2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)6.2反比例函数的图象和性质(分层练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)6.2反比例函数的图象和性质(分层练习)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了2 反比例函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校九年级期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点B．图象位于第一、三象限
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而增大
2．（2022·山东威海·九年级期中）已知点，，在反比例函数的图像上，则y1 ，y2的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
3．（2022·甘肃天水·八年级期末）下列函数中，随着增大而减小而的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·九年级专题练习）反比例函数的图象过二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像经过点B．其图像分别位于第一、第三象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，
二、填空题
7．（2022·安徽·安庆市第四中学九年级期中）已知点()，()，()都在反比例函数的图象上，则的大小关系______．(用“”连接)
8．（2022·山东威海·九年级期中）反比例函数的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果，那么________．
9．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，，则 ________．
10．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，则的面积为 _____．
三、解答题
11．（2021·湖北随州·一模）已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
(1)判断是否经过点．
(2)若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
12．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．
提升篇
一、填空题
1．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，矩形的面积为8，反比例函数的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是______．
2．（2022·陕西师大附中九年级期中）如图，点在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为______．
3．（2022·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函数的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为_______．
4．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和点，点、在轴上．
（1）若点的坐标是，则点的坐标是___________；
（2）若的面积为6，则___________．
5．（2023·辽宁·大连理工大学附属学校九年级阶段练习）给出下列函数：①；②；③；④（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是_____________．
二、解答题
6．（2022·四川巴中·九年级阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：
7．（2021·四川成都·三模）如图，已知A（-4，），B（﹣1，a）是一次函数与反比例函数（m≠0，x＜0）图像的两个交点，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D
(1)求m、a的值及一次函数表达式；
(2)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为．
(1)求的坐标
(2)求的值.
第六章 反比例函数
6.2 反比例函数的图象和性质
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校九年级期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点B．图象位于第一、三象限
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，点不满足关系式，因此A选项不符合题意；
B、；
它的图象在第二、四象限，因此选项不符合题意；
C、；
它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此C选项不符合题意；
D、；
它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·山东威海·九年级期中）已知点，，在反比例函数的图像上，则y1 ，y2的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可；
【详解】解：函数的图像在二、四象限；
当时，随的增大而增大；
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．
3．（2022·甘肃天水·八年级期末）下列函数中，随着增大而减小而的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质逐个判断求解即可．
【详解】解：A、中k=3＞0，
∴随着增大而增大，不符合题意；
B、中k=1＞0，
∴随着增大而增大，不符合题意；
C、中比例系数为1＞0，
∴在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
D、中k=-3＜0，
∴随着增大而增减小，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性和自变量系数的关系．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：点A与关于原点对称，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．
5．（2022·全国·九年级专题练习）反比例函数的图象过二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据反比例函数的图象与性质计算即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象过二、四象限，
∴，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像经过点B．其图像分别位于第一、第三象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意；
由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意；
∵时，，且当时y随x的增大而减小
∴当时，，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
二、填空题
7．（2022·安徽·安庆市第四中学九年级期中）已知点()，()，()都在反比例函数的图象上，则的大小关系______．(用“”连接)
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质，可得图象分布在二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，则．
【详解】解：∵图象分布在二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，则．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
8．（2022·山东威海·九年级期中）反比例函数的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果，那么________．
【答案】
【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得△AOB的面积为矩形面积的一半，即 ．
【详解】设，由可知
，
所以
而点A在第二象限，
则，
因为点A是函数图象上的一点，
所以，
则
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．
