5.3 轴对称与坐标变化 教案

5.3 轴对称与坐标变化 教学目标： （一）教学知识点 1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律． 2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形． （二）能力训练要求 1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识． 2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系． （三）情感与价值观要求 在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心． 教学重点： 1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识． 教学难点： 用坐标表示轴对称． 教学方法： 探索发现法． 教具准备： 课件，坐标纸． 教学过程： Ⅰ．提出问题，创设情境 [活动1]1．如图： （1）观察上图中两个圆脸有什么关系？ （2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）． 你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？ 2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连接起来形成一个图案． （1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？ （2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？ 设计意图： 通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究． 师生行为： [生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称． （2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐标为（-2，3）． 同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）． 2．师生共同完成[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连接如图．A（2，2），B（4，2）， C（4，4），D（2，4）． （1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4），D1（-2，4）．顺次连接所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的． （2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2）， C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连接所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的． [师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称， B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称， C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称， D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称． 那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？ A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称， B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称， C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称， D（2，4）与D2（2，-4）关于x轴对称． 那么关于x轴对称的点有何规律呢？ 这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律． Ⅱ．导入新课 [活动2] 在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下． 已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）． 关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C′（_____，_____）D′（____，_____）E′（_____，_____）． 关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（_____，_____）D″（____，_____）E″（_____，_____）． 设计意图： 通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′， D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系． 师生行为： 教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）点．C/ . 我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标为（2，0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即AA′∥y轴，所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为B′（-1，-2），C′（-6，5），D′（，-1），E′（4，0）．列表如下：续表 [师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？ [生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． [师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？ 学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律． [师生共析] 关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标． [生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-，1），E″（-4，0）．列表如下：续表 [师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？ [生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．课堂练习： 1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： （-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．2．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标． 3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形． 设计意图： 巩固关于x轴、y轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关于x轴、y轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，作出与已知图形关于坐标轴对称的图形． 师生行为： 学生练习，教师巡视，师生共评． [生]1．解：根据关于x轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于x轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，2），（-1，-3），（-4，2），（1，0）． 根据关于y轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于y轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0）． 2．△ABC关于x轴对称，则A、B为关于x轴的一对对称点，已知A的坐标为（1，-2），则B的坐标为（1，2）． 3．分析：要作出与△ABC关于x轴、y轴的对称图形，只需把A、B、C关于x轴、y轴的对称点找到即可． 解：△ABC各顶点的坐标：A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于x轴对称的点的坐标为A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）．在同一直角坐标系中描出A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）连接A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1就是△ABC关于x轴对称的图形（如图）．A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于y轴对称的点的坐标为A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2）．在同一坐标系中描出A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2），连接A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2就是△ABC关于y轴对称的图形（如图）． 补充练习： 1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化： （1）纵坐标不变，横坐标分别加2． （2）横坐标不变，纵坐标分别加1． （3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍． （4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍． （5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1． （6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？ 设计意图： 进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系． 师生行为： 学生练习，教师指导． 精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，在平面直角坐标系中描出它们，连接成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），（-2，5）.将各点依次用线段连接起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称．（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），（2，-5）．将各点用线段连接起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称．（3）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），（-5，-1），（-2，-5）．将各点用线段依次连接起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称． 课后小结： 本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）： 1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律． 2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想． 板书设计 一、探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律． （1）关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数． 二、利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形． 备课资料 参考练习 1．已知A点坐标为（-1，3）． （1）与点A关于y轴对称的点坐标． （2）与点A关于x轴对称的点坐标． 2．已知△ABC的顶点坐标分别为（3，3），（2，1），（4，1）．请你在同一坐标系中作出： （1）关于x轴对称的图形． （2）关于y轴对称的图形．3．描出图中的枫叶图案关于x轴的轴对称图形的简图．已知点 A（2，-3）B（-1，2）C（-6，-5）关于x轴的对称点A′（2，3）B′（-1，-2） C′（-6，5）已知点D（，1）E（4，0）关于x轴的对称点D′（，-1） E′（4，0）已知点 A（2，-3）B（-1，2）C（-6，-5）关于y轴对称点A″（-2，-3） B″（1，2）C″（6，-5）已知点 D（，1）E（4，0）关于y轴对称点D″（，1）E″（-4，0）