2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十六讲分布列综合归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十六讲分布列综合归类(原卷版+解析)，共77页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8924" 题型01 “马尔科夫链”模型 PAGEREF _Tc8924 \h 1
\l "_Tc21416" 题型02基础分布：两点分布 PAGEREF _Tc21416 \h 2
\l "_Tc11597" 题型03基础分布：超几何分布 PAGEREF _Tc11597 \h 4
\l "_Tc3761" 题型04基础分布：二项分布 PAGEREF _Tc3761 \h 6
\l "_Tc18493" 题型05基础分布：正态分布 PAGEREF _Tc18493 \h 7
\l "_Tc18527" 题型06基础比赛型分布列 PAGEREF _Tc18527 \h 9
\l "_Tc12248" 题型07复杂条件比赛型分布列 PAGEREF _Tc12248 \h 10
\l "_Tc14145" 题型08三人、多人比赛型分布列 PAGEREF _Tc14145 \h 12
\l "_Tc18234" 题型09 传球模式 PAGEREF _Tc18234 \h 13
\l "_Tc17827" 题型10 药物检验方案比较 PAGEREF _Tc17827 \h 14
\l "_Tc7320" 题型11 证明或者求数列型分布列 PAGEREF _Tc7320 \h 15
\l "_Tc18842" 高考练场 PAGEREF _Tc18842 \h 17

题型01 “马尔科夫链”模型
【解题攻略】
【典例1-1】乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【典例1-2】（2023下·辽宁高三校联考 ）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．的数学期望
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值．
【变式1-2】（2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求，和，；
(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
.
题型02基础分布：两点分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·河北唐山高三开滦第一中学校考阶段练习）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率.
(2)求第次投篮的人是甲的概率.
(3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求.
【典例1-2】（2023下·北京高三校考阶段练习）地区 进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
【变式1-1】（2023·北京石景山·统考一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
【变式1-2】（2022高三课时练习）一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列；
(2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列．
题型03基础分布：超几何分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西西安·一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附：，其中.
【典例1-2】（23·24高三上·北京西城· ）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【变式1-1】（2023·四川雅安·一模）某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
(1)通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
(2)现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．
(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；
(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
.
题型04基础分布：二项分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·辽宁·一模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求的值;
(2)以频率估计概率，完成下列问题.
(i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
【典例1-2】（2022高三上·河南·专题练习）为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据的茎叶图如下所示（单位：元），其中，经计算得，
(1)求被调查的这20名程序员的平均工资；
(2)在（1）的条件下，可以算得，求“，，，”的方差；
(3)以被调查的这20名程序员的工资情况估计该地区所有程序员的工资情况，若在该地区所有程序员中随机抽取4人，记工资在8000元以上的人数为，求的分布列以及数学期望．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求．
【变式1-2】（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
题型05基础分布：正态分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·陕西西安·一模）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；．
【典例1-2】（23·24高三上·江西· ）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
【变式1-1】（2022·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
【变式1-2】（2024·全国·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.
（ⅰ）设，证明：；
（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
题型06基础比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24高二上·陕西汉中· ）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
【典例1-2】（2022·河南·模拟预测）羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.
【变式1-1】（21·22高三上·广西玉林·阶段练习）甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢的概率为，输的概率为．
(1)求甲最终获胜的概率；
(2)记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
【变式1-2】（20·21高二下·重庆北碚·阶段练习）某校在高二下学期的5月份举办了全年级的排球比赛，共21支队伍，其中包括20支学生队伍，以及一支教师队伍，其比赛规则为：20支学生队伍，进行两轮淘汰赛，选出5支学生队伍直接进入八强，再从被淘汰的15支学生队伍中，用随机抽样的抽签方法选出2支学生队伍，这7学生支队伍与教师队伍一起参加后面的八强淘汰赛，经过三轮淘汰赛产生最后的冠军.若学生队伍间的比赛双方获胜的概率均为，教师队伍与学生队伍之间的比赛，教师队伍获胜的概率为.
（1）求A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强的概率；
（2）设教师队伍参加比赛的轮次为X，求X的分布列和期望.
.
题型07复杂条件比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·广东·二模）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．
【典例1-2】（2023·全国·三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
【变式1-1】（22·23高三上·广东广州· ）甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望.
【变式1-2】（20·21高三下·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【变式1-3】（2022·山东济南·一模）第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.
(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；
(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.
