2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.6完全平方公式(分层练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.6完全平方公式(分层练习)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了6 完全平方公式等内容，欢迎下载使用。
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（ ）
A．或B．1C．D．或
2．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 则的值为（ ）
A．B．3C．﹣D．5
4．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）若，，在下列判断结果正确是（ ）．
A．B．C．D．无法判断
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·全国·八年级期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A． B．C．D．
二、填空题
7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若，那么的值为________．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算____________．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）是完全平方式，则____________．
10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如果，那么______．
三、解答题
11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知，，则________， ______，__________．
2．（2022秋·湖北·八年级统考期末）已知：， ，则＝_____．
3．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值为______．
4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知，则______．
5．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知，，则的值为______．
（2）已知，，则的值为______．
（3）已知x满足，则的值为______．
二、解答题
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
7．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）
（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
（3）已知，求的值．
8．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长是______；
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，并写出三个代数式，，之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值；
(4)根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（ ）
A．或B．1C．D．或
【答案】C
【分析】根据已知条件，得到，然后由为整数，进而得出结论．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为平方数，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键．
2．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 则的值为（ ）
A．B．3C．﹣D．5
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得，代入即可求出答案．
【详解】解：将两边平方得：，
把代入得：，即，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）若，，在下列判断结果正确是（ ）．
A．B．C．D．无法判断
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解
【详解】解：，
，
故．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．
【详解】解：如图，大正方形的面积，
小正方形的面积，
四个长方形的面积，
则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
6．（2022秋·全国·八年级期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是，
则面积是．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若，那么的值为________．
【答案】4
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
当，原式，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算____________．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）是完全平方式，则____________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．
10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如果，那么______．
【答案】
【分析】把右边的完全平方公式展开，根据多项式相等，比较两边对应项的系数，即可求得m的值．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键．
三、解答题
11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算法则展开，再合并同类项即可．
（2）根据乘法公式展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
12．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知，，则________， ______，__________．
【答案】 5 4 17
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，即可求出和的值，再根据完全平方公式即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：5，4，17．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；完全平方公式．
2．（2022秋·湖北·八年级统考期末）已知：， ，则＝_____．
【答案】
【分析】将代入计算可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数求值，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形．
3．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值为______．
【答案】或##或
【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
整理得：或，
解得或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知，则______．
【答案】61
【分析】根据可得，，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：61．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解．
5．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知，，则的值为______．
（2）已知，，则的值为______．
（3）已知x满足，则的值为______．
【答案】 39 5 5
【分析】（1）将变形为，再代入已知条件计算即可；
（2）将变形为，再代入已知条件，即可求出值，将变形为，代入即可求解．
（3）将变形为，则，将看做成一个整体，化简即可求得的值．
【详解】解：（1）∵，，
∴
，
故答案为：39；
（2）∵
∴
∵，
∴，
∴
，
故答案为：5；
（3）∵，
∴，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．
二、解答题
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；
（2）利用完全平方公式变形，将式子用含、的式子表示，再代入求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．
7．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）
（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）表示出相邻两个奇数为：，，列出他们平方的差进行计算即可；
（2）表示相互两个奇数为：，，列出他们平方的差进行计算即可；
（3）将，转化为底数为3的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘方运算即可．
【详解】（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）
设：这两个奇数为：，（注：设为2n-1，2n+1也可以）
则：是8的倍数，
∴相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．
（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
设：这两个奇数为：，
则：是4的倍数，
∴任意两个奇数的平方的差是4的倍数．
（3）已知，求的值．
．
【点睛】本题考查完全平方公式的运算及同底数幂的乘法和幂的乘方的运算，熟练运用公式及法则是解决问题的关键．
8．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长是______；
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，并写出三个代数式，，之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值；
(4)根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．
【答案】(1)
(2)方法一：，方法二：，或
(3)
(4)的值为4，的值为12
【分析】（1）图2中，大正方形的边长为：，横着看，是由两个b和阴影正方形的边长构成，相减便得阴影正方形边长；
（2）方法一：图1中已求出阴影正方形的边长，边长乘边长即为面积；方法二：图2长方形面积减图2非阴影部分面积，即为阴影部分面积；
（3）运用（2）中关系可得，代入求解即可；
（4）将m视为a，视为b，按照上述结论即可解决．
【详解】（1）解：阴影部分的正方形的边长为：，
故答案为：；
（2）阴影部分的面积：
方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积=边长为的大正方形面积-4个长为a宽为b的矩形面积，
∴三个代数式之间的数量关系为：，或：；
（3）∵，且，，
∴，
∴；
（4）由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为4，的值为12．
【点睛】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．