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    八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题01勾股定理的证明综合题(原卷版+解析)

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    八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题01勾股定理的证明综合题(原卷版+解析)

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    这是一份八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题01勾股定理的证明综合题(原卷版+解析),共24页。
    专题01 勾股定理的证明(综合题)易错点拨知识点:勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.    图(1)中,所以.        方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.       图(2)中,所以.      方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.            ,所以.易错题专训一.选择题1.(2022春•龙凤区期中)如图,在四边形ABDE中,AB∥DE,AB⊥BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论:①△ABC≌△CDE;②∠ACE=90°;③四边形ABDE的面积是(a+b)2;④(a+b)2﹣c2=2×ab;⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个数是(  )A.5 B.4 C.3 D.22.(2022秋•杏花岭区校级月考)下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(  )A. B. C. D.3.(2022春•威县期末)课堂上,王老师要求学生设计图形来证明勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形,能证明勾股定理的是(  )A.①行,②不行 B.①不行,②行 C.①,②都行 D.①,②都不行4.(2022•大观区校级开学)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的一条直角边长为5,大正方形的边长为13,则中间小正方形的面积是(  )A.144 B.49 C.64 D.255.(2022春•交城县期中)勾股定理是一个古老的数学定理,它有很多种证明方法,如图所示四幅几何图形中,不能用于证明勾股定理的是(  )A. B. C. D.6.(2022春•邕宁区期末)下面图形能够验证勾股定理的有(  )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.(2022•邯郸三模)在证明勾股定理时,甲、乙两位同学分别设计了方案:甲:如图,用四个全等的直角三角形拼成,其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形,通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明;乙:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C、D重合,通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明.对于甲、乙两种方案,下列判断正确的是(  )A.甲、乙均对 B.甲对、乙不对 C.甲不对,乙对 D.甲、乙均不对8.(2023秋•无锡期末)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=18,则S2的值是(  )A. B.6 C.5 D.9.(2020春•海陵区期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=6,大正方形的面积为16,则小正方形的面积为(  )A.8 B.6 C.4 D.3二.填空题10.(2023秋•漳州期末)如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的.已知四边形ABCD的面积为64,四边形EFGH的面积为9,若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y);下列四个结论:①x2+y2=64;②x﹣y=3;③x+y=;④2xy+9=64.其中正确的是    .(写出所有正确结论的序号)11.(2023秋•皇姑区期末)把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形,则图2中小正方形ABCD的面积为   .12.(2023秋•迎泽区校级月考)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成.如图,若直角三角形的短直角边长为2,小正方形的面积为4,则大正方形边长为    .13.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图,这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形.上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法.既可以表示为   ,又可以表示为   .对比两种表示方法可得   .化简,可得a2+b2=c2.他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话.三.解答题14.(2023秋•东坡区期末)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明.将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.15.(2023春•利辛县期中)如图,小明用4个图1中的矩形组成图2,其中四边形ABCD,EFGH,MNPQ都是正方形,证明:a2+b2=c2.16.(2023春•滑县期末)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.请你开动脑筋,用它们拼出正方形图案,要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.(1)请你画出拼成的这个图形的示意图;(2)利用(1)中画出的图形证明勾股定理.17.(2023秋•汝州市期中)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形,中间也是一个正方形.它是美丽的弦图.其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c.(1)结合图①,求证:a2+b2=c2;(2)如图②,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24,OH=3,求该图形的面积;(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=18,则S2=   .18.(2022春•大观区校级期末)如图,对任意符合条件的直角三角形BAC,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法.19.(2023秋•武汉月考)2000多年来,人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣,古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探究它,研究它的证明,新的证法不断出现.下面给出几种探究方法(由若干个全等的直角三角形拼成如图图形),试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系(1)三边a、b、c之间的数量关系为   ;(2)理由:   .20.