题型08三人、多人比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．
(1)求甲获得冠军的概率．
(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．
【典例1-2】（22·23高二下·江苏连云港· ）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率；
(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．
【变式1-1】（23·24高三下·浙江·开学考试）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
【变式1-2】（21·22高二下·陕西咸阳·阶段练习）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率
【变式1-3】（2023·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
.
题型09 传球模式
【典例1-1】（23·24高三上·山东威海· ）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．
【典例1-2】（2023·河北·模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
(1)求，；
(2)求的表达式；
(3)设，证明：.
【变式1-1】（2023·云南昆明·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求出.
【变式1-2】（23·24高三上·山东青岛·开学考试）某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
(1)求；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(3)当时，证明：.
.
题型10 药物检验方案比较
【典例1-1】（21·22高二下·浙江绍兴· ）某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有且份核酸样本，可采用以下两种检验方式：①逐份检验：对k份样本逐份检验，需要检验k次；②混合检验：将k份样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则k份样本全为阴性，因而这k份样本只需检验1次；若检验结果为阳性，为了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这k份新样本进行逐份检验，此时检验总次数为k+1次.假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是.
(1)若对k份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率（结果用p表示）；
(2)若k=20，设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X，采用混合检验的方式所需的检验次数为Y，试比较与的大小.
【典例1-2】（22·23高三上·河北·阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
【变式1-1】（21·22高二下·山西太原·阶段练习）为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次：二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次若每份样本没有该病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若，求2份样本混合的结果为阳性的概率．
(2)若，取得4份样本，考虑以下两种检验方案：
方案一：采用混合检验：
方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．
【变式1-2】（2022·山东菏泽·一模）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）
.
题型11 证明或者求数列型分布列
【典例1-1】（19·20高二·全国·单元测试）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【典例1-2】（2020·湖北襄阳·模拟预测）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【变式1-1】（2020·江西宜春·模拟预测）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；
（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，，
，，，
【变式1-2】（19·20高三上·河南·阶段练习）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
（2）若与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，，
高考练场
1.（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
2.（2019下·辽宁葫芦岛高三统考 ）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：
将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.
（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
3.（2023·四川成都·二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：
(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.
4.（2024·福建龙岩·一模）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
(1)试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
5.（2023·全国·模拟预测）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望.
（附：若，则，）
6.（2021·山东滨州·二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
7.（2022·江苏·二模）某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；
(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.
8.（21·22高三上·安徽安庆· ）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯敦世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
9.（22·23高二下·江苏常州· ）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求.
10.（21·22高二上·山东德州· ）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
11.（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态
马尔科夫不等式
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．
证明：当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．的影响，与之前的无关.
两点分布，又称0,1分布：
0
1
1-
= ，= .
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
超几何分布：
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为 ，， 。
（4）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式
合计
对照组
实验组
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10
良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
二项分布
若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，.
正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
= 1 \* GB3 ①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
= 2 \* GB3 ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
= 3 \* GB3 ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
比赛模式，要考虑：
比赛几局？
“谁赢了”；
有没有平局
赢了的必赢最后一局；
比赛为啥结束？
有没有“抽签
复杂条件比赛模式， 以及多线程，多图分类，多重条件分流型，采用分类讨论。注意讨论时要按照统一的
标准，不多讨论，也不遗漏讨论
多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
一周时间内进行网络搜题的频数区间
男生频数
女生频数
[0,10]
18
4
(10,20]
10
8
(20,30]
12
13
(30,40]
6
15
(40,50]
4
10
经常使用网络搜题
偶尔或不用网络搜题
合计
男生
女生
合计
P(x2≥m)
0.050
0.010
0.001
m
3.841
6.635
10.828
有慢性疾病
没有慢性疾病
未感染支原体肺炎
60
80
感染支原体肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
第二十六讲 分布列综合归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27860" 题型01 “马尔科夫链”模型 PAGEREF _Tc27860 \h 1
\l "_Tc20777" 题型02基础分布：两点分布 PAGEREF _Tc20777 \h 6
\l "_Tc31763" 题型03基础分布：超几何分布 PAGEREF _Tc31763 \h 10
\l "_Tc16395" 题型04基础分布：二项分布 PAGEREF _Tc16395 \h 14
\l "_Tc172" 题型05基础分布：正态分布 PAGEREF _Tc172 \h 18
\l "_Tc18712" 题型06基础比赛型分布列 PAGEREF _Tc18712 \h 23
\l "_Tc281" 题型07复杂条件比赛型分布列 PAGEREF _Tc281 \h 25
\l "_Tc21686" 题型08三人、多人比赛型分布列 PAGEREF _Tc21686 \h 30
\l "_Tc6317" 题型09 传球模式 PAGEREF _Tc6317 \h 34
\l "_Tc15182" 题型10 药物检验方案比较 PAGEREF _Tc15182 \h 38
\l "_Tc18185" 题型11 证明或者求数列型分布列 PAGEREF _Tc18185 \h 41
\l "_Tc19312" 高考练场 PAGEREF _Tc19312 \h 47

题型01 “马尔科夫链”模型
【解题攻略】
【典例1-1】乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【典例1-2】（2023下·辽宁高三校联考 ）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．的数学期望
【答案】ACD
【分析】利用已知条件求出，，即可判断A，B；
利用推出，可判断C；
利用可判断D.
