+bi(a、b为实数,且b≠0)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
    如:(4+i)+(6﹣2i)=(4+6)+(1﹣2)i=10﹣i;
    (2﹣i)(3+i)=2×3+2i﹣3i﹣i2=6﹣i﹣(﹣1)=7﹣i.
    根据以上信息,计算(3+i)(1﹣3i)= 6﹣8i .
    解:(3+i)(1﹣3i)
    =3×1﹣3×3i+i﹣3i2
    =3﹣9i+i﹣3i2
    =3﹣8i﹣3×(﹣1)
    =3﹣8i+3
    =6﹣8i.
    故答案为:6﹣8i.
    11.(2022•成都模拟)对于任意的正数a,b,定义运算“*”如下:,计算(3*2)+(48*50)的结果为 .
    解:(3*2)+(48*50)
    =+﹣
    =+5﹣4
    =4﹣3,
    故答案为:4﹣3.
    12.(2022•南谯区开学)已知a1为实数,规定运算:,,,,…,.按上述方法计算:当a1=3时,a2022的值等于 ﹣ .
    解:a1=3,
    a2=1﹣=,
    a3=1﹣=﹣,
    a4=1﹣(﹣2)=3,
    ∴an以三个数为一组,不断循环,
    ∵2022÷3=674,
    ∴a2022=a3=﹣,
    故答案为:﹣.
    13.(2023•商丘四模)计算:﹣|2﹣|=
    解:原式=2﹣2+=,
    故答案为:
    三.解答题
    14.(2022•鼓楼区校级开学)计算:
    (1)()2+﹣﹣82;
    (2)﹣(﹣1)2﹣(π﹣1)0+2﹣1.
    解:(1)原式=9﹣4﹣17﹣64
    =9﹣85
    =﹣76;
    (2)原式=2﹣1﹣1+
    =.
    15.(2022•惠城区校级开学)阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它有如下特点:
    ①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1.(实数与实数合并,虚数与虚数合并,实数与虚数无法合并)
    (1)填空:i3= ﹣i ,i4= 1 ;
    (2)求i+i2+i3+i4;
    (3)已知a﹣b=1,(a+i)(b+i)=1+3i,求a2﹣b2(i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022)的值.
    解:(1)根据题中的新定义得:i3=﹣i,i4=1;
    故答案为:﹣i,1;
    (2)原式=i﹣1﹣i+1=0;
    (3)已知等式整理得:ab﹣1+(a+b)i=1+3i,即a+b=3,
    联立得:,
    解得:,
    则原式=4﹣i(i+i2+i3+...+i2020+i2021)
    =4﹣i[(i﹣1﹣i+1)+(i﹣1﹣i+1)+...(i﹣1﹣i+1)+i]
    =4+1
    =5.
    16.(2022•普洱二模)计算:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+.
    解:(﹣1)2﹣|﹣7|+×(2016﹣π)0+
    =1﹣7+2×1+3
    =1﹣7+2+3
    =﹣1.
    17.(2016秋•苏州期中)计算下列各题.
    (1)+﹣;
    (2)﹣16﹣4;
    (3)|﹣|﹣+;
    (4)×﹣2(﹣π)0.
    解:(1)原式=0.4+0.7﹣0.9
    =0.2;
    (2)原式=﹣16×0.5﹣4×(﹣4)
    =﹣8+16
    =8;
    (3)原式=﹣+
    =;
    (4)原式=0.3×10﹣2
    =3﹣2
    =1.
    18.(2022•南京模拟)若a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,试计算(a﹣c)2013+b2014的值.
    解:∵a、b、c是有理数,且满足等式a+b+c=2﹣+3,
    ∴a=2,b=﹣1,c=3,
    则(a﹣c)2013+b2014=﹣12013+(﹣1)2014=0.
    19.(2019春•洛阳期中)先阅读第(1)题的解法,再解答第(2)题.
    (1)已知a、b是有理数,并且满足等式5﹣a=2b+﹣a,求a、b的值.
    解:因为5﹣a=2b+﹣a.
    即5﹣a=(2b﹣a)+.
    所以2b﹣a=5,﹣a=.
    解得:a=﹣,b=.
    (2)设x、y是有理数,并且满足x2+y+2y=﹣4+17,求x+y的值.
    解:因为x2+y+2y=﹣4+17,
    所以(x2+2y)+y=17﹣4,
    所以x2+2y=17,y=﹣4,
    解得x=5,y=﹣4或x=﹣5,y=﹣4.
    所以x+y=1或x+y=﹣9.
    20.(2017秋•龙泉驿区期中)小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念:
    规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈 n次方”.
    小明探究出:初步探究
    (1)直接写出计算结果:2③= ,(﹣)⑤= ﹣8 ;()⑥= .
    他们一起深入思考得出:
    我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
    (2)小华探究出:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣3)④= ;5⑥= ;(﹣)⑩= 28 .
    (3)请你想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ;
    (4)请你算一算:24÷23﹣(﹣8)×2⑥+()④.
    解:(1)由题可得:2③=,(﹣)⑤=﹣8,()⑥=,
    故答案为:,﹣8,;
    (2)(1)(﹣3)④=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)=1×()2==;
    5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×()4=;
    (﹣)⑩=(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)÷(﹣)
    =1×2×2×2×2×2×2×2×2
    =28;
    故答案为:,,28;
    (3)aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷an﹣2=;
    故答案为:;
    (4)24÷23﹣(﹣8)×2⑥+④
    =24÷8﹣(﹣8)×+
    =3++

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