广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

这是一份广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 化简的结果等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，则x＝（ ）
A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，则x的值为（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
5. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 在△ABC中，若三边之比，则等于（ ）
A. B. C. 2D. －2
7. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A. B. C. D.
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，
则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角为D. 向量在上的投影向量为
10. 在中，已知，下列结论中正确的是（ ）
A. 这个三角形被唯一确定B. 一定是钝角三角形
C. D. 若，则的面积是
11. 如图所示，设，是平面内相交成角两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ）
A B.
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．
13. 设向量满足，，，则 _______．
14. 如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分） 已知向量，．
（1）求与的坐标； （2）求向量，的夹角的余弦值．
16. （15分）在锐角中，的对边分别为，且
（1）确定角的大小； （2）若，且，求边.
17．（15分）已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19．（17分）对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．
（1）若，求及；
（2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
（3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
高一数学3月月考参考答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.【详解】根据向量的三角形法则，可得.故选：B.
2.【详解】解：因为向量，且，所以，解得x＝6.故选：B
3.【详解】由余弦定理可得，，．故选：．
4.【详解】因为，所以，即，解得，故选：D.
5.详解】解：．故答案为：A.
6.【详解】根据正弦定理可得.故选：B.
7.【详解】由题可知，
∵点F在BE上，∴，∴．
∴，．∴．故选：C．
8. 【详解】,
即 ,
又 ,

即 ,, 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
. 故选：C.
二、多选题
9. 【详解】，所以，故A错误；
，故B正确；
，，，，故C错误；
向量在上的投影向量为，故D正确． 故选：BD
10. 【详解】依题意可设，则
对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；
对于B，因为，
所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理可知，，故C正确；
对于D，因为，即，即，
又因为，所以则，故D错误. 故选:BC.
11. 【详解】由题意得：，，
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，
，故B不正确；
对于C项，，故C项不正确；
对于D项，在上的投影向量为：，又，，
，故D不正确.
故选：BCD
填空题：
12. 【详解】由余弦定理得即，
解得（舍）， 故答案为:.
13. 【详解】解：因为，，，所以
. 故答案为：.
14. 【详解】因为，所以.
因为，所以，所以为等边三角形，所以.
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
故答案为：
四.解答题：
15. 【详解】（1），．
（2），，，
,．
16. 【详解】（1）由及正弦定理得
因为，故 又锐角，所以.
（2）由余弦定理，，得解得:或.
17．【解析】（1）由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，解得；
（2）由题意可得，，
因为与垂直，
则可得，解得
18．【解析】（1）由题意知中，，
故，
即,
即,
所以，
而，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，
得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为
19．【解析】（1）因为，，，
所以
（2）设，
假设对，则均不为0．
所以．即．
因为，
所以．所以．
与矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使．
（3）设，因为，
所以有或．
当时，可得三式相加得．
又，可得．
当时，也可得，于是．
设的三个分量为这三个数，
当时，的三个分量为这三个数，所以．
当时，的三个分量为，
则的三个分量为的三个分量为，所以．
所以，由，可得．
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2．
所以的三个分量只能是三个数，
的三个分量只能是三个数．
所以当时，；当时，．
所以的最小值为505．