【详解】由题意，，故A正确；
，，故B错误；
当时，
整理得，，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
，，
，
因，所以，
，
故D正确，
故选：ACD.
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得.
（2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解.
（3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望.
【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为．
由题意知，，
所以．
（2）因为，
所以．
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，．
（3）因为①，
②．
所以①②，得．
又因为，所以．所以．
所以的概率分布列为：
所以．
所以的数学期望为定值1．
【变式1-2】（2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求，和，；
(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）列举出所有交换的情况，分别求出概率即可求解，
（2）由根据独立事件的概率乘法公式，分类逐一讨论，即可求解，，由等比数列的定义即可求证；
（3）利用等比数列的通项求解，进而根据期望的计算公式即可求解．
【详解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，
所以，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
综上可知：，.
（2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
故.
，
因此，
因此为等比数列，且公比为.
（3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，
故，所以，
.
.
题型02基础分布：两点分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·河北唐山高三开滦第一中学校考阶段练习）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率.
(2)求第次投篮的人是甲的概率.
(3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求.
【答案】(1)
(2)
(3)，．
【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设为第次投篮的是甲，则，构造得，结合等比数列的定义可得是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；
（3）由（2）得，结合题意可得甲第次投篮次数服从两点分布，且，即，分类讨论，，即可得出答案．
【详解】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，
由题意得；
（2）由题意设为第次投篮的是甲，
则，
，
又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，
，即，
第次投篮的人是甲的概率为；
（3）由（2）得，
由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，
，
当时，，
综上所述，，．
【典例1-2】（2023下·北京高三校考阶段练习）地区 进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为；
(3).
【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A,B,C等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数服从二项分布，利用二项分布计算获得B等级的人数不少于2人的概率.
【详解】（1）由频率和为可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，
根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，
所以的可能取值为.
，，
，
所以的分布列为
（3）由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为，
设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，
则服从二项分布，
所以获得B等级的人数不少于2人的概率为
【变式1-1】（2023·北京石景山·统考一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；
（2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．
【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,
所以估计为；
（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为， 估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
【变式1-2】（2022高三课时练习）一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列；
(2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列．
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【分析】（1）由已知得符合两点分布，且，，由此能求出的分布列．
（2）由已知Y符合两点分布，利用古典概型概率公式分别求出，，由此能求出的Y分布列．
【详解】（1）由题意符合两点分布，且，，
的分布列如下：
（2）从中任意摸出两个球，用“”表示两个球全是白球，用“”两个球不全是白球，
符合两点分布，
，
．
的分布列为：
题型03基础分布：超几何分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西西安·一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附：，其中.
【答案】(1)分布列见解析，期望为1
(2)（i），列联表见解析；（ⅱ）有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
【分析】（1）根据超几何分布求分布列，进而可得期望；
（2）（i）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可；（ⅱ）利用卡方公式及对照表计算即可.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为，
填二联表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
，
所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【典例1-2】（23·24高三上·北京西城· ）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，
(3)
【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.
（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.
（3）通过计算，，来确定正确答案.
【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.
（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
所以.
（3），证明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
数据：，，，，，，，，
对应的平均数为
所以
所以.
【变式1-1】（2023·四川雅安·一模）某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
(1)通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
(2)现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
【答案】(1)有的把握认为产品质量与生产线有关系
(2)的分布列见解析，数学期望为1
【分析】（1）根据列联表,求得,即可判断；
（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2,4件，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1），
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，
由题意可知：，则：
，
可得的分布列为
所以的数学期望.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．
(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；
(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布的知识表示出分布列，计算期望即可;
（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件，结合古典概型，分别计算其对应的概率，即可得到答案，
【详解】（1）当时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为，
则，，
，．
X的分布列为
数学期望．
（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件．
，，，，．
故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
.
题型04基础分布：二项分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·辽宁·一模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求的值;
(2)以频率估计概率，完成下列问题.
