八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题11一次函数与正比例函数综合题(原卷版+解析)

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专题11 一次函数与正比例函数（综合题）易错点拨知识点01：正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过 ，从左向右上升，即随着的增大也 ；当＜0时，直线经过 ，从左向右下降，即随着的增大 知识点02：待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.知识点03：一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移 个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移 个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线 的趋势，决定 的位置，、一起决定直线经过的 ．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与 ； （2），且与 ；知识点04：待定系数法求一次函数解析式　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.细节剖析：先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列 （以和为未知数）， 后就能具体写出一次函数的解析式.易错题专训一．选择题1．（2022春•承德期末）下列函数①y＝﹣5x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝x﹣1；⑤y＝x2﹣1中，是一次函数的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023秋•金水区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝43．（2023秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（　　）A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+64．（2023•台儿庄区模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（　　）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）5．（2023春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（　　）A．y＝3x+1 B． C． D．y＝3x+26．（2018秋•南山区期末）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20） C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）二．填空题8．（2022•岷县开学）若y＝（m+）x+m2﹣3是关于x的正比例函数，则常数m＝　 　．9．（2023秋•岑溪市期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是x＝　 　．10．（2022春•海港区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是　 　．11．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝　 　．12．（2023•永嘉县校级模拟）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点B，C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，则线段PQ的长为　 　，直线PQ的函数表达式为　 　．三．解答题13．（2022春•郴州期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析式．14．（2022春•武威期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积．15．（2023春•绥宁县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交于点C．求：（1）此一次函数的解析式；（2）△AOC的面积．16．（2023春•德城区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝11，求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．17．（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：（1）这个一次函数的解析式．（2）当x＝﹣3时，y的值．18．（2023春•思明区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，过点A（2，0）的直线l1交y轴于点B，点B在原点上方，已知OA＝2OB．（1）求点B的坐标；（2）若过点A的直线l2交y轴于点C，△ABC的面积为3，求直线l2的函数表达式．20．（2023秋•吉安期中）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若点（﹣1，y1）与（2，y2）在该函数图象上，比较y1与y2的大小关系．专题11 一次函数与正比例函数（综合题）易错点拨知识点01：正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.知识点02：待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.知识点03：一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；知识点04：待定系数法求一次函数解析式　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.细节剖析：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.易错题专训一．选择题1．（2022春•承德期末）下列函数①y＝﹣5x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝x﹣1；⑤y＝x2﹣1中，是一次函数的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①y＝﹣5x是正比例函数，也是一次函数；②y＝﹣2x+1是一次函数；③y＝是反比例函数；④y＝x﹣1是一次函数；⑤y＝x2﹣1是二次函数．是一次函数的有3个．故选：C．2．（2023秋•金水区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，所以一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4），所以关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2．故选：B．3．（2023秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（　　）A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+6解：∵直线l平分△ABC面积，∴直线l经过BC中点，∵B（1，2），C（5，2），∴BC中点坐标为（3，2），设直线解析式为y＝kx+b，将（2，4），（3，2）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣2x+8．故选：B．4．（2023•台儿庄区模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（　　）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣x﹣；求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；故选：B．5．（2023春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（　　）A．