(2018•保定二模)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b﹣a)∴b2+ab=c2+a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2. 专题01 勾股定理的证明(综合题)易错点拨知识点:勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.    图(1)中,所以.        方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.       图(2)中,所以.      方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.            ,所以.易错题专训一.选择题1.(2022春•龙凤区期中)如图,在四边形ABDE中,AB∥DE,AB⊥BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论:①△ABC≌△CDE;②∠ACE=90°;③四边形ABDE的面积是(a+b)2;④(a+b)2﹣c2=2×ab;⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个数是(  )A.5 B.4 C.3 D.2解:∵AB∥DE,AB⊥BD,∴DE⊥BD,∴∠B=∠D=90°.在△ABC和△CDE中,,∴△ABC≌△CDE(SAS),∴∠A=∠DCE,∠ACB=∠E.∵∠A+∠ACB=90°,∴∠DCE+∠ACB=90°.∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°,∴∠ACE=90°,故①②正确;∵AB∥DE,AB⊥BD,∴四边形ABDE的面积是;故③错误;∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积,∴,∴a2+b2=c2,(a+b)2≠c2,∵梯形ABDE的面积−直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积,∴12(a+b)2−12c2=2×12ab,∴a2+b2=c2,所以勾股定理成立,④正确故①②④⑤都正确,③错误.故选:B.2.(2022秋•杏花岭区校级月考)下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(  )A. B. C. D.解:选项A中:(a+b)(a+b)×=ab×2+c2,化简得:a2+b2=c2,故选项A不符合题意;选项B中:(a+b)2=ab×4+c2,化简得:a2+b2=c2,故选项B不符合题意;选项C中:c=ab×4+(b﹣a)2,化简得:a2+b2=c2,故选项C不符合题意;选项D中:(a+b)2=ab×2+a2+b2,即(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D符合题意;故选:D.3.(2022春•威县期末)课堂上,王老师要求学生设计图形来证明勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形,能证明勾股定理的是(  )A.①行,②不行 B.①不行,②行 C.①,②都行 D.①,②都不行解:由图①可得,(a+b)2=ab×4+c2,化简,得:a2+b2=c2,故图①可以证明勾股定理;根据图②中的条件,无法证明勾股定理;故选:A.4.(2022•大观区校级开学)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的一条直角边长为5,大正方形的边长为13,则中间小正方形的面积是(  )A.144 B.49 C.64 D.25解:由题意可得:小正方形的边长=﹣5=7,∴小正方形的面积为7×7=49,故选:B.5.(2022春•交城县期中)勾股定理是一个古老的数学定理,它有很多种证明方法,如图所示四幅几何图形中,不能用于证明勾股定理的是(  )A. B. C. D.解:A.根据图形可知:=2ab+b2﹣2ab+a2=a2+b2,∵,∴a2+b2=c2;故A选项不符合题意;B.不能用于证明勾股定理,故B选项符合题意;C.根据图形可知:S大正方形=4×ab+c2=2ab+c2,S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2,∴2ab+c2=a2+2ab+b2,∴a2+b2=c2,故C选项不符合题意;D.根据图形可知:S大正方形=c2,S大正方形=(b+b+a)×b+(a+b+a)×a﹣2×ab=a2+b2,∴a2+b2=c2,故D选项不符合题意,故选:B.6.(2022春•邕宁区期末)下面图形能够验证勾股定理的有(  )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解:第一个图形:中间小正方形的面积c2=(a+b)2﹣4×ab;化简得c2=a2+b2,可以证明勾股定理.第二个图形:中间小正方形的面积(b﹣a)2=c2﹣4×ab;化简得a2+b2=c2,可以证明勾股定理.第三个图形:梯形的面积=(a+b)(a+b)=2××ab+c2,化简得a2+b2=c2;可以证明勾股定理.第四个图形:由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等,则正方形的面积=两个直角三角形的面积的和,即(b﹣)(a+)=ab+cc,化简得a2+b2=c2;可以证明勾股定理,∴能够验证勾股定理的有4个.故选:A.7.(2022•邯郸三模)在证明勾股定理时,甲、乙两位同学分别设计了方案:甲:如图,用四个全等的直角三角形拼成,其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形,通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明;乙:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C、D重合,通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明.对于甲、乙两种方案,下列判断正确的是(  )A.甲、乙均对 B.甲对、乙不对 C.甲不对,乙对 D.甲、乙均不对甲:证明:Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=b,BC=a,AB=c.由图可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG∵S正方形ABDE=c2,S△ABC=ab,正方形FCHG边长为a﹣b,∴c2=4×ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2即c2=a2+b2.故甲对;乙:证明:∵四边形ACBE的面积=S△ACB+S△ABE=AB•DG+AB•EG=AB•(DG+EG)=AB•DE=c2,四边形ACBE的面积=S四边形ACFE+S△EFB=×(AC+EF)•CF+BF•EF=(b+a)b+(a﹣b)•a=b2+ab+a2﹣ab=a2+b2,∴c2=a2+b2,即a2+b2=c2.故乙对,故选:A.8.(2023秋•无锡期末)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=18,则S2的值是(  )A. B.6 C.5 D.解:设每个直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,∵S1+S2+S3=18,∴(a+b)2+(a2+b2)+(a﹣b)2=18,∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2=18,∴3(a2+b2)=18,∴a2+b2=6,∴S2=a2+b2=6,故选:B.9.(2020春•海陵区期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=6,大正方形的面积为16,则小正方形的面积为(  )A.8 B.6 C.4 D.3解:由题意可得,,∴小正方形的面积=(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=16﹣12=4,故选:C.