(i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
【答案】(1)
(2)(i)分布列见解析，；(ii)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）(i)依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）(i)由（1）可得高度在的频率为，
所以，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
所以；
(ii)在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，
至多株高度低于为事件，
则，
，
所以.
【典例1-2】（2022高三上·河南·专题练习）为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据的茎叶图如下所示（单位：元），其中，经计算得，
(1)求被调查的这20名程序员的平均工资；
(2)在（1）的条件下，可以算得，求“，，，”的方差；
(3)以被调查的这20名程序员的工资情况估计该地区所有程序员的工资情况，若在该地区所有程序员中随机抽取4人，记工资在8000元以上的人数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】(1)7200
(2)443.6
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据平均数的定义和条件即可求解；
（2）先根据题意得出的方差，然后即可得出“，，，”方差；
（3）依题意，，然后根据二项分布的定义和公式即可得出答案.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）这20名程序员的工资的方差为

故．
（3）依题意，，
则，，
，

故的分布列为：
则．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由独立乘法公式即可求解；
（2）首先算出进一步结合二项分布的概率运算可得分布列以及数学期望.
【详解】（1）记事件A为“男生闯过四关”，则，
故甲闯过四关的概率为．
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，
记事件B为“女生闯过四关”，则，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
故的值为．
【变式1-2】（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
【答案】(1)0.75
(2)7或8
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：，则，
所以.
（2）由（1）可知：，
则，可得，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可得；
所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大.
.
题型05基础分布：正态分布
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·陕西西安·一模）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；．
【答案】(1)，分布列见解析，
(2)有资格参加复赛
【分析】（1）根据超几何分布的概率计算即可求解分布列，
（2）根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则，
又，
则X的分布列为：
故．
（2），
，则，又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛，
【典例1-2】（23·24高三上·江西· ）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）由正态分布的性质可求得，由此可估计进入面试的人数．
（2）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案.
【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
【变式1-1】（2022·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)127
【分析】（1）由频率分布直方图求得，进一步有，所以有二项分布，由此即可求出对应的概率、分布列以及数学期望；
（2）由题意，结合题中所给参考数据求得即可进一步得解.
【详解】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列为：
∴.
（2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则，
∴
，
∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为.
【变式1-2】（2024·全国·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.
（ⅰ）设，证明：；
（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)0.8186
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解，
（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合的定义以及的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由题设得，，
所以
（2）（ⅰ）由题设得：
，
,
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
所以第天元件，正常工作的概率均为．
为使第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为．
题型06基础比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24高二上·陕西汉中· ）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；
（2）利用分布列步骤求解并求得期望.
【详解】（1）甲3局全胜的概率为,
乙3局全胜的概率为，
进行3局比赛决出冠亚军的概率为
（2）的可能取值为1，2，，，
故的分布列为：
故．
【典例1-2】（2022·河南·模拟预测）羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)(2)
期望
【分析】（1）先求出小李获胜的概率，再分别求出恰好打6局时小胡获胜概率和小李获胜概率相加即可；
（2）列出所有取值，求解概率即可.
【详解】（1）恰好打了6局小胡获胜的概率是，
恰好打了6局小李获胜的概率为，
所以结束时恰好打了6局的概率为.
（2）的所有可能取值为，
则，，，
所以的分布列如下：
所以.
【变式1-1】（21·22高三上·广西玉林·阶段练习）甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢的概率为，输的概率为．
(1)求甲最终获胜的概率；
(2)记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【分析】（1）设甲最终获胜的概率为P，分四局比赛获胜、五局比赛获胜、六局比赛获胜、七局比赛获胜这几种情况讨论，根据相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得．
（2）依题意X的所有可能取值为4，5，6，7，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
【详解】（1）解：设甲最终获胜的概率为P．
∵甲四局比赛获得胜利的概率为；
甲五局比赛获得胜利的概率为；
甲六局比赛获得胜利的概率为；
甲七局比赛获得胜利的概率为．
∴．∴甲最终获胜的概率为．
（2）解：X的所有可能取值为4，5，6，7．
；；
；．
随机变量X的分布列为：
∴．∴X的数学期望为
【变式1-2】（20·21高二下·重庆北碚·阶段练习）某校在高二下学期的5月份举办了全年级的排球比赛，共21支队伍，其中包括20支学生队伍，以及一支教师队伍，其比赛规则为：20支学生队伍，进行两轮淘汰赛，选出5支学生队伍直接进入八强，再从被淘汰的15支学生队伍中，用随机抽样的抽签方法选出2支学生队伍，这7学生支队伍与教师队伍一起参加后面的八强淘汰赛，经过三轮淘汰赛产生最后的冠军.若学生队伍间的比赛双方获胜的概率均为，教师队伍与学生队伍之间的比赛，教师队伍获胜的概率为.
