辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷及答案

这是一份辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
2．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A．B．C．D．
4．将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）
A．B．C．D．
5．若，为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
6．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A．14.4B．9.6C．24D．48
7．已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数满足，则（ ）
A．10000B．10082C．10100D．10302
二、多选题
9．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．拋物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（ ）
A．当时，直线斜率的取值范围是
B．当点与点重合时，
C．当时，与的夹角必为钝角
D．当时，为定值（为坐标原点）
三、填空题
12．在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
13．若，则 ， .
14．如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为 .
四、解答题
15．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
(1)证明：平面；
(2)若，点满足，求二面角的大小．
17．根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为亿元，观影人次为亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了和，均创造了同档期新的纪录. 2024年2月10日某电影院调查了名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）.

(1)求这名观影者满意度评分不低于分的人数；
(2)估计这名观影者满意度评分的第百分位数（结果精确到）；
(3)设这名观影者满意度评分小于分的频率为，小于分的频率为，若甲、乙名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这名观影者中当天观看影片的人数与观看影片的人数之差为，求的分布列及期望.
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递减，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】
根据题意利用椭圆的定义分析求解.
【详解】由椭圆方程可知：，则，
即，解得.
故选：C.
2．A
【分析】求出，再根据复数的乘法运算以及共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】由题意得，
故，则，
故选：A
3．A
【分析】
根据台体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.
故选：A.
4．D
【分析】
先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，
则有3人分到一个地区，分配方法共有种，
其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，
故所求的概率为，
故选：D
5．B
【分析】
利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系即可得到结果.
【详解】因为，所以，又因为为锐角，所以，
所以.
故选：B.
6．A
【分析】
由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案.
【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，
且，故，
从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数
故，
故选：A
7．D
【分析】
设,，然后得到恒成立，进一步转化为最短即为点到直线的距离，计算即可.
【详解】设，则,
恒成立，即，则恒成立，
最短即为点到直线的距离，则，解得或.
故选：D.
8．C
【分析】
赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案.
【详解】中，令得，
，
故，
故，
其中，①
，②
，③
……，
，
上面99个式子相加得，
，
令得，
中，令得，
故.
故选：C
9．BCD
【分析】
求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得，
故，，A错误，B正确；
由于，故，则，C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即，D正确，
故选：BCD
10．AC
【分析】
根据函数的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，即得答案.
【详解】
由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，
故的值可以为；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，
故的值可以为；
故的值可能是，，
故选：AC
11．BCD
【分析】根据条件，得到，，再结合各个选项的条件，联立直线与抛物线方程，逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】依题意可得，
对于选项A，当时，设直线的方程为，代入，
得，则，得到且，
所以，故选项A错误，
对于选项B，当点与点重合时，直线的方程为，代入，
得，设，
则，
则，所以选项B正确，
当时，直线的方程为，代入，
得，则，，易知异号，所以，则，
所以，得到，所以选项正确，
又当时，在内，则，
又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，所以选项C正确，
故选：BCD.
12．
【分析】
由正弦定理及条件可得，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当即等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
13． -2 2
【分析】
第一空，根据对数的运算性质即可求得答案；第二空，化简为，求得其结果，再根据对数运算，即可求得答案.
【详解】因为，故；
，
故，
故答案为：-2，2
14．
【分析】取的中点，连接，直线与平面所成的角为，设，根据求得值；四面体的外接球球心在的中点处垂直平面方向上，由求得，从而得球的半径.
【详解】取的中点，连接，
依题意可得为等腰直角三角形，则.
设，作分别交于，
则，，
因为平面平面，且交线为，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，所以，
则，解得或（舍去），
可得.
因为，则，可知的外心为的中点.
设四面体的外接球的球心为，则平面，
且，
则，可知，
所以，
由，得，解得，
可得，所以四面体的外接球的半径为.

故答案为：.
【点睛】方法点睛：几何体外接球球心的求法：
（1）将几何体置入长方体或直棱柱中找球心；
（2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心；
（3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得的表达式，利用裂项相消求和的方法，即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，当时，；
当时，由得，
故，
也适合该式，故；
（2）
证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）
过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）
由（1）平面，平面,故,
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，，,1,，，
故，,所以,
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面的法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．
17．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】
（1）根据频率分布直方图可知观影者满意度评分不低于分的频率，进而可得观影者满意度评分不低于分的人数；
（2）根据百分位数的概念直接得解；
（3）根据独立事件的乘法公式可得概率，进而可得分布列与期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知观影者满意度评分不低于分的频率为，
则中观影者满意度评分不低于分的人数为；
（2）设这名观影者满意度评分的第百分位数
由频率分布直方图可知，，
所以，
且，
解得，
即这名观影者满意度评分的第百分位数为；
（3）由已知，，
设甲观看影片为事件，则甲观看影片为事件，乙观看影片为事件，则乙观看影片为事件，
即，，，
由已知可得的可能取值有，，，
根据独立事件可知，
则，
，
，
则分布列为
则期望为.
18．(1)
(2)
(3)（去除点）.
【分析】
（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值；
（3）根据求动点的轨迹方程.
【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
（2）易知.设.
因为△的重心为 ，所以,解得,
因为，所以，即.
因为不共线，所以 且，
所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为为△的垂心，所以，
设，
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，
则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为（去除点）.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）由题意可得对恒成立，结合或，进行分类讨论，讨论和以及，在每种情况下，结合导数和单调性的关系，判断是否对恒成立，从而求得答案.
【详解】（1）
当时，，，
则，
故曲线在点处的切线方程为，
即
（2）
若在上单调递减，则对恒成立，
设，则，
令，则，
由于，故或，
当时，必存在，使得当时，，
则在上单调递增，故时，，
则在上单调递增，
同理得时，，则在上单调递增，
这与在上单调递减矛盾，故不符合题意；
当时，，
与对恒成立矛盾，不合题意；
当时，恒有，
①当时，，则在上单调递减，
②当时，，则在上单调递增，
所以对恒成立，
综上，a的取值范围是.
【点睛】难点点睛：本题考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性求解参数范围，难点在于求解参数的范围，解答时由题意得对恒成立，然后要分类讨论a的取值范围，利用导数和单调性的关系，判断上述不等式是否恒成立.