北师大版7 二次根式当堂检测题

这是一份北师大版7 二次根式当堂检测题，共17页。试卷主要包含了 乘除法，加减法等内容，欢迎下载使用。
知识点：二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
细节剖析：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比 相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数一定是 （在分母上时只能为正数）.
如.
2.加减法
将二次根式化为 后，将 的系数相加减， 和 不变，
即
细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成 ，再找出 ，最后 .如.
易错题专训
一．选择题
1．（2023秋•晋安区校级期末）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋•西安期末）下列等式成立的是（ ）
A．2+2＝2B．÷＝2C．＝3D．×＝
3．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．＝B．＝﹣2C．＝D．×＝
4．（2023秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3
C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝
5．（2019秋•沈阳月考）下列运算正确的是（ ）
A．B．＝5C．＝3D．
6．（2018秋•历下区期末）下列算式中，正确的是（ ）
A．3﹣＝3B．＝
C．D．＝4
7．（2023春•嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．3+2＝5B．﹣＝3C．（2）2＝12D．＝±3
二．填空题
8．（2023秋•岳麓区校级期末）观察下列等式：
①，
②，
③，
……
请你根据以上规律，直接写出第⑤个等式 ．
9．（2023秋•昌平区期末）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”．
（1）1﹣π与 互为“匀称数”；
（2）已知，那么m与 互为“匀称数”．
10．（2023春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝ ．
11．（2019•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．
12．（2018秋•武侯区期中）观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题：
＝＝﹣1；
＝＝；
＝＝2﹣
（1）在计算结果中找出规律 ＝ （n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知﹣ ﹣（填“＞”、“＜”或“＝”）；
13．（2023春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．
14．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝ ，÷（2﹣）＝ ．
15．（2018•邵阳县模拟）计算：﹣2（+2）2014（﹣2）2015＝ ．
三．解答题
16．（2022•沙坪坝区校级开学）计算：
（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0； （2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；
（3）（﹣）×； （4）2（﹣）﹣（2﹣4）．
17．（2022春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程：
a1＝，
a2＝，
a3＝，
……
（1）按照此规律，写出第五个等式a5＝ ；
（2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn；
（3）在（2）的条件下，若x＝S2+a1，试求代数式x2+2x的值．
18．（2023秋•丹江口市期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第4个等式：a4＝ ，并通过计算验证结果是否正确；
（2）第n个等式：an＝ ，并通过计算证明结果；
（3）计算a1+a2+a3+…+a99．
19．（2022春•南昌期中）我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式“．因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉．例如：＝＝＝＝2+．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+的值．
20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）试着把7+4化成一个完全平方式．
（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
专题09 二次根式的混合运算（综合题）
易错点拨
知识点：二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
细节剖析：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
易错题专训
一．选择题
1．（2023秋•晋安区校级期末）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：A.÷＝3，故此选项不合题意；
B．（4）2＝32，故此选项不合题意；，
C.＝4，故此选项符合题意；
D.2+2，无法合并，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2023秋•西安期末）下列等式成立的是（ ）
A．2+2＝2B．÷＝2C．＝3D．×＝
解：A、2与2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝×＝3，故此选项不符合题意；
C、原式＝3，故此选项符合题意；
D、原式＝＝，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．＝B．＝﹣2C．＝D．×＝
解：﹣＝2﹣＝，故选项A正确，符合题意；
＝2，故选项B错误，不符合题意；
÷＝，故选项C错误，不符合题意；
＝，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
4．（2023秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3
C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．3﹣＝2，此选项计算错误；
C．＝＝，此选项计算错误；
D．＝＝，此选项计算正确；
故选：D．
5．（2019秋•沈阳月考）下列运算正确的是（ ）
A．B．＝5C．＝3D．
解：A.＝6，符合题意；
B.不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C.3+＝4，；
D.2×＝4，不符合题意．
故选：A．
6．（2018秋•历下区期末）下列算式中，正确的是（ ）
A．3﹣＝3B．＝