（1）求A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强的概率；
（2）设教师队伍参加比赛的轮次为X，求X的分布列和期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）根据相互独立事件得乘法运算即可得出答案；
（2）写出随机变量X所有可能得取值，分别求出对应概率，即可得出分布列，利用期望公式即可得解.
【详解】解：（1）A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强，则A班连胜两局，
则A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强的概率为；
（2）X可取1，2，3，
，，，
.
.
题型07复杂条件比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·广东·二模）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，期望最大值为；（ii）.
【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式分析运算；
（2）（i）根据题意求分布列，进而可得期望；（ii）根据题意结合条件概率分析运算.
【详解】（1）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则
，，，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，CCAA共5种，
所以
．
（2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，
由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则
，
，
．
所以X的分布列为
所以X的期望
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值为．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则．
由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．
所以
所以，即，
因为，所以．
【典例1-2】（2023·全国·三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；
（2）①应用二项分布概率公式求取值1，2，…，对应概率，即可得分布列；
②由①分布列得（，），定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论.
【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3，
，，，
因此的分布列为
（2）①可取值为1，2，…，，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时，
故的分布列为：
②由①知：（，）．
，故单调递增；
由上得，故，
∴，
故．
【变式1-1】（22·23高三上·广东广州· ）甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）分类讨论打完六局后甲胜与乙胜两种情况，利用独立事件的概率乘法公式即可得解；
（2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和数学期望.
【详解】（1）设恰好打了六局甲队获胜的概率为，恰好打了6局乙队获胜的概率为，
因为甲队打六局比赛获得胜利，等价于前五局甲三胜两负，第六局甲胜，
所以其概率为；
同理：乙队打六局比赛获得胜利的概率为；
所以，
所以比赛结束时恰好打了六局的概率为.
（2）因为甲队以的比分领先，所以甲队目前的战绩两胜一负，
所以接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，
所以的可能取值为2，3，4，
则，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以，即X的数学期望为.
【变式1-2】（20·21高三下·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.
【分析】（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．
（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．
【详解】（1）的可能取值为4，5，6，7
的分布列为
（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，
甲获得奖金金额为（元）
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.
;
设乙赢得全部奖金为事件，则
设，则，由
在单调递减，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
【变式1-3】（2022·山东济南·一模）第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.
(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；
(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)见解析，
【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式、互斥事件的概率公式公式进行求解即可；
（2）写出随机变量的所有可能取值，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出各自概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解..
【详解】（1）解：设事件“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，
则.
（2）解：随机变量X的所有可能取值为：2，3，4，5，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
所以.
.
题型08三人、多人比赛型分布列
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．
(1)求甲获得冠军的概率．
(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据独立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案；
（2）由题意可得到的所有可能取值，然后根据独立事件和概率的加法公式进行求概率，列出分布列以及求出期望即可
【详解】（1）设甲与乙比赛，甲获胜为事件，丙与甲比赛，甲获胜为事件，丙与乙比赛，乙获胜为事件，且相互独立，
则，
记“甲获得冠军”为事件A，则
（2）由题意知的所有可能取值为1，2，3．
，
，
．
所以的分布列为
则数学期望．
【典例1-2】（22·23高二下·江苏连云港· ）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率；
(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大
【分析】（1）分两局结束，三局结束，四局结束分别求概率，再按步骤写出随机变量的分布列；
（2）分甲乙第一局，甲丙第一局，乙丙第一局，并分别求出条件概率，应用全概率公式计算即可；
（3）根据概率大小比较判断即可.
【详解】（1）比赛局数的可能取值为2，3，4．
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以．
比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以．
比赛四局结束，所以．
所以的分布列为
（2）记甲、乙比赛第一局为事件，甲、丙比赛第一局为事件，乙、丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件．
第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则．
所以．
．
．
所以
．
所以甲成为优胜者的概率为．
（3）由（2）知，，
所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大．
【变式1-1】（23·24高三下·浙江·开学考试）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
【答案】(1)分布列见详解，.(2)让乙和丙打第一局
【分析】（1）求出的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（2）分别计算出“第一局乙对丙最终乙获胜”，“第一局乙对甲最终乙获胜”，“第一局甲对丙而最终乙获胜”三种策略下的概率，作差法比较出大小，得到答案.