y＝3x+1 B． C． D．y＝3x+2解：∵2y﹣3与3x+1成正比例，则2y﹣3＝k（3x+1），当k＝1时，2y﹣3＝3x+1，即y＝x+2．故选：C．6．（2018秋•南山区期末）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，所以①③正确；∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，∴a＜0，所以②错误；∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确．综上所述，错误的个数是1．故选：A．7．（2017春•钦州期末）等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（　　）A．y＝﹣0.5x+20（0＜x＜20） B．y＝﹣0.5x+20（10＜x＜20） C．y＝﹣2x+40（10＜x＜20） D．y＝﹣2x+40（0＜x＜20）解：根据三角形周长等于三边之和可得：2y＝40﹣x∴y＝20﹣0.5x，又知道x为底边⇒x＜2y，x＞y﹣y∴可知0＜x＜20故选：A．二．填空题8．（2022•岷县开学）若y＝（m+）x+m2﹣3是关于x的正比例函数，则常数m＝　　．解：由题意得，m+≠0且m2﹣3＝0．∴m＝．故答案为：．9．（2023秋•岑溪市期末）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是x＝　3　．解：从图象可知：直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（3，0），所以关于x的方程kx+b＝0的解是x＝3，故答案为：3．10．（2022春•海港区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是　y＝﹣x　．解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得﹣2k＝3．解得k＝﹣，函数解析式为y＝﹣x，故答案为：y＝﹣x．11．（2020秋•玄武区期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，1），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝　3　．解：把M（a，1）代入y＝x得：1＝a，解得a＝3，∴M（3，1），∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，∴关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝3．故答案为：3．12．（2023•永嘉县校级模拟）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点B，C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，则线段PQ的长为　5　，直线PQ的函数表达式为　y＝﹣x+10　．解：连接OQ，∵点A（6，6），∴AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴AC＝AB＝OC＝OB＝6，∵点P是AC的中点，∴CP＝AP＝3，∵点C关于直线OP的对称点D，∴OD＝OC＝OB＝6，PD＝PC＝3，∠PCO＝∠PDO＝∠ABO＝∠QDO＝90°，在Rt△ODQ与Rt△OBQ中，，∴Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL），∴DQ＝BQ，设DQ＝BQ＝x，∴AQ＝6﹣x，PQ＝3+x，∵PA2+AQ2＝PQ2，∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2，∴x＝2，∴PQ＝5，BQ＝2，∴Q（6，2），设直线PQ的函数表达式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（6，2）代入得，，解得：，∴直线PQ的函数表达式为y＝﹣x+10，故答案为：5，y＝﹣x+10．三．解答题13．（2022春•郴州期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析式．解：设一次函数解析式为y＝kx+b，根据题意得，解得，所以一次函数的解析式为y＝2x﹣1．14．（2022春•武威期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积．解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 ，解得 ．所以一次函数解析式为y＝x+；（2）令y＝0，则0＝x+，解得x＝﹣，所以C点的坐标为（﹣，0），把x＝0代入y＝x+得y＝，所以D点坐标为（0，），（3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD＝××2+××1＝．15．（2023春•绥宁县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交于点C．求：（1）此一次函数的解析式；（2）△AOC的面积．解：（1）∵由图可知A（2，4）、B（0，2），，解得，故此一次函数的解析式为：y＝x+2；（2）∵由图可知，C（﹣2，0），A（2，4），∴OC＝2，AD＝4，∴S△AOC＝OC•AD＝×2×4＝4．答：△AOC的面积是4．16．（2023春•德城区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝11，求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．解：设y1＝kx2，y2＝a（x﹣2），则y＝kx2+a（x﹣2），把x＝1，y＝5和x＝﹣1，y＝11代入得：，k＝2，a＝﹣3，∴y与x之间的函数表达式是y＝2x2﹣3（x﹣2），把x＝2代入得：y＝2×22﹣3×（2﹣2）＝8．17．（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：（1）这个一次函数的解析式．（2）当x＝﹣3时，y的值．解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则，解得 ．故该一次函数解析式为：y＝2x+1；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．即：y的值为﹣5．18．（2023春•思明区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，∴×4•AH＝6，解得AH＝3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y＝kx得4k＝﹣3，解得k＝﹣，∴正比例函数解析式为y＝﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为9，∴•|t|•3＝9，∴t＝6或t＝﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．19．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，过点A（2，0）的直线l1交y轴于点B，点B在原点上方，已知OA＝2OB．（1）求点B的坐标；（2）若过点A的直线l2交y轴于点C，△ABC的面积为3，求直线l2的函数表达式．解：（1）∵点A（2，0），已知OA＝2OB，∴OB＝1，∵点B在原点上方，∴点B的坐标是（0，1）；（2）∵△ABC的面积为3，OA＝2，∴BC•OA＝3，解得BC＝3．∴点C（0，4）或（0，﹣2）．当点C在点B上方时，设l2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴l2的解析式为y＝﹣2x+4．当点C在点B下方时，设l2的解析式为y＝k1x+b1，则，解得，∴l2的解析式为y＝x﹣2．综上所述，直线l2的解析式为y＝﹣2x+4或y＝x﹣2．20．（2023秋•吉安期中）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若点（﹣1，y1）与（2，y2）在该函数图象上，比较y1与y2的大小关系．解：（1）依题意得：设y﹣2＝k（3x﹣5）．将x＝3时，y＝﹣6代入：得﹣6﹣2＝k（3×3﹣5）．解得k＝﹣2．所以，y＝﹣6x+12．（2）由（1）知，一次函数解析式为y＝﹣6x+12．因为﹣6＜0，所以y随x的增大而减小，因为﹣1＜2，所以y1＞y2