C．D．＝4
解：A．3﹣＝2，此选项错误；
B．+＝2+3＝5，此选项错误；
C．，此选项正确；
D．＝＝2，此选项错误；
故选：C．
7．（2023春•嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．3+2＝5B．﹣＝3C．（2）2＝12D．＝±3
解：A.≠，无法进行运算，故A不符合题意．
B.≠3，故B不符合题意．
C.，故C符合题意．
D.，故C不符合题意．
故选：C．
二．填空题
8．（2023秋•岳麓区校级期末）观察下列等式：
①，
②，
③，
……
请你根据以上规律，直接写出第⑤个等式 11﹣2＝（﹣）2 ．
解：①原式＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（﹣1）2，
②原式＝3﹣2+2＝（）2﹣2+（）2＝（﹣）2，
③原式＝4﹣2+3＝（）2﹣2+（）2＝（﹣）2，
，
根据以上规律，第⑤个等式为：
6﹣2+5＝（）2﹣2+（）2＝（﹣）2，
即11﹣2＝（﹣）2，
故答案为：11﹣2＝（﹣）2．
9．（2023秋•昌平区期末）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”．
（1）1﹣π与 π 互为“匀称数”；
（2）已知，那么m与 ﹣1 互为“匀称数”．
解：（1）∵如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”，
∴设1﹣π与x互为“匀称数”，
则1﹣π+x＝1，
则x＝π，
故1﹣π与π互为“匀称数”；
故答案为：π；
（2）∵，
∴m﹣1＝﹣，
则m﹣1＝﹣（﹣1），
解得：m＝﹣+2，
∵﹣+2+（﹣1）＝1，
∴m与﹣1互为“匀称数”．
故答案为：﹣1．
10．（2023春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝ 2 ．
解：原式＝5﹣3＝2，
故答案为2．
11．（2019•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 2 ．
解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
12．（2018秋•武侯区期中）观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题：
＝＝﹣1；
＝＝；
＝＝2﹣
（1）在计算结果中找出规律 ＝ ﹣ （n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知﹣ ＞ ﹣（填“＞”、“＜”或“＝”）；
解：（1）＝＝，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
故答案为：＞．
13．（2023春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 或 ．
解：∵是正整数，
∴a是含有﹣2的代数式；
∵是整数，
∴化简后为含有2的代数式，
∴a＝或．
故答案为：或．
14．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝ 4 ，÷（2﹣）＝ +1 ．
解：6×＝2＝4，
÷（2﹣）
＝
＝
＝
＝+1，
故答案为：4，+1．
15．（2018•邵阳县模拟）计算：﹣2（+2）2014（﹣2）2015＝ 4﹣ ．
解：﹣2（+2）2014（﹣2）2015，
＝﹣2×[（+2）2014（﹣2）2014（﹣2）]，
＝﹣2[（﹣1）2014（﹣2）]，
＝﹣2+4，
＝4﹣；
故答案为：4﹣．
三．解答题
16．（2022•沙坪坝区校级开学）计算：
（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0；
（2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2；
（3）（﹣）×；
（4）2（﹣）﹣（2﹣4）．
解：（1）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0
＝4﹣（﹣1）+1
＝4+1+1
＝6；
（2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2
＝（a8+9a8）÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6；
（3）（﹣）×
＝（3﹣）×2
＝2×2
＝4×6
＝24；
（4）2（﹣）﹣（2﹣4）
＝2﹣3﹣+2
＝4﹣4．
17．（2022春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程：
a1＝，
a2＝，
a3＝，
……
（1）按照此规律，写出第五个等式a5＝ ﹣ ；
（2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn；
（3）在（2）的条件下，若x＝S2+a1，试求代数式x2+2x的值．
解：（1）a5＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：an＝＝﹣，
∴Sn＝a1+a2+a3+………+an＝1﹣+﹣+﹣+………+﹣＝1﹣；
（3）∵S2＝1﹣，a1＝1﹣，
∴x＝S2+a1＝﹣+﹣1＝﹣1，
∴x2+2x
＝（x+1）2﹣1
＝（﹣1+1）2﹣1
＝6﹣1
＝5．
18．（2023秋•丹江口市期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第4个等式：a4＝ ＝﹣2 ，并通过计算验证结果是否正确；
（2）第n个等式：an＝ ＝ ，并通过计算证明结果；
（3）计算a1+a2+a3+…+a99．
解：（1）a4＝＝﹣2，
＝
＝
＝，
故答案为：＝﹣2；
（2）由题意可得，
an＝＝，
＝
＝
＝，
故答案为：＝；
（3）a1+a2+a3+…+a99
＝﹣1+++…+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
19．（2022春•南昌期中）我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式“．因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉．例如：＝＝＝＝2+．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为 3+2 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+的值．
解：（1）＝＝＝3+2，
故答案为：3+2．
（2）∵点B关于点A的对称点为C，
∴x＝2﹣，
∴x+＝2﹣+＝2﹣+＝2﹣+＝2﹣+2+＝4．
20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）试着把7+4化成一个完全平方式．
（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．
解：（1）a+b＝（m+n）2，
∵a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）7+4＝（2+）2；
（3）∵a是216的立方根，b是16的平方根，
∴a＝6，b＝±4，
∴＝＝＝2±．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：