【详解】（1）由题意可知，两场比赛后结束，也即第一局的其中1人连续获得两场胜利，有两种情况，
此时，，
当三场比赛后结束，即第一局比赛的2人均未获胜，轮空者获胜，共有两种情况，
此时，；
当四场比赛后结束，前三局比赛，甲乙丙三人各赢1场，进行第四场比赛，共有2种情况，
此时，；
所以三人总积分的分布列为
所以.
（2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”，为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：
已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
其中包含三种情况，第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故；
同理可得；；
显然，故，
，由于，
故，所以；
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.
【变式1-2】（21·22高二下·陕西咸阳·阶段练习）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）（2）根据给定条件，把所求概率的事件分拆成互斥事件的和，再结合相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】（1）甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，且丙获得冠军的情况有2种：
①首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜，
概率为：；
②首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜，
概率为：，
所以丙获得冠军的概率．
（2）甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，且甲获得冠军的情况有2种：
①乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为：；
②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，概率为：，
所以甲获得冠军的概率．
【变式1-3】（2023·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则，
则，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.
（2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
.
题型09 传球模式
【典例1-1】（23·24高三上·山东威海· ）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．
【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)
【分析】（1）分析已知计算即可得出结果；
（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，若发生，则一定不发生，则，变形可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；
（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.
【详解】（1）因为表示经过次传递后球传到乙手中的概率，
所以，第一次传到乙手中的概率为：，第二次传到乙手中的概率为：.
（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，若发生，则一定不发生，
所以，即，即，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由题意，次传球后球在乙手中的次数，服从两点分布，且,所以由（2）可知，，
则.
【典例1-2】（2023·河北·模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
(1)求，；
(2)求的表达式；
(3)设，证明：.
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可.
【详解】（1），，；
（2）由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，∴，∴.
（3）.设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，∴，则，
即，
∴.
【变式1-1】（2023·云南昆明·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求出.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)①，，；②，
【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3.则
；；.
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为.
则有.
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”.
所以
.即.
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
即次传球后球在甲手中的概率是.
【变式1-2】（23·24高三上·山东青岛·开学考试）某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
(1)求；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(3)当时，证明：.
【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)证明见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算求得.
（2）的可能取值为，根据相互独立事件概率计算求得分布列并求得数学期望.
（3）根据第次传球后，接过他人传球的人数进行分类讨论，由此证得结论成立.
【详解】（1）乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后，
事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
（2）由题意知，的可能取值为1，2，3，
，，，
的分布列如下：
.
（3）次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，
其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为；
其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，
第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为.
所以，当时，所以.
.
题型10 药物检验方案比较
【典例1-1】（21·22高二下·浙江绍兴· ）某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有且份核酸样本，可采用以下两种检验方式：①逐份检验：对k份样本逐份检验，需要检验k次；②混合检验：将k份样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则k份样本全为阴性，因而这k份样本只需检验1次；若检验结果为阳性，为了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这k份新样本进行逐份检验，此时检验总次数为k+1次.假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是.
(1)若对k份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率（结果用p表示）；
(2)若k=20，设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X，采用混合检验的方式所需的检验次数为Y，试比较与的大小.
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）由独立事件的乘法公式即可求出恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率.
（2）由题意知，.Y的可能取值为，求出每个变量对应的概率即可求出，比较与0大小，即可求出答案.
【详解】（1）记恰好经过4次检验就检验出2份阳性为事件，
所以.
（2）由题意知，.
Y的可能取值为，
所以，
所以.
所以，令，
解得.
所以当时，；
当时，；
当时，.
【典例1-2】（22·23高三上·河北·阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
【答案】(1)①；②
(2)（i）；（ii）答案见解析
【分析】（1）①根据分步乘法公式计算即可得解；②根据固定点概型计算即可；
（2）（i）写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式计算即可；
（ii）求出分别求出两种方案的期望，再根据幂函数的单调性即可得出结论.
【详解】（1）解：①根据题意可得：；
②根据题意可得：；
（2）解：（i）根据题意：X的取值为1，，，，
所以；
（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，
方案二：检查的次数期望为，
，记，因为，所以单调递增，
当时，，所以当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二；
当时，选择方案一；
当时，选择两种方案检查次数一样.
【变式1-1】（21·22高二下·山西太原·阶段练习）为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次：二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次若每份样本没有该病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若，求2份样本混合的结果为阳性的概率．
(2)若，取得4份样本，考虑以下两种检验方案：
方案一：采用混合检验：
方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．
【答案】(1)(2)方案一更“优”，理由见解析.
