八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题03勾股定理的逆定理综合题(原卷版+解析)

这是一份八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题03勾股定理的逆定理综合题(原卷版+解析)，共19页。
专题03 勾股定理的逆定理（综合题）易错点拨知识点01：勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.细节剖析：（1）勾股定理的逆定理的作用是 （2）勾股定理的逆定理是 ，是通过计算来判定一个三角形是否为 知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.细节剖析：当时，此三角形为 ；当时，此三角形为 ，其中为三角形的 易错题专训一．选择题1．（2023秋•新郑市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．2．（2022春•林州市期末）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（　　）A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，23．（2022春•定远县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2023秋•洛江区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4 B．3，4，6 C．，， D．5，12，135．（2023秋•本溪期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．∠A＝∠B＝∠C B．a＝6，b＝7，c＝8 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2+b2＝c26．（2023秋•偃师市期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．（2023秋•连云港期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　）①∠A＝∠B﹣∠C②a2＝（b+c）（b﹣c）③∠A：∠B：∠C＝3：4：5④a：b：c＝5：12：13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题8．（2022春•滨城区期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 　 　时，此三角形为直角三角形．9．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 　 　．10．（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　 　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．11．（2022春•邹城市期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 　 　．12．（2018秋•兴宁市校级月考）已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　 　．13．（2023•江西模拟）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　 　．三．解答题14．（2023秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．15．（2023秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．16．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．17．（2022春•互助县期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，连接AC．（1）求AC的长；（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．18．（2019秋•灌云县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？19．（2017秋•宝应县月考）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC．（1）试根据三角形三边关系，判断△ABC的形状；（2）在方格纸中利用直尺分别画出AB、BC的垂直平分线（要求描出关键格点），交点为O．问点O到△ABC三个顶点的距离相等吗？说明理由．专题03 勾股定理的逆定理（综合题）易错点拨知识点01：勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.细节剖析：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.细节剖析：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.易错题专训一．选择题1．（2023秋•新郑市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝，∴△ABC为直角三角形，故B不符合题意；C、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故C不符合题意；D、∵，∴设a＝k，b＝k，c＝k（其中k≠0），∴a2+b2＝（k）2+（k）2＝k2，c2＝（k）2＝k2，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．2．（2022春•林州市期末）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（　　）A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，2解：∵12+22≠（）2，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；∵（）2+（）2＝（）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；∵52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；∵22+22＝（2）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；故选：A．3．（2022春•定远县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°解：由图可知：AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°．故选：B．4．（2023秋•洛江区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4 B．3，4，6 C．，， D．5，12，13解：A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵32+42＝9+16＝25，62＝36，∴32+42≠62，∴以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵（）2+（）2＝3+4＝7，（）2＝5，∴（）2+（）2＝（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．5．（2023秋•本溪期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．∠A＝∠B＝∠C B．a＝6，b＝7，c＝8 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2+b2＝c2解：A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a＝6，b＝7，c＝8，∴a2+b2＝36+49＝85，c2＝64，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．6．（2023秋•偃师市期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．7．（2023秋•连云港期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　）①∠A＝∠B﹣∠C②a2＝（b+c）（b﹣c）③∠A：∠B：∠C＝3：4：5④a：b：c＝5：12：13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①∠A＝∠B﹣∠C，可得：∠B＝90°，是直角三角形；②a2＝（b+c）（b﹣c），可得：a2+c2＝b2，是直角三角形；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形；④a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．二．填空题8．（2022春•滨城区期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 　或5　时，此三角形为直角三角形．解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得x＝；②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．综上，x＝或5．故答案为：或5．9．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 　　．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，∴BC＝＝＝3，∵CD＝，BD＝2，（）2+（3）2＝（2）2，∴△BCD是直角三角形，∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．故答案为：．10．（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　45°　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．解：设小正方形的边长是1，连接AD，∵AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝45°，故答案为：45°．11．（2022春•邹城市期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 　45°　．解：取格点M，连接BM，∴BM∥AC，如图，连接DM，由勾股定理得：DM＝，BM＝，BD＝，AC＝，∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，∴△DMB是等腰直角三角形，∴∠DBM＝45°，∵AC∥BM，∴∠APB＝∠DBM＝45°，故答案为：45°．12．（2018秋•兴宁市校级月考）已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　5或　．解：分两种情况，当c为斜边时，x＝＝5，当长4的边为斜边时，c＝＝（根据勾股定理列出算式）．故填5和．13．（2023•江西模拟）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 　3.6或4.32或4.8　．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB•BC＝6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB＝AP＝3时，如图①所示，S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，∴AD＝DP＝＝1.8，∴AP＝2AD＝3.6，∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；③当CB＝CP＝4时，如图③所示，S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8；④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，∴BP＝AP，此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．三．解答题14．（2023秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，∴AC＝，∵CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝，BC＝1，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．15．（2023秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝．16．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．（1）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∵∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，∴CE＝＝＝10；（2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，∴AE2＝AC2+CE2，∴∠ACE＝90°．17．（2022春•互助县期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，连接AC．（1）求AC的长；（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，∴AC2＝AB2+BC2＝4+1＝5，∴AC＝；（2）∵△ACD中，AC＝，CD＝2，AD＝3，∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝1×2+2×＝1+．18．（2019秋•灌云县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？解：连接AC，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD＝30﹣6＝24平方米，铺满这块空地共需花费＝24×30＝720元．19．（2017秋•宝应县月考）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC．（1）试根据三角形三边关系，判断△ABC的形状；（2）在方格纸中利用直尺分别画出AB、BC的垂直平分线（要求描出关键格点），交点为O．问点O到△ABC三个顶点的距离相等吗？说明理由．解：（1）如图所示，AB2＝42+42＝32，BC2＝62+22＝40，AC2＝22+22＝8，所以AB2+AC2＝BC2．所以△ABC是直角三角形；（2）如图所示，点O是△ABC的外心，且在斜边BC上．