上海市嘉定区育才中学2024届高三下学期（3月份）一调数学试卷及答案

这是一份上海市嘉定区育才中学2024届高三下学期（3月份）一调数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．“”是“”的（ ）条件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．若A、B独立，则D．若A、B互斥，则
4．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）
二、填空题
5．已知集合，，则
6．已知复数z满足（i是虚数单位），则z= ．
7．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ．
8．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ．
9．已知，则= ．
10．某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表：
己知y关于x的线性回归方程为，则表格中实数a的值为 ．
11．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是 .
12．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 ．
13．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则 ．
14．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则 .
15．若正数a，b满足，则的最小值是 ．
16．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样木之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ．
三、解答题
17．如图,棱锥的底面是矩形,PA平面ABCD，,.
(1)求证: 平面;
(2)求点到平面的距离.
18．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值，进而再求的取值范围．
19．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
21．已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
a
50
70
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
参考答案：
1．B
【分析】
根据组合数公式的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则或，解得或，
所以由能够得到，故充分性成立，
由得不到，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
2．D
【分析】
利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.
【详解】由题意可知，，，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】
结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可.
【详解】对A，由，故选项A错误；
对B，根据条件概率的乘法公式得，故B正确；
对C，若、独立，则,
，故C正确；
对D，若、互斥，则，
，D正确.
故选：A
4．A
【分析】因为，所以与异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线经过点，再将第一象限内经过的整点，，逐一代入曲线的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）.
【详解】对于（1）：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确；
对于（2）：因为，所以，
所以，所以，正确；
对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为，
结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误；
对于（4）：将和联立，解得，
所以可得圆与曲线C相切于点，，，，
点的位置是图中的点M，

由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，
所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误.
故选：A
5．
【分析】先求解集合中的不等式,再根据交集的定义即可求解
【详解】由题,,,,即为
故答案为
【点睛】本题考查交集的定义,考查解绝对值不等式,属于基础题
6．
【分析】先求，再把已知变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】，
.
故答案为：.
7．
【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.
【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角大小为．
故答案为：．
8．
【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．
【详解】圆柱与圆锥的底面半径，
圆柱与圆锥的高，
可得圆锥的母线长为，
则圆锥的全面积为：；
圆柱的全面积为：．
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
9．
【分析】
先令求，再令即可得答案.
【详解】令得，
令得，
所以.
故答案为：.
10．
【分析】
先求出，代入回归方程求出，再列方程求实数a的值.
【详解】由条件得，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
11．
【分析】
根据百分位数和古典概型分析运算.
【详解】因为，则这组数据的第70百分位数为第6位数75，
所以选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是.
故答案为：.
12．1200
【分析】
根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可.
【详解】因为总体密度函数为：，则，
由得,
所以超过100分 人数大约为：人，
故答案为：1200.
13．/
【分析】
根据等比数列的性质求得，根据等差数列的性质求得.
【详解】为等比数列，，所以，
为等差数列，所以．
故答案为：
14．
【分析】根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.
【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即，
因为函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以，
又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，
又由图象可得，可得，所以，所以，
所以，
因为，可得，即，
因为，所以.
故答案为：
15．
【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
16．
【分析】
根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.
【详解】设，由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，
点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故答案为：.
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；
（2）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．
【详解】（1）建系如图所示的空间直角坐标系,
则,,,在中, ,,

∴,∴,,∴,,.∵,,即,.又,
∴平面.
（2）由（1）题得,,
设平面的法向量为,则,,
即,∴.
故平面的法向量可取为.∵,
∴到平面的距离为.
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18．(1)
(2)，的取值范围是
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解.
（2）利用正弦定理、二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，，
由，
解得：，
∴单调递增区间为．
（2）解：∵，
∴由正弦定理，，
∵在中，则，
∴，即，
∴
当时，；
当即时，．
∵，∴．
由（1）知，则，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
即的取值范围是.
综上知，，的取值范围是.
19．(1)48
(2)
(3)合理
【分析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，于是可求出240人中实测答对第5题的人数．
（2）的可能取值是0,1,2，根据超几何分布即可求出概率和分布列，进而求出期望；
（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．计算值即可判断.
【详解】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
（2）的可能取值是0,1,2，
；；．
的分布列为：
．
（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，
其中为第题的预估难度.
并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．
.
因为，
所以该次测试的难度预估是合理的．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；
（2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.
【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
，从而的周长为．
由题意，得，即的周长为.
（2）由题意可设过的直线方程为，
联立，消去x得，
则，
所以，
令，
则（当时等号成立，即时）
所以,
故面积的取值范围为.
（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，
整理可得，
则，得，，
故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为.
21．(1)
(2)1
(3)
【分析】
（1）求出，求导，得到切线斜率，求出切线方程；
（2）求导，分，和三种情况，结合函数单调性，得到函数最小值，结合，求出的取值范围，得到最小值；
（3）变形得到，令，则在上单调递增，其中，求导，分和，数形结合得到的取值范围
【详解】（1）当时，，，
故，则，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）因为，，
则，
因为，
当时，恒成立，故在上单调递减，
故，
又，故，解得，
其中，故不合要求，舍去；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在取得极小值，也是最小值，
故，
令，整理得，
令，，可得看出，
又恒成立，故在上单调递减，
所以上不能成立，
当时，恒成立，故在上单调递增，
故，
综上，要想满足当为正数且时，，
的取值范围是，的最小值为1；
（3）由，，变形为，
令，则在上单调递增，
其中，，
则，
若，此时在上恒成立，
则在上单调递增，满足要求，
若，此时要满足在恒成立，
令，对称轴为，
故要满足，解得，
综上：，即的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
0
1
2