【分析】（1）根据对立事件可得阳性的概率；（2）方案一的检验次数记为，则的可能取值为，，求出各自的概率，得出分布列和期望；方案二检验次数记为，则的可能取值为，，求出各自的概率，得出分布列和期望，比较可得结果．
【详解】（1）该混合样本阴性的概率是，根据对立事件可得，阳性的概率为．
（2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为，，
；，
其分布列为：
则，
方案二：由题意分析可知．每组份样本混合检验时，若阴性则检测次数为，概率为，若阳性，则检测次数为，概率为，方案二的检验次数记为，则的可能取值为，，．
；；；
其分布列为：
则，
，
当时，可得，所以方案一更“优”
【变式1-2】（2022·山东菏泽·一模）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
(1)若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
(2)记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）
【答案】(1)(2)①②
【分析】（1）利用每个人的血样检验结果的独立性解题.
（2）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解.
【详解】（1）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：
所以 ．
②当采用混合检验的方案时，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，
即，化简得，
所以当P满足，用混合检验的方案能减少检验次数．
.
题型11 证明或者求数列型分布列
【典例1-1】（19·20高二·全国·单元测试）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；
（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.
【详解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.若，则，
所以，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，令，则，
∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，∴，
∴，，
∴，所以.∴或（负值舍去）.
∴成立.∴由①②可知，对任意的正整数n，，
所以，所以为等比数列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.设（），，
∴当时，，则在上单调递减； 又，，所以，
，，所以，，，∴；
，.∴.∴k的最大值为4.
【典例1-2】（2020·湖北襄阳·模拟预测）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【答案】（1），（或），的概率分别是，，；（2），，；（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；；；越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
【分析】（1）根据上代父本、母本的遗传性状都是可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率.
（2）根据独立事件的概率计算方法可求，，.
（3）根据，，的定义可得三者与的关系，结合给定的，可得，两边取倒数后利用等差数列的定义可判断是等差数列由此求出的通项，从而可求，，的通项公式.
【详解】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.
（2）由题可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，
则，∴是公差为1的等差数列：
，其中，
∴，，于是，
，，，
对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
【变式1-1】（2020·江西宜春·模拟预测）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；
（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，，
，，，
【答案】（1）（且）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.
【分析】（1）根据检验方式可知，的取值只为，易求得，而的可能取值为，再分别求出对应概率即可得到，列出等式即可解出；
（2）（i）先根据关系式赋值，，归纳猜出，再根据数学归纳法证明即可；
（ii）依题可知，，解不等式， ，构造函数（），由其单调性即可求出的最大值．
【详解】（1）当进行逐份检验时，；当进行混合检验时，，
则
∵，∴ 则，即（且）.
（2）（i）当时，有 则猜想：
下面用数学归纳法进行证明：
①当时，满足
②假设当时，
则当时，
设（且），则
∴ ∴
∴ 整理可得：
∴或（舍去）
由①②可得：对一切都成立.即为等比数列.
（ii）依题可知： 由（1）可知：
∴ 令（），则
所以在上单调递增，在上单调递减
∵， 则k的最大值为8.
【变式1-2】（19·20高三上·河南·阶段练习）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
（2）若与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，，
【答案】（1），（，且）；（2）（i）见解析，（ii）4
【分析】（1）易知若取份血液样本则；的所有可能取值为1，，根据概率公式可表示出.结合，化简即可关于的函数关系式；
（2）（i）根据当时成立，则由数学归纳法即可证明为等比数列.（ii）根据（i）可得，，化简可得，构造函数，求得导函数，可通过的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得的最大值.
【详解】（1）由已知得；的所有可能取值为1，，
，..
若，则，，，.
关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）证明：当时，，，令，则，
，下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，：
由题意，得，，
，，
，.或（负值舍去）.
成立.由①②可知，为等比数列，.
（ii）由（i）知，，，
，得，.
设，，当时，，即在上单调减.
又，，；，，
.的最大值为4.
高考练场
1.（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
2.（2019下·辽宁葫芦岛高三统考 ）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：
将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.
（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）列表见解析，在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，
【分析】（1）根据样本频数分布表的数据即可完成列联表，再利用列联表求出观测值，根据独立性检验的思想解求解.
（2）根据二项分布求出随机变量的概率，列出分布列即可求解.
【详解】（1）由题意得：
∵
∴在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.
（2）依题意，.
；
.
的分布列为：
3.（2023·四川成都·二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：
(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)种茶的亩产属于“左拖尾分布”.