9．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，，则 ________．
【答案】4
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后将代入即可求得，最后求和即可．
【详解】解：∵点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．
10．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，则的面积为 _____．
【答案】6
【分析】根据轴，垂足为B，即可利用反比例函数k的几何意义得到．
【详解】解：∵轴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·湖北随州·一模）已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
(1)判断是否经过点．
(2)若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
【答案】(1)过
(2)①；②当时，，当时，，当时，
【分析】（1）根据，把点代入反比例函数，即可；
（2）把点代入，得，根据，解出和的值，即可得到的表达式；
根据函数图象，即可比较，的大小．
（1）
∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点．
（2）
∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，交点的综合问题．
12．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．
【答案】S△AOB＝．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
提升篇
一、填空题
1．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，矩形的面积为8，反比例函数的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是______．
【答案】
【分析】作轴，轴，根据矩形的性质得矩形的面积=矩形的面积=，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可得到．
【详解】解：如图，作轴，轴．
∵点P为矩形对角线的交点，
∴矩形的面积=矩形的面积=，
∴，
而，
∴，
∴过P点的反比例函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
2．（2022·陕西师大附中九年级期中）如图，点在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为______．
【答案】4
【分析】设点的坐标为，过点作轴，垂足为，得到，，根据得到，根据三角形的面积公式得，再根据点在反比例函数的图象上得到，从而得到答案．
【详解】解：设点的坐标为，过点作轴，垂足为，
由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．
3．（2022·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函数的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为_______．
【答案】或##或
【分析】过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可设点、点，则点为或，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合的面积为3，即可求出的值，进而即可得出值．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示．
为等腰直角三角形，轴，
为等腰直角三角形，
设点，点，其中，则点为或．
点、在反比例函数的图象上，
或，
或．
又，
或，
或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合的面积为3，求出的值是解题的关键．
4．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和点，点、在轴上．
（1）若点的坐标是，则点的坐标是___________；
（2）若的面积为6，则___________．
【答案】
【分析】（1）设的中点为M，连接，将点的坐标代入中，可得：，得到反比例函数为：，由矩形的性质和三角形中位线定理可得，由点M的坐标是，可设点E的坐标为，代入可得：，即可求解；
（2）如图作，由矩形的性质可知，设E点坐标为，则A点坐标为，根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出，根据的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：（1）设的中点为M，连接，
将点的坐标代入中，
可得：，
∴反比例函数为：，
∵四边形是矩形，
∴与互相平分且相等，
∴点E为的中点，
∴，
∵点的坐标是，
∴点M的坐标是，
∵，
∴点E与点M的纵坐标相同，
设点E的坐标为，
代入可得：，
∴点的坐标是，
（2）如图作，则，
设E点坐标为，则A点的纵坐标为，
则可设A点坐标为坐标为，
∵点A，E在反比例函数上，
∴，解得：，故，
∴OC=3c，
故，解得：，
∴，
故答案为：；8．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
5．（2023·辽宁·大连理工大学附属学校九年级阶段练习）给出下列函数：①；②；③；④（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是_____________．
【答案】②④##④②
【分析】利用正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，分别对每个选项进行判断即可．
【详解】解：①正比例函数，，故y随x的增大而增大，故不符合题意；
②一次函数，，故y随x的增大而减小，故符合题意；
③反比例函数，取：，时，有，但；故不符合题意；
④反比例函数，，故在第一象限内y随x的增大而减小，故符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握每一种函数的性质以及函数的自变量取值的范围是解此题的关键．
二、解答题
6．（2022·四川巴中·九年级阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：
【答案】
【分析】先由反比例和一次函数图像确定a和b的取值范围，把化为，利用再根据范围去绝对值号完成化简即可．
【详解】解：由图像可得：，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键．
7．（2021·四川成都·三模）如图，已知A（-4，），B（﹣1，a）是一次函数与反比例函数（m≠0，x＜0）图像的两个交点，AC⊥轴于C，BD⊥轴于D
(1)求m、a的值及一次函数表达式；
(2)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】(1)m＝﹣2，a＝2，
(2)
【分析】（1）把A、B的坐标分别代入函数表达式，即可得到答案．
（2）首先设P点的坐标为（m，n），然后分别用m、n表示出△ACP和△BDP的面积，根据题意列出等式，又因为点P在函数上，将P点坐标代入小问1中求得的函数表达式中，解关于m、n的二元一次方程组即可得到答案．
（1）
解：∵反比例函数图像经过A（-4，），B（﹣1，a）
∴
解得
∵一次函数经过点A（-4，）
∴=×（-4）+b
∴b=
∴一次函数表达式为
（2）
解：设P点坐标为（-m，n），过P作AC、BD的垂线，分别交于F、E；
由上知：A（-4，），B（-1,2）
∴AC=，OC=4，BD=1，OD=2
∴PF=4-m，PE=2-n
∴，
∵，点P在一次函数上
∴
解得
∴P点坐标为（-，）
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像和解析式，涉及到二元一次方程、三角形的面积、平面直角坐标系等相关知识，掌握并熟练使用相关知识、精准识图、注意在解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为．
(1)求的坐标
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据结合反比例函数解析式求出即可；
（2）根据反比例函数中的几何意义再结合图像进行解答．
【详解】（1）解：∵，
∴的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为．．．的横坐标为，
∵均在反比例函数上，
∴；
（2）∵过双曲线任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积是一个定值，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质以及的几何意义是解本题的关键．