二.填空题10.(2023秋•漳州期末)如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的.已知四边形ABCD的面积为64,四边形EFGH的面积为9,若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y);下列四个结论:①x2+y2=64;②x﹣y=3;③x+y=;④2xy+9=64.其中正确的是  ①②③④ .(写出所有正确结论的序号)解:∵△ABC为直角三角形,∴根据勾股定理:x2+y2=AB2=64,故①正确;由图可知,x﹣y=CE==3,故本②正确;由图可知,四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积,列出等式为4××xy+9=64,即2xy+9=64;故本④正确;由2xy+9=64可得2xy=55①,又∵x2+y2=64②,∴①+②得,x2+2xy+y2=64+55,整理得,(x+y)2=119,x+y=,故③正确.∴正确结论有①②③④.故答案为:①②③④.11.(2023秋•皇姑区期末)把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形,则图2中小正方形ABCD的面积为 4 .解:6﹣4=2,2×2=4.故图2中小正方形ABCD的面积为4.故答案为:4.12.(2023秋•迎泽区校级月考)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成.如图,若直角三角形的短直角边长为2,小正方形的面积为4,则大正方形边长为  2 .解:∵小正方形的面积为4,∴小正方形的边长为2,∴直角三角形的长直角边为:2+2=4,∴斜边==,即大正方形的边长为,故答案为:.13.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图,这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形.上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法.既可以表示为 (a+b)•(a+b) ,又可以表示为 (ab×2+c2) .对比两种表示方法可得 (a+b)•(a+b)=ab×2+c2 .化简,可得a2+b2=c2.他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话.解:由题可知梯形面积为(a+b)(a+b);此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和,即(ab×2+c2).因此(a+b)(a+b)=(ab×2+c2)即a2+b2=c2.三.解答题14.(2023秋•东坡区期末)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明.将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.证明:∵两个全等的直角三角形如图摆放,∴∠EBA=∠CED,∵∠EBA+∠BEA=90°,∴∠BEA+∠CED=90°,∴∠BEC=90°,∴△BCE是直角三角形,用两种方法求梯形的面积:S梯形ABCD=2×ab+c2,S梯形ABCD=(a+b)2,∴2×ab+c2=(a+b)2,化简得a2+b2=c2.15.(2023春•利辛县期中)如图,小明用4个图1中的矩形组成图2,其中四边形ABCD,EFGH,MNPQ都是正方形,证明:a2+b2=c2.证明:∵四边形ABCD,EFGH,MNPQ都是正方形,∴S正方形ABCD=(a+b)2,S正方形EFGH=c2,S△BEF=×ab,∵S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△BEF,∴(a+b)2=c2+4××ab,∴a2+2ab+b2=c2+2ab,∴a2+b2=c2.16.(2023春•滑县期末)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.请你开动脑筋,用它们拼出正方形图案,要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.(1)请你画出拼成的这个图形的示意图;(2)利用(1)中画出的图形证明勾股定理.解:(1)(答案不唯一)如图;(2)证明:∵大正方形的面积可表示为(a+b)2,大正方形的面积也可表示为:c2+4×ab,∴(a+b)2=c2+4×ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,∴a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.17.(2023秋•汝州市期中)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形,中间也是一个正方形.它是美丽的弦图.其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c.(1)结合图①,求证:a2+b2=c2;(2)如图②,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24,OH=3,求该图形的面积;(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=18,则S2= 6 .证明:(1),,即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab,∴a2+b2=c2;(2)∵AB+BC=24÷4=6,设AH=BC=x,则AB=6﹣x,在Rt△HOG中,由勾股定理得,OH2+OG2=GH2,即32+(3+x)2=(6﹣x)2,解得:x=1,∴;(3)设正方形EFGH面积为x,设其他八个全等的三角形面积为y,∵S1+S2+S3=18,∴S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=18,∴x+4y=6,∴S2=6.故答案为:6.18.(2022春•大观区校级期末)如图,对任意符合条件的直角三角形BAC,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法.解:由图可得:正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE,∴b2=c2+,整理得:a2+b2=c2.19.(2023秋•武汉月考)2000多年来,人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣,古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探究它,研究它的证明,新的证法不断出现.下面给出几种探究方法(由若干个全等的直角三角形拼成如图图形),试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系(1)三边a、b、c之间的数量关系为 a2+b2=c2 ;(2)理由: (a+b)2=4×ab+c2 .解:(1)由勾股定理得:a2+b2=c2.故答案为:a2+b2=c2.(2)选择图1.∵大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积,∴(a+b)2=4×ab+c2,即a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2.故答案为:(a+b)2=4×ab+c2.20.(2018•保定二模)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b﹣a)∴b2+ab=c2+a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b﹣a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b﹣a),∴a2+b2=c2.

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