【分析】（1）先计算亩产不低于56千克频数，然后根据超几何分布概率公式求出概率，可得分布列，再由期望公式可得；
（2）根据直方图分别估算平均数和中位数，然后即可作出判定.
【详解】（1）亩产不低于56千克频率为，
所以，亩产不低于56千克的数据共有个，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
的分布列为
的数学期望
（2）根据以上直方图数据，茶叶亩产平均数为：
，
设中位数为由得，
因为，所以种茶的亩产属于“左拖尾分布”.
4.（2024·福建龙岩·一模）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
(1)试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
【答案】(1)有关
(2)分布列见解析；
【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较即可；
（2）根据二项分布特点写出分布列，再计算其期望即可.
【详解】（1）假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
5.（2023·全国·模拟预测）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望.
（附：若，则，）
【答案】(1)6人，6人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率直方分布图和正态分布计算；
（2）根据题意，只对产品功能非常满意的有4人，只对产品外观非常满意的有4人，利用超几何分布得出的分布列．
【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布，
其中，
设对产品功能满意程度的评分为，
所以，
所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）.
根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为，
则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）.
（2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为
，，，
则的分布列为
数学期望.
6.（2021·山东滨州·二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；
（2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和.
【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，，，
，.
所以X的分布列如下：
故.
7.（2022·江苏·二模）某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；
(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；
（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.
【详解】（1）前两局和棋最后一局甲胜，.
（2）的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，
乙超快棋比赛胜概率.
，
的分布列为
.
8.（21·22高三上·安徽安庆· ）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯敦世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）“比赛完3局时，求三人各胜1局”分为两种情况，①小王胜小张，小王输给小马，小马输给小张；②小张胜小王，小张输给小马，小马输给小王.
（2）比赛完4局时，小马做1次裁判分为两种情况：①小王胜小张，小王输给小马，小马胜小张；②小王输给小张，小张输给小马，小马胜小王. 比赛完4局时，小马最多做2次裁判.
【详解】（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.
则
设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则
（2）X的可能取值为1，2
则X的分布列为
则
9.（22·23高二下·江苏常州· ）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求.
【答案】(1)分布列见解析(2)①，，；②；
【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）可能取值为，
；；
所以随机变量的分布列为
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，
则有
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，所以，且
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
10.（21·22高二上·山东德州· ）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
【答案】(1)(2)方案一更优
【分析】（1）分两类，由古典概型可得;
（2）分别求出两种方案的数学期望，然后比较可知.
【详解】（1）恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性
第二种：前三次检测均为阴性，所以概率为．
（2）方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，
，，．
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为．
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
11.（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态
马尔科夫不等式
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．
证明：当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．的影响，与之前的无关.
0
1
2
p
两点分布，又称0,1分布：
0
1
1-
= ，= .
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
0
1
2
3
0
1
0
1
超几何分布：
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为 ，， 。
（4）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式
合计
对照组
实验组
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10

良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
X
0
1
2
3
P
二项分布
若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
= 1 \* GB3 ①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
= 2 \* GB3 ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
= 3 \* GB3 ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
比赛模式，要考虑：
比赛几局？
“谁赢了”；
有没有平局
赢了的必赢最后一局；
比赛为啥结束？
有没有“抽签
1
2
2
3
4
2
3
4
X
4
5
6
7
P
1
2
3
复杂条件比赛模式， 以及多线程，多图分类，多重条件分流型，采用分类讨论。注意讨论时要按照统一的
标准，不多讨论，也不遗漏讨论
X
2
4
5
P
1
2
3
1
2
3
…
…
X
2
3
4
P
4
5
6
7
X
2
3
4
5
P
多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
1
2
3
P
2
3
4
4
6
8
0.5
0.25
0.25
1
2
3
1
2
3
1
6
P
一周时间内进行网络搜题的频数区间
男生频数
女生频数
[0,10]
18
4
(10,20]
10
8
(20,30]
12
13
(30,40]
6
15
(40,50]
4
10
经常使用网络搜题
偶尔或不用网络搜题
合计
男生
女生
合计
P(x2≥m)
0.050
0.010
0.001
m
3.841
6.635
10.828
经常使用网络搜题
偶尔或不用网络搜题
合计
男生
22
28
50
女生
38
12
50
合计
60
40
100
0
1
2
3
4
0
1
2
有慢性疾病
没有慢性疾病
未感染支原体肺炎
60
80
感染支原体肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0
1
2
3
2
3
4
5
1
2
3
4
X
1
2
P
1
2
3